Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Оказывается, для специального класса особых точек, так называемых регулярныхособенностей, проблема полностью разрешима.§ 16.1. Регулярные особенностиПолюс аналитической функции f (t) можно описать как изолированнуюособую точку, в которой абсолютное значение | f (t)| возрастает не быстрее,чем полином по t −1 (будем считать, что полюс в нуле). Условие мероморфности имеет несколько важных следствий. Самое важное — конечность числачленов Лорана в разложении функции f. Аналогичные понятия можно ввести§ 16.1. Регулярные особенности299для особых точек линейных систем, но многозначные решения требуют болеетщательного исследования.Определение 16.1. Векторнозначная матричная функция X (t), называется функцией с контролируемым ростом в нуле, если её норма возрастаетне быстрее, чем многочлен по |t|−1 при t, стремящемся к нулю, в любомсекторе α < arg t < β с раствором меньше, чем 2π:kX (t)k ¶ C|t|−при |t| → 0+ , α < arg t < β,(16.2)для некоторых конечных d и C (которые могут зависеть от сектора).Определение 16.2.
Особая точка линейной системы называется регулярной, если некоторое (а значит, любое) матричное решение X (t) системыимеет контролируемый рост в этой точке.Дифференцируя формулу dX = ΩX , мы видим, что все производныекомпонент фундаментального решения также возрастают контролируемымобразом в регулярной особой точке, так как мероморфная матричная формав худшем случае имеет в ней полюс. Это наблюдение также верно для высшихпроизводных любого конечного порядка.Замечание 16.3. Эта терминология противоречит интуиции, так как «регулярная» не означает «неособая». Однако слово «регулярный» часто заменяютсловами «ручной» или «контролируемый», и это вызывает меньше недоразумений.Лемма 16.4. Обратная матрица фундаментального решения в регулярнойособой точке имеет контролируемый рост.Доказательство. Из свойства монодромии (16.1) следует, что определитель h(t) = det X (t) любого решения, вообще говоря, ветвится в началекоординат: ∆h(t) = µh(t), µ = det M ∈ C∗ .
Поэтому функция t −λ h(t), гдеλ = (2πi)−1 ln µ, однозначна, не является тождественно нулём и возрастаетконтролируемым образом при t → 0. Поэтому она должна иметь ноль илиполюс конечного порядка k ∈ Z. Следовательно,det X (t) = t −λ u(t),u ∈ O (C, 0), u(0) 6= 0.Поэтому функция 1/h(t) растёт контролируемым образом.
Обратную матрицуX −1 можно выразить как произведение (det X )−1 и присоединённой матрицы,образованной всеми (n − 1) × (n − 1)-минорами матрицы X (t). Таким образом,матричная функция X −1 (t) имеет контролируемый рост.Следствие 16.5. Пусть X (t) — матричная функция, обладающая свойством монодромии, т. е. такая, что ∆X (t) = X (t)M для некоторой невырожденной матрицы M.
Если X (t) имеет ограниченный рост, то «логарифмическая производная» Ω = dX · X −1 является мероморфной матричной 1-формой.Доказательство. Форма Ω однозначна в проколотой окрестности особойточки: ∆Ω = dX · MM −1 X −1 = Ω. Из свойства контролируемого роста следует,что Ω имеет, в худшем случае, полюс в этой точке (но не существеннуюособенность).300Глава 16.
Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияЛемма 16.6. Если однородная линейная система (15.3) регулярна в началекоординат и b(t) — векторная функция контролируемого роста в t = 0, торешения неоднородной системы ẋ = A(t)x + b(t) также имеют контролируемый рост.Доказательство. Это следует из формулы вариации постоянных (15.4).
Мероморфная классификация регулярных особых точек очень проста.Вспомним, что циклические матричные группы изоморфны, если их образующие M, M 0 сопряжены обратимой матрицей, M 0 = C −1 MC. Изоморфизмгрупп монодромии является необходимым условием любой калибровочнойэквивалентности, см. задачу 15.9. Для мероморфной калибровочной эквивалентности не существует других препятствий.Теорема 16.7 (мероморфная классификация регулярных особых точек).Любые две регулярных особых точки с одной монодромией мероморфно эквивалентны между собой.В частности, любая система с регулярной особенностью мероморфноэквивалентна системе Эйлера.Доказательство.
Не ограничивая общности, мы можем найти две фундаментальные матрицы решений X (t) и X 0 (t) систем, которые имеют однуматрицу монодромии M ∈ GL(n, C):∆X (t) = X (t)M,Тогда отношение матриц∆X 0 (t) = X 0 (t)M.H(t) = X 0 X −1 (t)является однозначной функцией в проколотой окрестности особой точки,так как∆H = X 0 M · M −1 X −1 = H.Вследствие того, что матрица H имеет (так же как и X 0 , X и X −1 ) ограниченный рост, это мероморфная матричная функция, голоморфно обратимаявсюду, кроме особой точки. По построению, H — это калибровочное отображение, сопрягающее X с X 0 = HX .Логарифм определён для любой матрицы монодромии M, поэтому существует комплексная матрица A, такая что exp 2πiA = M. Соответствующая эйлерова система dX = AX с фундаментальным матричным решением X (t) = t имеет любую наперёд заданную монодромию (упражнение 15.7).Формула (15.13), задающая решения системы Эйлера, имеет следующееследствие.Следствие 16.8.
Любое фундаментальное матричное решение линейнойсистемы с регулярной особой точкой в начале координат можно представитьв видеX (t) = H(t) t ,H ∈ GL(n, M (C, 0)), A ∈ Mat(n, C)(16.3)с некоторой постоянной матрицей A и мероморфной обратимой матричнойфункцией (ростком) H(t).§ 16.3. Формальная классификация фуксовых особенностей301§ 16.2. Фуксовы особые точкиПроблема описания регулярных особых точек в общем случае труднее. Например, из упражнения 16.3 следует, что необходимое условие регулярностиневозможно сформулировать в терминах ранга Пуанкаре.
Однако существуетпростое достаточное условие регулярности.Определение 16.9. Особая точка называется фуксовой, если её матрицаПфаффа имеет простой полюс, или, что эквивалентно, если её ранг Пуанкаре rравен нулю,Ω = (A0 + A1 t + . . .) t −1 dt, A0 , A1 , . . .
∈ Mat(n, C).Матричный коэффициент A0 при члене t −1 называется вычетом фуксовойособой точки.Теорема 16.10 (Л. Соваж, 1886). Любая фуксова особенность регулярна.Доказательство. В логарифмической карте z = ln t фуксова система, заданная матричной 1-формой Ω = A(t) · t −1 dt с полюсом первого порядка,становится линейной системой, определённой в некоторой «достаточнолевой» полуплоскости {Re x < −B}, B 0, и задаётся ограниченной 2πi-периодической матричной 1-формой Ω0 = A(exp z)dz.По неравенству Гронуолла (лемма 15.5) в любой горизонтальной полуполосе {α < Im z < β, Re z < −B} норма фундаментального матричного решенияkX (z)k возрастает не быстрее, чем kX (a)k · exp K|z − a|, где a — точка на правой границе полосы и K = sup kA(z)k < +∞. Так как полуполоса горизонтальна,то на ней |z − a| ¶ |β − α| + |Re z − B|.
Возвращаясь в начальную карту t = exp z,мы получаем границу kX (t)k ¶ const |t|− в секторе, ограниченном лучамиarg t = α и arg t = β.Следствие 16.11. Любая фуксова особенность мероморфно эквивалентнанекоторой эйлеровой системе.Однако будет ошибкой считать, что фуксова система с матрицей-вычетом A0 всегда мероморфно эквивалентна эйлеровой системе t ẋ = A0 x с тойже матрицей A0 (ср. с задачей 16.6).В следующих параграфах мы будем рассматривать полиномиальные интегрируемые нормальные формы. Нашей целью будет получить локальнуюклассификацию фуксовых систем и доказать их интегрируемость, вычисливфундаментальное решение и монодромию.§ 16.3.
Формальная классификацияфуксовых особенностейПервый шаг в направлении локальной классификации фуксовых особенностей — это исследование формальной эквивалентности. Напомним,что две особые точки Ω, Ω0 называются формально эквивалентными, еслисуществует формальное калибровочное преобразование, заданное формальнымрядом H ∈ GL(n, C[[t]]) так, что тождество (15.10) выполнено для формальныхстепенных рядов.302Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияВ.
И. Арнольд заметил, что задачу формальной классификации фуксовыхособых точек линейных систем можно свести к задаче формальной классификации нелинейных векторных полей. Действительно, рассмотрим системулинейных уравнений ẋ = t −1 (A0 + tA1 + t 2 A2 + . . .)x и соответствующее мероморфное векторное поле (15.11) с r = 0 в (C, 0) × C . Это аналитическое полесвязано с системой голоморфных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравненийẋ = A0 x + tA1 x + . . . ,(16.4)ṫ = t,которая имеет изолированную особую точку в начале координат (0; 0); здесьпроизведена замена времени, но дифференцирование по новому временипо-прежнему обозначается точкой.Матрица, задающая линеаризацию, — это блочно-диагональная матрица,состоящая из двух блоков, один из которых — матрица-вычет размера n × n,а другой — состоит из одного элемента 1.
Без ограничения общности мыможем предположить, что матрица A0 приведена к жордановой нормальнойформе; её собственные значения обозначим λ1 , . . . , λ .По теореме Пуанкаре — Дюлака, после подходящей формальной заменыможно избавиться от всех нерезонансных членов в системе (16.4).Таким образом, система (16.4) линейна по всем переменным, кроме одной,по которой имеется особенность. С одной стороны, только формальные замены координат из группы Diff[[C+1 , 0]], сохраняющие t-переменную и линейные по x-переменным, допускаются определением формальной калибровочной эквивалентности. С другой стороны, все резонансные мономы линейны∂по x1 , .
. . , x и имеют вид t x . Поэтому единственное резонансное соотно∂xшение между собственными значениями λ1 , . . . , λ , которое обеспечит наличие этих мономов в системе (16.4), должно иметь вид λ = λ + k, где k ∈ Z+ : всеостальные резонансы соответствуют мономам, которые не возникают в (16.4).Определение 16.12. Фуксова особая точка с матрицей-вычетом A0 называется резонансной, если матрица A0 имеет два собственных значения,отличающихся на натуральное число. Иначе фуксова особенность называетсянерезонансной.В резонансном случае можноP∞ сразу выписать все резонансные мономы,линейные по x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
