Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 76
Текст из файла (страница 76)
МонополиДля линейных систем, определённых на компактной римановой поверхности, например на P, понятие голоморфной эквивалентности теряет смысл, таккак голоморфные калибровочные преобразования, глобально определённыена P, постоянны. Однако существует достаточно богатый класс мероморфныхкалибровочных преобразований, голоморфных всюду, кроме данной точки.314Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияОпределение 16.34.
Монополь — это рациональная матричная функцияна римановой сфере, голоморфная вместе со своей обратной всюду, кромеодной точки.Если монополь имеет полюс в точке t = ∞, то его можно представить полиномиальной матричной функцией Π(t). Она должна быть обратима всюду,кроме точки t = ∞, и поэтому det Π(t) — многочлен, не имеющий корней, т. е.константа.
Поэтому Π −1 (t) — также полиномиальная матричная функция.И наоборот, если Π и Π −1 — многочлены, то они определяют монополис полюсом в бесконечности.defΠ ∈ GL(n, C[t]) ⇐⇒ Π, Π −1 ∈ Mat(n, C[t]) ⇐⇒ Π, Π −1 — монополи.Пример 16.35. Если D = diag{d1 , . . . , d } — диагональная матрица с невозрастающими собственными значениями d1 ¾ . . . ¾ d и Π(t) — постоянная илиполиномиальная верхнетреугольная матричная функция, то сопряжённая матрица t Π(t) t − тоже будет верхнетреугольной полиномиальной матричнойфункцией.Действительно, после сопряжения каждый ненулевой (i, j)-й элемент Π(t)умножится на t − .
Это моном ряда Тейлора при i ¶ j.В частности, если C — постоянная верхнетреугольная матрица и D —диагональная матрица с невозрастающими собственными значениями, тоt C t − — монополь, так как его определитель не равен нулю.Если t =∞ — особая точка линейной системы (15.3), то после монопольнойзамены особая точка останется регулярной, но может стать фуксовой. Такжерегулярную нефуксову особую точку можно сделать фуксовой монопольнымкалибровочным преобразованием.
Это преобразование не поменяет типдругих особых точек, так как монопольное отображение в этих точках голоморфно обратимо.Например, рассмотрим линейную систему с неособой точкой на бесконечности. Пусть H = H(t) — росток фундаментального матричного решенияв окрестности этой точки. Матричная функция t H(t) будет фундаментальным матричным решением другой системы, которое, вообще говоря, можетиметь особенность в бесконечности. Эта особая точка будет нефуксовой (но,очевидно, регулярной). Действительно, матричная форма этой системы Ω0получается из несингулярной матричной формы Ω = dH · H −1 с помощьюкалибровочного преобразованияΩ0 = t −1 D dt + t Ω t − .(16.24)Первый член всегда фуксов, но уже второй в общем случае будет иметьнефуксову особенность в бесконечности.
Конечно, если последовательностьцелых чисел d1 , . . . , d невозрастающая и Ω — верхнетреугольная, то Ω0 ,очевидно, фуксова, но это вырожденный случай.Однако, оказывается, регулярную нефуксову особую точку Ω0 можнопривести к фуксовой форме подходящей монопольной заменой. Следующийрезультат получен в работе [99].315§ 16.10. МонополиЛемма 16.36 (лемма о перестановке). Любой матричный росток в точкеt = ∞ вида t H(t) с голоморфно обратимой матрицей H(t) ∈ GL(n, O (P, ∞))и целочисленной диагональной матрицей D монопольно эквивалентен ростку0вида H 0 t . При этом матрица H 0 (t) голоморфна и обратима в бесконечности,а D 0 — диагональная матрица с теми же элементами d , что и матрица D,возможно, в другом порядке.Другими словами, существует монополь Π ∈ GL(n, C[t]) такой, что0Π · t · H = H0 · t .(16.25)Доказательство.
Мы начнём доказательство леммы с простого частного случаяи потом сведём к нему общий случай с помощью последовательности калибровочныхпреобразований.Шаг 1. Частный случай. Постоянная матрица H(∞) имеет ненулевые главныеминоры, а диагональная матрица D имеет вид0νE = diag{0, . . . , 0, ν, . . . , ν}, ν > 0.Это означает, что D — блочно-диагональная матрица, имеющая только два различных собственных значения, расположенных в порядке возрастания.
Покажем, чтов этом случае мероморфный росток R(t) = t H(t) t − монопольно эквивалентенголоморфному ростку H 0 (t), который невырожден в бесконечности. Это частныйслучай утверждения леммы, когда D 0 = D.Мы покажем, что в этом случае монопольноепреобразование можно выбратьнижнетреугольным с блочной структурой E∗ E0 , и верхние левые блоки матриц H 0 (t)и H(t) совпадают.
Обозначая блоки матрицы H(t), получимH(t) =M(t)P(t)N(t),Q(t)R(t) = t H(t) t − =M(t)t P(t)νt −ν N(t).Q(t)По предположению, левый верхний блок матрицы H(t) невырожден. Полюсы в бесконечности могут иметь только элементы из левого нижнего блока tν P. Покажем, какэти полюсы можно уничтожить с помощью нижнетреугольного монополя.Главную часть ряда Лорана матрицы tν P(t) в бесконечности можно представитьв видеtν P(t) = tν Pν + tν−1 Pν−1 + . .
. + tP1 + P0с постоянными матрицами P . Линейная комбинация строк невырожденной матрицыM(∞) порождает любую строку подходящей длины, в частности, любую строку постоянной матрицы Pν . Подставляя эти комбинации с рациональным множителем tν ,можно с помощью элементарных операций со строками матрицы R(t) избавитьсяот членов tν Pν с полюсами порядка ν в бесконечности. Элементарные операции со строками соответствуют умножению слева на подходящую нижнетреугольную матрицумонополя Π ν (t), имеющую определитель 1 и полиномиально зависящую от t.
Так какэлементы верхнего правого блока матрицы R(t) делятся на t −ν , нижний правый блокматрицы R(t) останется голоморфным после умножения на Π ν (t): легко видеть, чтоΠν =E−tν Pν M −10,EΠν R =Mtν−1 Pν−1 + . . .t −ν NQ − Pν M −1 N,где матрицы M, N, Q голоморфны (первая из них обратима), а матрица Pν постоянна.Заметим, что порядок полюсов нижнего левого блока полученной матрицы не превосходит ν − 1.316Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияПрименяя эту конструкцию несколько раз, всякий раз домножая матрицу слевана матрицу монопольного преобразования, можно последовательно уничтожить всечлены порядка ν − 1, ν − 2 и так далее вплоть до постоянных членов.
Произведениематриц Π 0 (t)Π 1 (t) . . . Π ν (t) всех использованных монопольных преобразований будетнижнетреугольной матрицей, полиномиально зависящей от t. Это соображение завершает доказательство в частном случае, когда матрица D имеет только два различныхсобственных значения 0 < ν, упорядоченных в порядке неубывания.Шаг 2. Любую диагональную матрицу D с возрастающими собственными значениями d1 ¶ . .
. ¶ d можно представить в виде суммы нескольких матриц вышеописанноготипа. Более точно, мы всегда можем представить такую матрицу D в виде суммыD = D0 + D1 + . . . + D ,где m ¶ n − 1,(16.26)таким образом, что D0 — это скаляр (диагональная матрица с единственным собственным значением) и каждая D при i > 1 — диагональный блок с двумя собственнымизначениями 0 и ν > 0, упорядоченными в порядке возрастания. Чтобы это увидеть,рассмотрим монотонную функцию i 7→ d , i ∈ {1, . .
. , n}. Её можно представить в видесуммы m − 1 «ступенчатых функций» (неубывающих целозначных функций, принимающих только два значения, одно из которых 0) и постоянной. Действительно,первая разность i 7→ d+1 − d — это неотрицательная целозначная функция, котораяможет быть представлена в виде суммы ¶ m − 1 «дельта-функции», принимающейтолько в одной точке неотрицательное значение. Каждую ступенчатую функциюможно рассматривать как диагональную матрицу D с одним нулевым и однимположительным собственным значением.Так как степени t коммутируют между собой, члены представления (16.26) можно переставить так, что останется только нулевой наибольший верхний левый блок.Шаг 3.
Расщепление (16.26) позволяет доказать предположение для каждогопроизведения t H(t), где диагональная матрица имеет неубывающие собственныезначения и H(t) имеет ненулевые главные миноры. В этом случае можно выбратьD = D 0 . Действительно, в выражении t 0 t 1 . . . t H(t) множитель t можно переставить с H(t), если подходящий монополь Π(t) вставить между t −1 и t , как былосделано на первом шаге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
