Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Чтобы проделать это, всё произведение нужно умножитьслева на матричную функциюΠ 0 (t) = t 0 +. . .+−1 Π(t) t −(0 +. . .+−1 ) .Но так как матрицы D и D имеют неубывающие собственные значения и Π(t) —нижнетреугольная матрица, матрица Π 0 (t) снова будет монополем. По построениюΠ 0 (t) t H(t) = t 0 +. . .+−1 H 0 (t) t ,и верхний левый угол матрицы H 0 (t) будет совпадать с верхним левым углом H(t). Этотпроцесс можно продолжить по индукции, так как для следующего шага потребуетсятолько невырожденность меньших или таких же миноров H(t), поэтому сохраняются индуктивные предположения шага 1.
После m перестановок все элементы t появятся справа от голоморфно обратимых членов, в то время как скалярный член t 0коммутирует со всеми.Шаг 4. Для произвольной невырожденной матрицы H(∞) требуемые условия дляглавных миноров всегда могут быть достигнуты подходящей перестановкой столбцов,т. е. умножением t H справа на подходящую постоянную матрицу перестановки P. Согласно шагу 3, t H(t)P — это монополь, эквивалентный H 0 (t) t для любой матрицы Dс неубывающими собственными значениями. Но тогда t H(t) — это монополь, экви0валентный H 0 (t)P −1 · Pt P −1 = H 00 (t)t , где D 0 = PDP −1 — это диагональная матрицас собственными значениями, полученными перестановкой собственных значений D.317Упражнения и задачиШаг 5.
Последнее условие неубывания собственных значений матрицы D можноснять, произведя подходящую перестановку строк. Действительно, если P — матрица перестановки и такая, что собственные значения D 0 = PDP −1 возрастают, то0монополь t H эквивалентен t H 0 , где H 0 голоморфно обратима в бесконечности:0P · t H = P t P −1 · PH = t H 0 .000По шагу 4, t H 0 — монополь, эквивалентный H 00 t , как и требовалось.Таким образом, лемма 16.36 доказана в полной общности.Упражнения и задачиУпражнение 16.1.
Докажите, что любая линейная система в неособой точкеголоморфно эквивалентна тривиальной (тождественно нулевой) системе,определённой матричной 1-формой Ω0 ≡ 0.Задача 16.2. Докажите, что любые две регулярные (в частности, фуксовы)линейные системы на P с одинаковыми множествами особых точек мероморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их группы монодромииизоморфны.Упражнение 16.3. Сравните ранги Пуанкаре неособой точки 0 до и послемероморфного преобразования при помощи диагональной матрицы H(t) == t = diag{t 1 , . . . , t }.Упражнение 16.4. Покажите, что определение матрицы-вычета в фуксовой особой точке не зависит от выбора карты t.Задача 16.5.
Докажите, что любая алгебраическая функция x = x(t) комплексного переменного t, заданная уравнением P(x, t) = 0, где P(x, t) —многочлен, удовлетворяет (скажем, по первому приближению) линейнойрегулярной системе над P ранга не выше n = deg P.Задача 16.6. Пусть ∆ : τ → τ — оператор голономии, соответствующийпростой петле вокруг начала координат, начинающейся и заканчивающейсяв неособой точке a 6= 0 фуксовой системы t ẋ = (A0 + tA1 + . . .)x и проходимойв положительном направлении.Докажите, что ∆ аналитически зависит от a при a 6= 0, продолжаетсякак аналитическая матричная функция в начало координат a = 0 и предел∆0 равен exp 2πiA0 .
Покажите, что операторы ∆ попарно сопряжены длявсех a 6= 0, но не обязательно сопряжены ∆0 .Задача 16.7. Приведите к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля линейную систему с матричной 1-формой Ω = A(t)dt/t, где A(t) одна изследующих матричных функций:!1 e − 1 t 31 sin 2t,2t2 .23Задача 16.8. Докажите, что для любого резонансного набора форм λ1 == (λ, λ + k) или λ2 = (λ, λ + k, λ + k + m) существует только конечныйнабор нормальных форм уравнений с фуксовыми особыми точками, гдематрица-вычет имеет спектр λ1 или λ2 .Глава 17Глобальная теория линейных систем:голоморфные векторные расслоенияи мероморфная связностьЛинейные системы естественным путём появляются при линеаризацииодномерного комплексного голоморфного слоения вдоль некоторых листов(обычно сепаратрис). Пример такой линеаризации для слоений на комплексных поверхностях уже появлялся в вычислениях исчезающей группыголономии в § 10.4 и в чуть большей общности в § 14.2.
Оба этих примерапоказывают, что несмотря на то, что локально линейная система «живёт»на цилиндрах, которые являются декартовым произведением базы L на комплексное линейное пространство дополнительной размерности, глобальноситуация может оказаться нетривиальной.В частности, иногда невозможно задать линеаризованную систему глобально на L одной мероморфной 1-формой (матричной и тем более скалярной): нетривиальное соотношение между 1-формами θ1 и ϑ1 в (10.8)показывает, что линеаризованные системы определены на более сложныхобъектах, чем «простые» декартовы произведения E × C. Эти объекты называются (голоморфными) векторными расслоениями.Материал, изложенный в этой главе, достаточно стандартен.
Его можнонайти во многих источниках, среди которых мы рекомендуем книги [24, § 29,§ 30] и [101], а также [28, § 0.5] и [76, § 2].§ 17.1. Голоморфное векторное расслоениеВещественное или комплексное расслоение ранга n на топологическоммногообразии T (T — «горизонтальная база») — это топологическое многообразие, которое «построено» из декартовых цилиндров Uα × R или Uα × Cсоответственно, где Uα — карта на T, таким же образом, как база построенаиз карт Uα .
Кроме того, существует линейная структура на «вертикальных»слоях {a} × R , соответственно {a} × C . Нас будет интересовать толькокомплексный случай. Формальное определение следующее.Определение 17.1. Пусть π: S → T — непрерывное отображение междудвумя топологическими пространствами. Отображение Φ называется локальной тривиализацией (или, иногда, тривиализующей картой, или простотривиализацией) отображения π на открытом подмножестве U ⊆ T, еслиΦ: π−1 (U) → U × C — гомеоморфизм, сопрягающий π с проекцией декарто-§ 17.1. Голоморфное векторное расслоение319вого произведения (цилиндра) π0 : U × C → U на первую компоненту так,что π0 ◦ Φ = π.Тривиализации играют роль специальных координатных окрестностей,сохраняющих следы линейной структуры на слоях.Определение 17.2. Топологическое пространство S вместе с непрерывным отображением (проекцией) π: S → T называется топологическим комплексным векторным расслоением ранга n над топологическим пространством T (называемым базой расслоения), если:1) для каждой точки a ∈ T базы существует открытая окрестность Uα 3 a,в которой отображение π тривиализуемо;2) семейство тривиализаций {Φα } уважает линейную структуру слоёв π−1 (a):если Φα , Φβ — две тривиализации отображения π на открытых областяхс непустым пересечением Uαβ = Uα ∩ Uβ , то функция перехода междуними — это гомеоморфное преобразование, расслоенное над тождественным отображением как в § 15.4 и линейное по слоям, т.
е.Φβ ◦ Φ−1α : Uαβ × C → Uαβ × C ,Φβ ◦ Φ−1α (a, x) = (a, Hβα (a) x),Hβα (a) ∈ GL(n, C),(17.1)a ∈ Uαβ .Тройка π: S → T называется голоморфным комплексным векторным расслоением, если S и T — голоморфные многообразия, а π — голоморфнаяпроекция, которая допускает биголоморфную тривиализацию в окрестностикаждой точки многообразия T. В этом случае сквозные отображения — этобиголоморфные калибровочные преобразования.Прообразы точек τ = π−1 (a) называются слоями векторного расслоения. Пространство S называется тотальным пространством векторногорасслоения.Мы будем обозначать расслоения символами соответствующих проекций,когда две других компоненты тройки (тотальное пространство и пространство расслоения) определяются из контекста.Геометрия снабжает нас многими примерами расслоений.
Для любогоголоморфного многообразия M комплексной размерности n совокупностькасательных векторов, приложенных к разным точкам многообразия M,имеет естественную структуру голоморфного векторного расслоения ранга nнад базой M. Это расслоение называется касательным расслоением. Действительно, если U ⊂ C — это область в аффинном пространстве, то векторы,касающиеся U в разных точках, можно поставить во взаимно однозначноесоответствие с элементами векторного пространства C . Поэтому каждаякарта на M, определённая в области U ⊂ M, задаёт локальную тривиализациюкасательного расслоения.Касательное расслоение обычно обозначают TM. Аналогично кокасательное расслоение T∗ M определено на множестве ковекторов (линейных функционалов на касательном пространстве) в каждой точке M (см.
задачу 17.1).320Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связность§ 17.2. КоциклыОчевидно, что если π: S → T — топологическое (соответственно голоморфное) векторное расслоение, то для любых двух локальных тривиализаций на перекрывающихся областях матричные функцииHβα : Uαβ → GL(n, C),Uαβ = Uα ∩ Uβ ,(17.2)−1непрерывны (соответственно голоморфны) вместе со своими обратными Hβα.Так как конструкция симметрична по отношению к обоим тривиализациям,обратные функции будут матрицами перехода Hαβ , т.
е. выполнены тождестваHαβ · Hβα ≡ Eна Uαβ .(17.3)Кроме того, если Uα , Uβ и Uγ — три области с попарными пересечениямиUαβ , Uβγ , Uαγ и непустым тройным пересечением Uαβγ , тогдаHαβ · Hβγ · Hγα ≡ Eна Uαβγ .(17.4)Действительно, эта композиция соответствует переходу между тривиализациями Φα , Φγ и Φβ (в указанном порядке) и обратно к Φα .Определение 17.3.
Пусть U = {Uα } — открытое покрытие базы T. Голоморфный матричный коцикл, подчинённый этому покрытию, — это набор голоморфных матричных функций H = {Hαβ }, определённых на всех непустыхпопарных пересечениях Uαβ , удовлетворяющий тождествам (17.3) и (17.4)на всех непустых двойных (соответственно тройных) пересечениях.Определение 17.4. Голоморфная матричная коцепь G , подчинённая покрытию U , — это набор голоморфных матричных функций Gα ∈ Mat(n, Uα ),определённых и голоморфных на областях покрытия.
Аналогично определяются мероморфные, векторные и другие коцепи 1 .Определение 17.5. Оператор, переводящий коцепь G = {Gα } в коциклH = {Hαβ } с Hαβ = Gα Gβ−1 , называется кограницей (или мультипликативнойматричной кограницей).Любое семейство тривиализаций голоморфного векторного расслоенияопределяет голоморфный матричный коцикл. И наоборот, любой голоморфный матричный коцикл, подчинённый открытому покрытию T, определяетголоморфное векторное расслоение на T.Теорема 17.6. Любой матричный коцикл, подчинённый покрытию голоморфного многообразия T, может быть реализован набором калибровочныхфункций перехода между локальными тривиализациями подходящего векторного расслоения над базой T.1В алгебраической топологии рассматриваются k-коцепи и k-коциклы для различных значений k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
