Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. в любой) тривиализации имеет полюс. Мероморфная связность называется голоморфной,если она не имеет полюсов.Определение 17.29. Особая точка связности ∇ называется фуксовой, еслиона имеет полюс первого порядка в некоторой (и следовательно, в любой)тривиализации.Особая точка называется регулярной, если она является регулярной точкой для какой-нибудь (и следовательно, любой) линейной системы dx = Ωα x.Для фуксовой связности можно определить вычет res ∇ в каждой точкефуксовой особенности.
Это линейный оператор, отображающий слой π−1 (a)§ 17.8. Связности и линейные системы333в себя, определённый в локальной тривиализующей карте как вычет соответствующей матричной формы связности:res ∇: π−1 (a) → π−1 (a),res0 (d − Ω) = A ⇐⇒ Ω = (t −1 A + A0 + A1 t + . . .) dt.(17.17)Вектор-функция x(·), дифференциал которой тождественно равен нулюdx(·) ≡ 0, локально постоянна, и её график — горизонтальная гиперплоскостьв цилиндре T × C . Эти горизонтальные гиперплоскости позволяют сопоставить два произвольных слоя {t = a} и {t = b}, если соответствующие точкипринадлежат одной горизонтальной гиперплоскости.Аналогичные понятия для произвольных расслоений определяются припомощи ковариантной производной ∇ вместо внешней производной d.Определение 17.30. Горизонтальное сечение связности ∇ голоморфноговекторного расслоения π — это сечение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению ∇s = 0.Если ∇ — это связность тривиального расслоения U × C с формой связности Ω, то горизонтальные сечения t 7→ x(t) удовлетворяют линейному уравнению Пфаффа dx − Ωx = 0.
Поэтому связности, соответствующие глобальноопределённым линейным системам, можно определить геометрически, независимо от координат.Замечание 17.31. Существование горизонтального локального голоморфного сечения без особых точек над односвязной картой гарантировано только в том случае,когда база T имеет комплексную размерность 1. Во всех остальных случаях существование горизонтальных сечений гарантировано только при некоторых условияхплоскости (отсутствия кривизны) связности, см. задачу 17.13.Так же как и решения линейных систем, горизонтальные сечения обычномногозначны, т.
е. существуют только на универсальной накрывающей T \Σ,где Σ = Sing ∇ — множество особых точек связности. С другой стороны, еслибаза T одномерна, из теоремы 15.3 следует, что горизонтальные сечения могутбыть построены над любой одномерной областью на проколотой базе T \Σ.Более того, разбиение S на горизонтальные сечения задаёт горизонтальноеслоение F∇ (с особенностями) тотального пространства S, трансверсальноеко всем слоям над несингулярном множеством T \Σ.Горизонтальные сечения «локально постоянны» относительно связности ∇,и поэтому их можно использовать, чтобы определить параллельный переносмежду близкими слоями π−1 (a) и π−1 (a0 ) над двумя достаточно близкимиточками a, a0 ∈ T. Параллельный перенос устанавливает эквивалентностьотображения голономии между двумя сечениями τ и τ0 и нулевым листомслоения, определённого произвольной линейной системой (15.3).Так же как и для линейных систем (связностей на тривиальных расслоениях), параллельный перенос вдоль листов горизонтального расслоенияопределяет группу голономии связности.
Эти понятия для связностей тривиальных расслоений совпадают с раннее введёнными понятиями теориилинейных систем. Таблица 17.1 представляет словарь для перевода с языкатривиальных расслоений на язык линейных систем.334Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьТаблица 17.1Словарь терминов: мероморфные связности на голоморфныхвекторных расслоениях и линейные системыЛинейные системыМероморфные связностиОбласть T (риманова поверхность)База расслоения TВекторнозначные функции M (T ) ⊗ CСечения расслоений Γ (π)Матричная 1-формаΩ ∈ Mat(n, Λ1 (T ) ⊗ M (T ))Мероморфная связность∇: Γ (π) → Γ (π) ⊗ Λ1 (T )Решения линейной системы dx = ΩxГоризонтальные сечения ∇s = 0Голономия (монодромия),операторы КошиПараллельный перенос между слоямиКалибровочное отображениеОтображение расслоенийТеорема 17.32.
Пусть π: S → T — голоморфное векторное расслоениеранга n и ∇ — мероморфная связность на этом расслоении с множествомособых точек Σ ⊂ T.Тогда для любой точки a, любых линейно независимых векторов в слоеπ−1 (a) и любой односвязной области U ⊆ T \Σ существует n голоморфныхсечений слоя π над U, линейно независимых в каждом слое.Параллельный перенос вдоль горизонтальных сечений по замкнутымпутям γ из фундаментальной группы π1 (S\Σ, a) определяет представлениеγ 7→ ∆γ этой группы в линейных голоморфных операторах ∆γ ∈ GL(π−1 (a)).Если π, π0 — два расслоения над одной базой, F — голоморфное или мероморфное отображение между ними, расслоенное над тождественнымотображением базы, и ∇, ∇0 — две связности этих расслоений, сопряжённыеотображением F, то соответствующие группы голономии тоже сопряжены 2 отображением F.
Сопряжение задаётся линейным отображениемF(a) : π−1 (a) → π0−1 (a).§ 17.9. Связности линейных расслоений.След мероморфной связностиСвязности линейных расслоений (т. е. расслоений ранга 1) задаютсяскалярными мероморфными 1-формами ω в каждой тривиализации, т. е.каждая связность ∇ определяется своей коцепью из скалярных 1-форм {ωα }.Так как (1 × 1)-матрицы коммутируют, на пересечении областей U и Uдвух разных тривиализаций две формы ω , ω отличаются на аддитивный2В частности, если точка a ∈ T — особая точка одной из связностей и неособая для другой,то операторы голономии, соответствующие простой петле вокруг этой точки, тривиальны(тождественны).335§ 17.9. Связности линейных расслоений.
След мероморфной связностиголоморфный член — логарифмическую производную коцикла перехода:ω = d ln h + ω ,d ln h =dh .h (17.18)В частности, вычет res ∇ корректно определён так же, как скалярный вычетлюбой из двух форм ω и ω а точке a:res ∇ = res ω = res ω ,a ∈ U .Полный вычет любой мероморфной 1-формы на компактной римановойповерхности равен нулю (сумма вычетов имеет смысл, так как вычеты — этокомплексные числа, которые можно складывать между собой).
Сейчас мыхотим обобщить этот факт на произвольные линейные расслоения.Теорема 17.33. Сумма вычетов любой мероморфной связности на линейном расслоении π над римановой поверхностью T постоянна для всехсвязностей и равна степени расслоения:Xres ∇ = deg π.∈Доказательство. Разность двух мероморфных связностей ∇, ∇0 одноголинейного расслоения — это глобально определённая мероморфная 1-формаη = ∇ − ∇0 ∈ Λ1 (T ). Действительно, согласно (17.14), разность — корректноопределённая операторнозначная 1-форма.
Каждому линейному отображению из GL(1, C) можно сопоставить мультипликатор, т. е. комплексное число(а не элемент слоя). Отсюда следует, чтоXXXres ∇ −res ∇0 =res η = 0,так как полная сумма вычетов любой мероморфной 1-формы равна нулю(полный интеграл η вдоль всех маленьких петель вокруг всех особенностейна T ). Таким образом, сумма вычетов не зависит от выбора связности.Докажем теперь, что она равна степени расслоения.
Рассмотрим произвольное мероморфное сечение s ∈ Γ (π), заданное голоморфной коцепью,s ∼ {xα }, и пусть ∇ — единственная связность, для которой s горизонтально(см. упражнение 17.6). Эта связность определена коцепью логарифмическихпроизводных {ωα }: ∇ ' {ωα }, где ωα = dxα · xα−1 . Вычет связности ∇ в любойточке равен порядку сечения s в этой точке. ПоэтомуXXXXres ∇ =res ωα =ord xα =ord s = deg π,как следует из (17.11).Эти вычисления нельзя непосредственно обобщить на связности произвольных расслоений ранга больше чем 1, так как для таких расслоенийвычеты — это линейные отображения различных слоёв, и их нельзя простосложить.
Таким образом, «сумма всех вычетов» для произвольной связностине имеет смысла. Самое лучшее, что можно получить, — это формула для«суммы следов всех вычетов», которая определяется следующим образом.336Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьЛюбая мероморфная связность ∇ на голоморфном векторном расслоении π индуцирует след связности на детерминантном расслоении det π,обозначаемый tr ∇. Если связность ∇ тривиализуется коцепью мероморфныхматричных 1-форм {Ωα }, то tr ∇ тривиализуется коцепью {ωα },def∇ ' {Ωα } ⇐⇒ tr ∇ ' {tr Ωα }.(17.19)Предложение 17.34. Связность tr ∇ — корректно определённая мероморфная связность на расслоении det π.Две связности ∇ и tr ∇ связаны отображением det: если s1 , . .
. , s — n линейно независимых мероморфных сечений ранга n расслоения π, горизонтального для ∇, то их внешнее произведение s1 ∧ . . . ∧ s — это сечение линейногорасслоения det π, горизонтального для связности tr ∇.Обе связности имеют одно и то же множество особенностей, и в каждойособой точкеres tr ∇ = tr res ∇.(17.20)Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим коцикл H = {Hαβ }, подчинённый π, и соответствующий коцикл det H = {hαβ },hαβ = det Hαβ . По формуле Лиувилля — Остроградского (задача 15.10),tr Ωβ = tr(dHβα · Hαβ ) + tr(Hβα Ωα Hαβ ) = dhβα · hαβ + tr Ωα ,это значит, что коцепь {tr Ωα }, представляющая tr ∇, — это связность на расслоении, заданная коциклом det H .Если {Xα (t)} — фундаментальное (многозначное) матричное решение,ассоциированное с сечениями s1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
