Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Мы будем рассматривать только 0-коцепи и 1-коциклы, называя их просто коцепями икоциклами.§ 17.2. Коциклы321Доказательство. Рассмотрим несвязное объединение цилиндровGSe =Uα × Cαвместе с соотношением эквивалентности, заданным условиямиUα × C 3 (a, x) ∼ (a0 , x 0 ) ∈ Uβ × C ⇐⇒ a = a0 ∈ Uαβ и x 0 = Hβα x.Это соотношение симметрично в силу (17.3) и транзитивно в силу условия (17.4).Факторпространство S = Se/∼ по этому соотношению наследует естественную структуру голоморфного многообразия с картами Uα × C . Декартовыпроекции πα : Uα × C → Uα уважают отношение эквивалентности и поэтомувместе определяют аналитическое отображение π: S → T.
Цилиндры Uα × Cзадают тривиализацию отображения π над Uα , и поэтому функции переходамежду этими тривиализациями тавтологически совпадают с калибровочнымипреобразованиями, определёнными матричными функциями, заданнымикоциклами.Описание векторного расслоения при помощи матричных коциклов —это способ работы с геометрической категорией векторных расслоенийметодами теории аналитических матричных функций.Пример 17.7. Тривиальное векторное расслоение π: T ×C →T, π(a, x)=a,любого ранга n существует над любой базой T и ассоциировано с тривиальным коциклом {Hαβ = E}, подчинённым произвольному покрытию T.Определение векторного расслоения не предполагает никакого определённого выбора тривиализации (требуется только существование).Ясно, что если Φα — тривиализация векторного расслоения π над областью Uα ⊆ T и Gα : Uα × C → Uα × C — набор обратимых отображений,расслоенных над тождественным, то Φ0α = Gα ◦ Φα — другая тривиализация0над той же областью Uα .
Коцикл H 0 = {Hαβ} сквозных отображений, ассоциированных с набором тривиализаций Φα , связан с начальным коцикломследующим образом:0HαβGβ = Gα Hαβ на Uαβ .(17.5)0Определение 17.8. Два коцикла H = {Hαβ } и H 0 = {Hαβ}, порождённыеодним покрытием U = {Uα }, называются эквивалентными, если существуют голоморфные матричные коцепи G = {Gα } такие, что выполнено равенство (17.5).Таким образом, мы заключаем, что каждое голоморфное векторноерасслоение над базой T ассоциировано с семейством эквивалентных голоморфных матричных коциклов, заданных некоторым открытым покрытиемU = {Uα } базы T. И наоборот, любой матричный коцикл может быть реализован подходящим расслоением.Мы ещё не исследовали вопрос эквивалентности расслоений, полученных из различных покрытий.
Ясно, что если покрытие U = {Uα } являетсяизмельчением другого, более крупного покрытия U0 = {U0 }, т. е. если каждое Uα полностью принадлежит одной из более крупных областей U0 , толюбой коцикл, подчинённый U0 , можно разделить на коциклы, подчинённые322Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьболее мелкому разбиению U , задавая тождественные сквозные отображенияHαβ = id, если Uα и Uβ принадлежат одной большой области U0 . Это позволяет определить эквивалентность двух коциклов H , H 0, заданных двумяразличными покрытиями U , U0, переходя к коциклам, определённым в общемподпокрытии U00 = {Uα ∩ U0 }.Заменяя области Uα более маленькими, мы можем (и всегда будем) предполагать, что каждая из них является топологическим диском с гладкойграницей.Сложная проблема — это переход от мелкого к более крупному разбиению.
Для это нужно скомбинировать две тривиализации над пересекающимися областями Uα , Uβ в тривиализацию над объединением Uα ∪ Uβ . Мывернёмся к этому вопросу позже, в § 17.10.§ 17.3. Операции над расслоениямиНеформально говоря, голоморфное расслоение — это объединение линейных пространств (слоёв), параметризованных точками базы T локальнотривиально. Большую часть конструкций линейной алгебры можно перенестина векторные расслоения, применяя конструкцию «послойно». Мы предлагаемкороткий словарь для «перевода» основных терминов.Определение 17.9.
Голоморфное отображение векторных расслоенийπ: S → T и π0 : S0 → T 0 — это голоморфное отображение F : S → S0 междутотальными пространствами, которое переводит слои расслоения π линейнов слои расслоения π0.Строго говоря, это означает, что существует отображение f : T → T 0 междуоснованиями, такое что π0 ◦ F = f ◦ π. Мы будем говорить, что отображение Fрасслоено над f. Два векторных расслоения эквивалентны, если существуетобратимое голоморфное отображение между ними.Чтобы записать отображение векторных расслоений «в координатах»,нужно выбрать пару тривиализующих карт в окрестности заданной точкиa ∈ T и её образа a0 = f (a).
Рассмотрим пару областей Uα ⊂ T и U0 ⊂ T 0 , содержащих a и a0 соответственно, и пусть Φα , Φ0 — тривиализующие отображениядля расслоений π и π0 . Тогда отображение между расслоениями будет калибровочным отображением между Uα × C и U0 × C (мы не предполагаем, чторасслоения имеют одинаковый ранг). Другими словами, в тривиализующихкартах отображение Φ0 ◦ F ◦ Φα−1 принимает видUα × C → U0 × C ,(a, x) 7→ ( f (a), Fα, (a) · x),с (n × m)-голоморфной матричной функцией Fα, . Если вместо тривиализации Φα выбрать другую тривиализацию Φβ в тотальном пространстве, томатричная функция Fα, заменится матричной функцией Fβ, , которая на пересечении Uαβ удовлетворяет тождеству Fβ, (a) = Fα, (a) · Hαβ (a). Подобноеправило применяется при замене тривиализации в тотальном пространствекасательного расслоения.323§ 17.3.
Операции над расслоениямиПример 17.10. Если расслоение S0 (некоторой размерности m) тривиально, то отображение между S и S0 определяется коцепью F = {Fα }, такой чтоFα · Hαβ = Fβ .И наоборот, отображение из тривиального расслоения S0 в S определяетсякоцепью G = {Gα }, такой что Hαβ · Gβ = Gα .Определение 17.11. Голоморфный коцикл H = {Hαβ } называется тривиализуемым, или разрешимым, если существует голоморфная матричнаякоцепь G = {Gα }, такая чтоHαβ = Gα Gβ−1 .(17.6)Согласно этому определению, разрешимые коциклы соответствуют расслоениям, голоморфно эквивалентным тривиальному расслоению. Или, с аналитической точки зрения, коцикл разрешим тогда и только тогда, когда онэквивалентен тривиальному коциклу.Общая конструкция отображения между расслоениями становится прозрачнее, если и исходное, и касательное расслоения π, π0 рассматриваютсянад одной базой и отображение расслоено над тождественным.
В этом случаеестественно использовать тривиализации Φα , Φ0α , заданные тем же покрытием.В каждой тривиализации отображение F : S → S0 связано с голоморфнойматричной функциейΦ0α ◦ F ◦ Φ−1α : Uα × C → Uα × C ,(a, x) 7→ (a, Fα (a)x).Другими словами, отображение расслоений ассоциировано с голоморфнойматричной коцепью (матрицы могут быть неквадратными, если ранги π, π0различны).На пересечении двух областей определения матричные функции Fα , Fβсвязаны тождеством0Fβ = HβαFα Hαβ ,т. е.0HαβFβ = Fα Hαβна Uαβ ,(17.7)0где {Hαβ }, {Hαβ} — два коцикла, определяющих расслоения π, π0 соответственно. Это тождество совпадает с (17.5), если матрица Fα голоморфно обратима.Мы построили ещё один пример, показывающий, что понятие эквивалентностикоциклов — это, по сути, эквивалентность соответствующих расслоений.Другие линейные алгебраические конструкции определяются аналогично.Подрасслоение S0 голоморфного расслоения π: S → T — это голоморфное подмногообразие S0 ⊆ S такое, что ограничение π на S0 — векторное расслоениенекоторого ранга k, не превосходящего ранга S.
Для подрасслоения S0 ⊂ Sможно определить факторрасслоение S/S0, слои которого — это факторпространства τ /τ0 , τ = π−1 (a), τ0 = τ ∩ S0 ⊆ τ . Если заданы два расслоенияπ, π0 над одной базой, то можно построить их прямую сумму π ⊕ π0, тензорноепроизведение π ⊗ π0, двойственное расслоение π∗ и т.
д.Заметим, что касательное и кокасательное расслоения π = TM и π∗ = T∗ Mнад произвольным голоморфным многообразием M двойственны друг другу:для каждой точки a ∈ M существует билинейное двойственное отображениеπ−1 (a) × (π∗ )−1 (a) → C между слоями расслоений.324Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьПонятие голоморфного векторного расслоения, коцикла, коцепей имеютсмысл в случае минимального ранга n = 1. Этот случай особенно важен, таккак (1×1)-матрицы коммутируют, и поэтому гораздо проще изучать коциклыи их эквивалентность.
Чтобы выделить этот случай, расслоения ранга 1называют линейными расслоениями.Конструкция определителя очень важна для приложений, так как позволяет связать векторное расслоение любого ранга с линейным расслоением.Более естественно было бы назвать эту конструкцию максимальным внешним произведением.Отметим, что n-я внешняя степень любого n-мерного пространстваодномерна. Поэтому для любого векторного расслоения π ранга n внешнеепроизведениеdet π = π..
∧ π| ∧ .{z} разявляется линейным расслоением. Любое линейное отображение H ∈ GL(n, C)индуцирует отображение det H ∈ GL(1, C) внешних произведений:x1 ∧ . . . ∧ x 7→ Hx1 ∧ . . . ∧ Hx = (det H) · x1 ∧ . . . ∧ x .Это позволяет определить детерминант векторного расслоения в терминахкоциклов.Определение 17.12. Определитель векторного расслоения π: S → T ранга n, ассоциированного с коциклом H , — это голоморфное векторное расслоение ранга 1, ассоциированное с коцикломdet H = {hαβ },hαβ = det Hαβ .(17.8)Легко проверить, что det H — это скалярный коцикл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
