Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Из (17.5) следует,что эквивалентные коциклы индуцируют один и тот же детерминантныйкоцикл.§ 17.4. Классификация линейных расслоенийнад сферой РиманаПрежде чем перейти к классификации голоморфных векторных расслоений произвольного ранга над сферой Римана P в § 17.10, классифицируемлинейные расслоения над P.Рассмотрим стандартное покрытие римановой сферы P атласом из двухкарт, U0 ={|t|< r0 }⊆C (диск в аффинной части с координатой t, наследованнойиз аффинного пространства) и U1 = {|t| > r1 } ∪ {∞} с координатой z = 1/t,в которой U1 также становится диском.
Пересечение A = U01 двух карт —это круговое кольцо A = {r1 < t < r0 }. Точный выбор параметров r1 < r0 уженеважен.(Голоморфный матричный) коцикл, подчинённый стандартному покрытию, состоит из единственной пары голоморфных и обратимых в кольце A−1матричных функций H01 (t) = H10(t). Такие коциклы мы будем называть§ 17.4.
Классификация линейных расслоений над сферой Римана325коциклами Биркгофа — Гротендика. Например, коцикл Биркгофа — Гротендика ранга 1 — это просто функция h(t) = h01 (t) = 1/h10 (t), не обращающаясяв нуль и голоморфная в кольце.Обозначим ξ линейное расслоение, соответствующее стандартномукоциклу Биркгофа — ГротендикаL = {h01 , h10 },h01 (t) = t ∈ =1,h10 (t)d ∈ Z,(17.9)в кольце A. Целое число d мы будем называть степенью линейного расслоения ξ и соответствующего стандартного коцикла.Предложение 17.13.
Любой скалярный коцикл Биркгофа — ГротендикаL = {h01 (t), h10 (t)} эквивалентен одному из стандартных коциклов (17.9)некоторой степени d. Стандартные коциклы различных степеней не эквивалентны.Для доказательства предложения нам понадобится аддитивный (а не мультипликативный) аналог голоморфной разрешимости коциклов.Лемма 17.14. Пусть U, U 0 ⊆ P — две области с кусочно-гладкой границей,такие что их пересечение V = U ∩ U 0 также имеет кусочно-гладкую границу.Тогда любая функция v ∈ A (V ), голоморфная в V и непрерывная в замыканииV = V ∪ ∂V, может быть представлена как разность v = u − u0, где u ∈ A (U),u0 ∈ A (U 0 ).Для непрерывных функций доказательство очевидно: можно выбрать решение u0 = 0 (такая функция всюду определена) и построить u как произвольное продолжение функции v с замкнутого множества V на большее множество U.
Однако голоморфность — это очень жёсткое ограничение на функцию,и лемма 17.14 — это нетривиальный, хотя и простой факт.Доказательство леммы 17.14. Функция v может быть представлена интегралом Коши по границе области ∂V. Границу, в свою очередь, можнопредставить как несвязное объединение двух частей: ∂V = B t B0, с B ⊂ ∂Uи B0 ⊂ ∂U 0. ПоэтомуIIIv(t) =f (z) dz1=z−t2πi12πif (z) dz1−z−t2πif (z) dz.z−t−00Интеграл по B (соответственно B ) — это голоморфная в области U ⊂ P\B(соответственно U 0 ⊂ P\B0 ) функция, непрерывная вплоть до границы.Пример 17.15. Функцию u, голоморфную в кольце A = U01 , описанномвыше, можно разложить в сходящийся ряд Лорана. Собрав вместе неотрицательные и отрицательные степени t, мы получим два ряда, сходящихсясоответственно в дисках U0 , U1 ⊂ P.Доказательство предложения 17.13.
Существует единственное целоечисло d такое, что аргумент функции t − h(t) — это корректно определённая функция в кольце A = U01 . Это число равно индексу (числу вращения)326Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьпетли h(S1 ) относительно начала координат, где S1 — единичная окружность{|t| = 1}.При таком выборе d можно корректно определить логарифмu(t) = ln(t − h(t))как голоморфную функцию в кольце A, единственную по модулю 2πiZ. Продолжая u согласно лемме 17.14, мы получим две функции u0 , u1 , голоморфныев соответствующих дисках D ⊂ P.
Экспоненты g = exp u этих функций —это голоморфные, не обращающиеся в нуль в U функции, удовлетворяющиетождеству t − h(t) = g0 /g1 в U01 . Переписав это тождество в видеh(t) · g1 (t) = g0 (t) t ,мы докажем, что голоморфные коциклы L и L эквивалентны, ср. (17.5).0Равенство t g1 = g0 t , где d 6= d0, невозможно, так как вариация аргументаголоморфной не обращающейся в нуль функции g по циклу равна нулю, в то0время как для отношения t − эта вариация равна 2π(d − d 0 ).Предложение 17.13 даёт классификацию скалярных коциклов, подчинённых стандартному покрытию сферы Римана P двумя картами.
На самомделе, этот частный случай позволяет описать все скалярные коциклы и,следовательно, все голоморфные линейные расслоения на P.Теорема 17.16. Любое линейное расслоение над сферой Римана голоморфноэквивалентно стандартному расслоению ξ некоторой степени d ∈ Z.Доказательство. Прежде всего покажем, что любое линейное расслоение π0 над единичным диском D ⊂ C эквивалентно тривиальному расслоению.Действительно, рассмотрим коцикл L , который определяет расслоение π0 .Этот коцикл задаётся конечным покрытием U . Измельчая это покрытие, мыможем предположить, что это триангуляция, т.
е. области Uα — это маленькие"-окрестности треугольников некоторой триангуляции диска D (нетрудновыбрать также разбиение диска на маленькие квадратики, образующиерешётку). Для наших целей важно, что области U1 , . . . , U можно упорядочитьтак, что пересеченияU+1 ∩ (U1 ∪ . . . ∪ U ),k = 1, 2, . . . , N − 1,связны и односвязны, см. рис. 17.1.По предположению индукции коцикл L разрешим над U 0 = U1 ∪ . .
. ∪ U .Тогда, заменяя коцикл H эквивалентным коциклом, мы можем предположить, что все функции перехода h между областями с номерами ¶ kтривиальны. Откуда следует, что коцикл можно тривиализовать также надU 0 ∪ U, U = U+1 . Действительно, в этом случае остаётся только показать, чтолюбая голоморфно обратимая функция h на пересечении V = U ∩ U 0 можетбыть представлена как отношение двух функций h = g/g 0, голоморфных иобратимых в U и U 0 соответственно.Так как по построению V односвязно, ln h — корректно определённаяголоморфная функция, которую можно представить в виде разности двух голоморфных функций согласно лемме 17.14. После применения экспоненты мы§ 17.5.
Сечения голоморфных векторных расслоений327Рис. 17.1. Триангуляция и «треугольное покрытие» дискаполучим представление h = g/g 0 и будет доказана разрешимость коцикла L ,ограниченного на объединении U 0 ∪ U = U1 ∪ . . . ∪ U ∪ U+1 . По индукции,коцикл разрешим (и поэтому соответствующее линейное расслоение π0разрешимо).Поэтому любое голоморфное расслоение над P может быть тривиализовано над каждой из двух карт стандартного покрытия Биркгофа — Гротендика.Это значит, что проблема классификации произвольных коциклов над Pсведена к классификации (скалярных) коциклов Биркгофа — Гротендика,заданных стандартным покрытием. По предложению 17.13, каждый такойкоцикл эквивалентен стандартному коциклу.§ 17.5.
Сечения голоморфных векторных расслоенийТак как тотальное пространство векторного расслоения в общем случаене является декартовым произведением, нам нужно подходящее обобщениепонятия вектор-функций.Определение 17.17. Сечение голоморфного векторного расслоения π: S→→ T — это отображение s : T → S такое, что π ◦ s = id, т. е. такое, что образкаждой точки a ∈ T принадлежит слою π−1 (a). Мы будем рассматриватьнепрерывные голоморфные и мероморфные сечения (последние мы определимпозднее).Замечание 17.18.
Иногда мы будем иметь дело с «сечениями», определёнными только над некоторым (открытым) подмножеством U базы T. В этомслучае, чтобы не возникало недоразумений, мы будем говорить о локальныхсечениях, явно указывая их области определения.Тривиализация над областями Uα позволяет каждому сечению s голоморфной векторной коцепи {xα } сопоставить набор вектор-функцийxα : Uα → C ,xα = Φα ◦ s|α .328Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьИспользуя другую тривиализацию Φβ на пересечении двух областей, заменимфункцию xα на функцию xβ ,xβ = Hβα xα на Uαβ .(17.10)И наоборот, если заданы матричный коцикл H = {Hαβ } и векторноерасслоение, подчинённое этому коциклу, то любая голоморфная векторнаякоцепь {xα }, удовлетворяющая условиям (17.10) на попарных пересечениях,определяет сечение расслоения.Однако не все расслоения допускают нетривиальное (не тождественнонулевое) голоморфное сечение (см.
задачу 17.8).Пример 17.19. Сечения касательного расслоения TM — это (голоморфные) векторные поля на M. Сечения кокасательного расслоения — это голоморфные 1-формы. На сфере Римана P не существует глобально определённых1-форм без полюсов (иначе их потенциалы будут глобально определённыминепостоянными функциями), поэтому T∗ P не имеет голоморфных сечений.Глобально определённые голоморфные векторные поля на P существуют, ноони должны иметь нули.Из-за отсутствия голоморфных сечений появляются более общие объекты — мероморфные сечения голоморфного расслоения.Определение 17.20. Мероморфное сечение голоморфного векторного расслоения, определённого голоморфным матричным коциклом H = {Hαβ }, —это мероморфная векторная коцепь {xα }, xα ∈ M (Uα ) ⊗C C , которая удовлетворяет тождествам (17.10) на пересечениях Uαβ .Все голоморфные сечения заданного расслоения образуют бесконечномерное линейное пространство над C и, более того, линейное пространствонад полем M (T ) мероморфных функций на базе T, так как два сечения можносложить и любое мероморфное сечение можно умножить на мероморфнуюфункцию.
Соответствующая мероморфная векторная коцепь подчиняетсяочевидным правилам:s = s0 + s00 ⇐⇒ xα = xα0 + xα00 ,s0 = ϕ · s ⇐⇒ xα0 = ϕxα .Множество всех мероморфных сечений расслоения π: T → S мы будемобозначать через Γ (π).§ 17.6. Степень голоморфного расслоенияНапомним, что порядком мероморфной скалярной функции ϕ ∈ M (C, 0)числового аргумента t ∈ (C, 0) называется порядок (положительный илиотрицательный) главного члена ряда Лорана, ord0 ϕ = ν, еслиϕ(t) = cν tν + cν+1 tν+1 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
