Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 82
Текст из файла (страница 82)
. , s , то {uα } = {detα X (t)} — это коцепь,соответствующая сечению det π. По формуле Лиувилля — Остроградского,Ωα = Ẋα · Xα−1 ,tr Ωα =u̇α,uαэто доказывает, что две связности связаны отображением det.Из определения степени произвольного расслоения, теоремы 17.33 и предложения 17.34 немедленно получаемСледствие 17.35 (теорема об индексе для связности на векторном расслоении). Для любой мероморфной связности ∇ на голоморфном векторномрасслоении π над компактной римановой поверхностью верноXXres tr ∇ =tr res ∇ = deg π.(17.21)§ 17.10. Классификация голоморфныхвекторных расслоений над PМы закончим эту часть полным описанием всех голоморфных векторныхрасслоений над сферой Римана.Теорема 17.36.
Любое голоморфное векторное расслоение над открытомдиском D или над аффинной прямой C голоморфно тривиально.§ 17.10. Классификация голоморфных векторных расслоений над P337Теорема 17.37. Любое голоморфное векторное расслоение π на сфереРимана P голоморфно эквивалентно прямой сумме ξ стандартных линейных расслоений различных степеней:defξ = ξ1 ⊕ . . . ⊕ ξ ,D = diag{d1 , . .
. , d },d ∈ Z.При этом набор целых чисел {d1 , . . . , d } называется типом расщепленияи определён расслоением однозначно с точностью до перестановки.Эти результаты мы получим из теорем о разрешимости и эквивалентностиматричных коциклов.Рассмотрим первый простейший коцикл, подчинённый покрытию из двухкарт U0 , U1 ⊂ P (они могут покрывать не всю сферу P). Предположим, что обекарты U — топологические диски с кусочно-гладкими границами в C и ихпересечение U01 связно.Тогда существуют две топологически разных возможности: либо U01 —тоже топологический диск (ограниченный кусочно-гладкой кривой), либоU01 — топологическое кольцо.В первом случае голоморфный коцикл, подчинённый этому покрытию,мы будем называть коциклом Картана.Лемма 17.38.
Любой коцикл Картана голоморфно разрешим.Матричные коциклы, подчинённые покрытию второго типа, в которыхпересечение U01 — топологическое кольцо, мы будем называть коцикломБиркгофа — Гротендика, ср. с § 17.4. Без ограничения общности мы будемпредполагать, что покрытие стандартно (образовано двумя дисками с центром в t = 0 и t = ∞ соответственно).Лемма 17.39. Любой матричный коцикл Биркгофа — Гротендика H == {H01 , H10 } эквивалентен коциклу Биркгофа — Гротендика, заданному диагональной матричнозначной функцией {t , t − } с целочисленной диагональнойматрицей D = diag{d1 , . . . , d }.Другими словами, из леммы 17.39 следует, что любая голоморфная функция H01 (t) в кольце U01 = A допускает разложение 1H01 (t) = F0 (t) ·t...t · F1 (t)(17.22)с матричными функциями F0 , F1 , голоморфными и обратимыми в дисках U0 ,U1 с центрами t = 0 и t = ∞ соответственно.Этот очень глубокий результат можно рассматривать с разных точекзрения. Толкование, основанное на теории операторов и интегральныхуравнений, можно найти в статье [108].
В этой статье авторы строят разбиение (17.22) достаточно плохой матричной функции H01 (определённойна окружности |t| = 1 и всего лишь интегрируемой) и получают функции F0,1 ,голоморфно обратимые внутри и вне этой окружности. Причём тождество(17.22) выполнено на окружности в смысле главных значений.338Глава 17. Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьДругой подход использует методы теории аналитических матричныхфункций. Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что любой коциклразрешим в мероморфных или голоморфных функциях.Другими словами, мы покажем, что не существует аналитических (не алгебраических) препятствий для разрешимости матричных коциклов.Теорема 17.40.
Любой коцикл Картана или Биркгофа — Гротендика мероморфно разрешим: существует пара мероморфных и мероморфно обратимыхматричных функций F , определённых в областях U , i = 0, 1, таких чтоF0 = H01 F1на пересечении U01 .(17.23)Идея доказательства. В некоммутативном случае матричное «мультипликативное» уравнение (17.23) можно прологарифмировать и привести к «аддитивному»уравнению.
(Этот метод был применён в доказательстве предложения 17.13.)Поэтому если коцикл H01 близок к тождественному: H01 = E + "H для малого параметра ", то можно предположить, что F = E + "G , i = 0, 1, и «линеаризовать» уравнение(17.23), записав его в виде "G0 = "(H + G1 ) + O(" 2 ), сохранив только члены первогопорядка по ". Линеаризованное уравнение G0 = H + G1 «аддитивно» и всегда разрешимо в голоморфных матричных функциях.
Доказательство повторяет доказательстволеммы 17.14. Из разрешимости, приложив ещё немного усилий, можно получитьголоморфную разрешимость матричного уравнения (17.23) для всех голоморфныхматричных коциклов, близких к тождественному. Этот шаг напоминает решениенелинейного интегрального уравнения при помощи резольвент линеаризованногоуравнения.
Немного неожиданно, что резольвента уравнения Биркгофа — Гротендикаограничена и соответствующее нелинейное уравнение разрешимо с помощью принципа сжимающих отображений. В случае уравнения Картана резольвента (заданнаяинтегралом Коши) неограниченна и приходится использовать модифицированный метод Ньютона — Колмогорова ускоренной сходимости, чтобы преодолеть эту трудность.После того как задача решена для любого коцикла, близкого к тривиальному,любой другой (не обязательно близкий к тривиальному) матричный коцикл можноприблизить с любой заданной точностью рациональным матричным коциклом.
Этирациональные коциклы, очевидно, мероморфно разрешимы (достаточно собратьвместе все множители с полюсами в соответствующих картах). Отсюда легко получитьмероморфную разрешимость произвольного коцикла.Аккуратное доказательство можно найти в [29, § VI.E], [1, § 3.3], а также в книге[101, лекция 9].Во второй части доказательства мы покажем, что мероморфную тривиализацию коцикла можно превратить в голоморфную или в голоморфноесопряжение с некоторым стандартным коциклом.На этом шаге разница между некомпактными базами (например, Cили D) и компактной (P) играет основную роль.
Мы выведем леммы 17.38и 17.39 из теоремы 17.40 при помощи элементарных операций над строкамии столбцами матричных функций.Напомним, что элементарная операция над строками матрицы — этоодна из следующих:1) перестановка двух строк,2) прибавление к одной из строк линейной комбинации других строк,3) умножение строки на ненулевое число.§ 17.10. Классификация голоморфных векторных расслоений над P339Каждую элементарную операцию можно получить левым умножениемматрицы на подходящую элементарную матрицу. Для всех операций, кроме3-го типа, определитель соответствующей элементарной матрицы равен 1.Три одновременных элементарных матричных операции над столбцамиможно получить при помощи подходящего правого умножения.Очевидно, три элементарных операции можно обобщить и на мероморфные матричные функции.
Преобразования второго типа для мероморфныхфункций — это прибавление к строке матричной функции линейной комбинации других строк с мероморфными коэффициентами. Преобразованиятретьего типа сводятся к умножению строки на ненулевую мероморфнуюфункцию. Элементарные операции над столбцами мероморфных матричныхфункций можно аналогично обобщить.Доказательство леммы 17.38. По теореме 17.40 любой коцикл Картанаможно разрешить при помощи мероморфной коцепи {F0 , F1 }. Рассмотримпоследовательность преобразований, переводящих мероморфную коцепьв голоморфную коцепь.В первую очередь, мероморфную коцепь можно преобразовать так, что всематричные функции F (t) станут голоморфными в соответствующих областяхU ⊆C.
Для этого все функции F (t) необходимо умножить на подходящую скалярную степень (t − t )ν , ν ∈ N, для каждого полюса t порядка ν . Ясно, что определители голоморфных матриц F (t), полученных таким умножением, остаютсяненулевыми, но матрицы могут иметь изолированные нули конечного порядка.Чтобы избавиться от нулей, мы должны умножить F одновременно на рациональные матричные функции справа (это операция очевидно сохраняеттождество H01 F1 = F0 ).
Если t∗ — изолированный корень det F1 (t), то любойиз столбцов матрицы F1 (t∗ ) равен линейной комбинации других столбцов,таким образом, что после правого умножения на подходящую постояннуюматрицу C один из столбцов F1 (t∗ ) становится нулевым. Поэтому все элементы этого столбца матричной функции F1 (t)C имеют общий множительt − t∗ . После правого умножения на рациональную матричную функциюR(t) = diag{1, .
. . , (t − t∗ )−1 , . . . , 1} матричная функция F1 (t)CR(t) = F10 (t) останется голоморфной в точке t∗ , и поэтому F00 (t) = H01 (t)F10 (t) = F0 (t)CR(t).Общее количество нулей det F0 (t) в C, с учётом кратности, можно уменьшить на 1 по сравнению с числом нулей det F (t). После конечного числатаких шагов мы уничтожим все нули определителя. Результирующая коцепьбудет разрешать коцикл, так как по определению коцикла Картана, U0 и U1принадлежат к ограниченному подмножеству C.
Лемма 17.38 доказана.Для доказательства леммы 17.39 мы будем использовать следующийрезультат, известный как лемма Соважа [30]. Пусть (P, ∞) — маленькая круговая окрестность бесконечности. Любую матричную функцию H(t) = H01 ∈∈ Mat(n, M (P, ∞)), мероморфную и не равную тождественно нулю в этойокрестности, можно рассматривать как коцикл на покрытии римановойсферы двумя картами, U0 = C и U1 = (P, ∞), пересекающимися по проколотомудиску, который является предельным случаем кольца. Мы будем называтьтакой коцикл коциклом Соважа.340Глава 17.
Голоморфные векторные расслоения и мероморфная связностьЛемма 17.41 (лемма Соважа). Любой коцикл Соважа голоморфно эквивалентен стандартному матричному коциклу {t }, подчинённому тому жепокрытию, с подходящей диагональной целочисленной матрицей D.Доказательство. Доказательство состоит в применении последовательности соответствующих монопольных калибровочных преобразований, которые реализуют элементарное матричное преобразование, приводящее коциклСоважа к диагональному виду.Шаг 1. Если росток H(t) голоморфен в точке (P, ∞) и невырожден в t = ∞,то существует постоянная верхнетреугольная матрица C и голоморфныйросток H 0 (t), такой что0CH(t) = t H 0 (t),D 0 = diag{0, . . . , −1, .
. . , 0}.(17.24)Действительно, если det H(∞) = 0, то строки постоянной матрицы H(∞)должны быть линейно зависимыми, в частности, некоторая строка должнабыть линейной комбинацией подпоследовательности нижних строк. Другимисловами, существует верхнетреугольная постоянная матрица C с определителем 1, такая что матрица CH(∞) имеет нулевую строку.Но тогда ту же самую строку матричной функции CH(t) можно поделить0−1на t , так что матрица H 0 (t) = t − CH(t) голоморфна в t = ∞.Ясно, что порядок нуля det H 0 (t) строго не выше, чем порядок нуля det H(t):ord∞ det H 0 (t) = ord∞ det H(t) − 1.(17.25)Шаг 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
