Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

пусть X (t)мероморфная матричная функция. Без потери общности можно считать, чтоподпространство L(t) натянуто на первые k столбцов (вектор-функций) матрицы X . Наша цель состоит в том, чтобы показать следующий факт: в L(t) можнонайти k голоморфных вектор-функций, линейно независимых для всех t ∈ (C, 0).Пусть k = 1. Очевидно, что любая мероморфная вектор-функция x1 (t)может быть единственным образом представлена в виде x1 (t) = tν1 y1 (t), гдеy1 (·) голоморфна и y1 (0) 6= 0.

Линейная оболочка функции y1 (t) совпадаетс тем же подпространством (прямой), и эта функция голоморфна.Предположим, что любое k-мерное семейство подпространств можетбыть задано как линейная оболочка k голоморфных линейно независимыхвектор-функций. Совершая дополнительное голоморфное калибровочноепреобразование, мы можем положить без ограничения общности, что этивектор-функции совпадают с координатными вектор-функциями y1 (t) == (1, 0, . . .

, 0)>, y2 (t) = (0, 1, 0, . . .)> и т. д. Рассмотрим мероморфную вектор-функцию x+1 (t). Не меняя подпространство L(t), мы можем заменить её§ 18.3. Инвариантные подрасслоения и неприводимость353другой вектор-функцией x0 (t), чьи первые k координат тождественно равнынулю (вычитая подходящую линейную комбинацию x1 (t), . . . , x (t) с меро0морфными коэффициентами). Вектор-функция x+1(t) снова может быть0представлена единственным образом в виде x+1 (t) = tν+1 y+1 (t), где y+1 (t)голоморфна и y+1 (0) 6= 0.

Поскольку первые компоненты y+1 тождественнонулевые, вектор-функции y1 , . . . , y+1 линейно независимы.Шаг 3. Предположим теперь, что монодромия особой точки нетривиальнаи что линейное пространство, порождаемое первыми k < n столбцами фундаментального матричного решения X (t), инвариантно. Если эти столбцызаписать в виде прямоугольной (n × k)-матрицы Y (t), то инвариантностьозначает, что для некоторой обратимой (k×k)-матрицы M результат аналитического продолжения Y вокруг начала координат равен Y (t)M.

Выбираялюбой матричный логарифм A ∈ Mat(k, C) такой, что exp 2πiA = M, мыприходим к выводу, что Z(t) = Y (t)t − является однозначной (и следовательно,мероморфной) матричной функцией в начале координат. Столбцы Z порождают то же самое пространство, что и Y, и следовательно, используя аргументыпредыдущего пункта, получаем, что это подпространство голоморфно зависитот t в любой регулярной особой точке.ƒОпределение 18.9.

Мероморфная связность голоморфного векторногорасслоения называется приводимой, если существует нетривиальное инвариантное голоморфное подрасслоение. В противном случае связность называется неприводимой.Из предложения 18.8 следует, что регулярная связность неприводима тогдаи только тогда, когда группа голономии неприводима как линейное представление фундаментальной группы π1 (T \Σ, a). Иными словами, (не)приводимость является свойством голономии, а не самой связности.Пример 18.10.

Пусть Ω — рациональная матричная 1-форма на P, задающая связность на тривиальном расслоении над сферой Римана. Если Ω имеетблочно-верхнетреугольную форму, то связность ∇ = d − Ω приводима. Соответствующее инвариантное подрасслоение — это «постоянное» координатноеподрасслоение, натянутое на первые координатные векторы.Лемма 18.11. Предположим, что рациональная (n × n)-матричная 1-форма Ω на сфере Римана P имеет m ¾ 1 фуксовых особых точек и регулярнуюнефуксову особую точку в начале координат. Предположим, что локальнов окрестности начала координат фундаментальное решение системы можетбыть представлено в видеX (t) = t Y (t),N = diag{ν1 , .

. . , ν },ν ∈ Z,где многозначная матричная функция Y (t) является фундаментальным решением для фуксовой особой точки (т. е. dY · Y −1 имеет полюс первого порядкав начале координат) и ν — некоторые числа.Если глобальная группа монодромии системы неприводима, то попарныеразности между числами ν ограничены, причём справедлива явная оценка:|ν − ν | ¶ (m − 2)(n − 1) ∀ i, j = 1, . . . , n.(18.6)354Глава 18. Проблема Римана — ГильбертаДоказательство. Пфаффова матрица системы вблизи начала координатпредставляется в форме Ω = Nt −1 dt + t Ω0 t − , где Ω0 = dY · Y −1 имеет полюспервого порядка в начале координат.

Без потери общности можно полагать,что элементы целочисленной диагональной матрицы N упорядочены в неубывающем порядке: ν1 ¾ . . . ¾ ν (всегда можно поменять местами столбцыглобальным постоянным калибровочным преобразованием, сохраняющимнеприводимость).Идея доказательства довольно прозрачна: если два последовательныхчисла ν , ν+1 отличаются слишком сильно, матричная 1-форма Ω будет иметьугол, заполненный рациональными формами ограниченной степени, которыеслишком «плоские», чтобы быть ненулевыми. С другой стороны, нулевой уголозначает приводимость, которая запрещена предположениями леммы.Более аккуратные рассуждения выглядят следующим образом.

Еслиν − ν+1 > m − 1 для некоторого k между 1 и n − 1, тогда все элементы некоторого верхнего правого угла матрицы Ω будут иметь нули порядка большеm − 2 в начале координат. Действительно, если i ¶ k и j ¾ k + 1, то (i, j)-йэлемент пфаффовой матрицы Ω получается умножением соответствующегоэлемента ω0 матрицы Ω0 на t , d = ν − ν ¾ ν − ν+1 > m − 1. Поскольку Ω0фуксова, её элементы имеют полюсы не более чем первого порядка, и следовательно, порядок нуля всех ω с i ¶ k и j ¾ k + 1 будет больше, чем m − 2.С другой стороны, поскольку Ω глобально определена на всей сфере, еёэлементы являются рациональными 1-формами.

По предположениям, этиформы имеют лишь полюсы порядка 1 в не более чем m − 1 других точек P1 .Следовательно, порядок нуля в начале координат не может превосходить m −2,если только форма не тождественно нулевая (разница между общим числомполюсов и нулей любой рациональной формы всегда равна 2). Из этогоследует, что ω ≡ 0 для всех пар i, j таких, что i ¶ k и j ¾ k + 1.Однако появление угла, состоящего из тождественных нулей, как описановыше, в рациональной (т. е. глобально определённой) пфаффовой матрице Ωозначает, что координатное подпространство {x1 = . . . = x = 0} инвариантно относительно системы, и следовательно, относительно всех операторовмонодромии, что противоречит предположению неприводимости.Следовательно, в случае когда диагональные элементы ν упорядоченыпо невозрастанию, разность между любыми двумя последовательными числами не может быть больше чем m − 2.

Следовательно, разница между любымидвумя ν не больше чем (m − 2)(n − 1) по абсолютной величине, и это утверждение не зависит от порядка этих чисел.ƒЭта лемма мгновенно даёт отрицательный результат типа Римана —Гильберта. Она позволяет построить широкий класс голоморфных векторныхрасслоений, для которых проблема Римана — Гильберта не имеет решений.Теорема 18.12. Неприводимая матричная группа с m образующими не может быть реализована как группа голономии мероморфной связности с m + 1особыми точками на голоморфном расслоении над P с типом расщепления D = {d1 , .

. . , d }, если не выполнено хотя бы одно из следующих неравенств:|d − d | ¶ (m − 2)(n − 1),i, j = 1, . . . , n.(18.7)§ 18.4. Теорема Болибруха — Костова355Доказательство. Предположим, что такая связность ∇ существует и имеетособенность на бесконечности.Рассмотрим мероморфную тривиализацию расслоения π коцепью (18.4),описанной в § 18.2. Эта тривиализация не меняет группу голономии, поэтомусвязность ∇0 тривиального расслоения также приводима.Фундаментальное матричное решение для горизонтального сечения∇0 X = 0 вблизи бесконечности записывается в виде X (t) = t − G(t)Y (t),где G голоморфно обратима в бесконечности и Y (t) — фундаментальное решение уравнения ∇Y =0 вблизи бесконечности.

Это следует из явной формытривиализации (18.4).По предположению, связность ∇ фуксова, а следовательно, логарифмическая производная dY · Y −1 матричной функции Y (t) имеет полюс первогопорядка. Поскольку G голоморфна и обратима, логарифмическая производнаяпроизведения GY также имеет полюс первого порядка на бесконечности. Еслиодно из неравенств (18.7) нарушается, после замены координаты t 7→ 1/t,переводящей бесконечность в нуль, это будет противоречить лемме 18.11,поскольку все другие особенности ∇0 фуксовы.ƒЗамечание 18.13. Утверждение теоремы 18.12 замечательно по следующейпричине. При построении голоморфного расслоения с помощью конструкциитеоремы 18.4 каждый оператор монодромии M может быть реализованбесконечным множеством различных локальных форм связности Ω .

Дажеесли использовать только эйлеровы уравнения, есть свобода в выборе матричных логарифмов, позволяющая построить бесконечно много голоморфнонеэквивалентных типов особенностей в каждой точке a ∈ Σ. Можно ожидать,что, комбинируя эти неэквивалентные особенности и «склеивая» их вместе,можно получить бесконечно много голоморфных расслоений с различнымитипами расщепления.Теорема 18.12 утверждает, что глобальные условия неприводимости группымонодромии влекут глобальные ограничения, которые допускают лишь конечноечисло различных типов расщепления.

В следующем параграфе мы покажем, чтов действительности лишь один из них допускает голоморфную тривиализацию.§ 18.4. Теорема Болибруха — КостоваНаиболее замечательный положительный результат о разрешимости проблемы Римана — Гильберта был открыт одновременно А. Болибрухом [99]и В. Костовым [40].Теорема 18.14. Любая неприводимая матричная группа может быть реализована как группа голономии фуксовой связности тривиального векторногорасслоения над P.Иными словами, любые данные монодромии {M1 , . . .

Характеристики

Список файлов книги