Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В частности, любой ненулевой мероморфный росток матричной функции F(t)в бесконечности допускает разложение F(t) = Π(t)H(t) t с монополем Π(t)и голоморфно обратимым в бесконечности ростком H(t).Задача 17.19 (см. [101]). Докажите, что голоморфное векторное расслоение π: S → T топологически тривиально тогда и только тогда, когда егостепень равна нулю. «Топологически тривиально» означает, что существуетгомеоморфизм F : S → T × C , расслоенный над тождественным отображениеми линейный на каждом слое.Глава 18Проблема Римана — ГильбертаПоказать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особымиточками и заданной группой монодромии.
В задаче, таким образом, требуется найти n функций переменной z,регулярных на всей комплексной плоскости z, за исключением, быть может, данных особых точек: в этих точкахони имеют полюсы только конечного порядка и приобходе в плоскости z вокруг этих точек эти функцииподвергаются линейной подстановке.Д. Гильберт, 1901,цитируется по [107], см. также [33]В проблеме Римана — Гильберта, также известной как «21-я проблемаГильберта», требуется построить линейную систему с заданной группоймонодромии и заданными особыми точками. Оригинальная формулировкаГильберта несколько нечёткая, поскольку пояснение, приводимое в текстепосле неё, описывает только свойство регулярности, тогда как в основнойформулировке упоминается фуксовость.Можно рассмотреть не одну, а сразу три различные формулировки,в которых заданную группу монодромии требуется реализовать (на всейсфере Римана P):(i) фуксовым линейным дифференциальным уравнением n-го порядка,(ii) линейной системой, имеющей только регулярные особенности, или(iii) фуксовой системой.В каждом случае требуется, чтобы уравнение (соответственно система)не имела особых точек, кроме заданных.Отрицательное решение первой проблемы было известно уже Пуанкаре:оно объясняется тем, что пространство всех фуксовых уравнений с заданными m особыми точками на P имеет строго меньшую размерность, чемпространство всех допустимых групп монодромии, за исключением случаяуравнений второго порядка с тремя особыми точками, изученного Риманом.Соответствующая проблема рассматривается в § 19.6.И.
Племель [52] решил проблему (ii) и утверждал, что нашёл решениенаиболее сложной проблемы (iii). Пробел в этом решении был найден346Глава 18. Проблема Римана — ГильбертаЮ. С. Ильяшенко [96] и А. Трейбихом [69] в начале 1980-х. Правильная частьтеоремы Племеля рассматривается в § 18.2.Лишь недавно стало ясно, что между формулировками (ii) и (iii) есть существенное различие.
А. Болибрух [99] и В. Костов [40] независимо доказали, чтонеприводимая группа монодромии всегда может быть реализована фуксовойсистемой. В этом разделе мы приводим простое доказательство теоремыБолибруха — Костова, которое сообщил нам покойный А. А. Болибрух.Однако для приводимой группы монодромии проблема (iii) может иметьотрицательный ответ. Контрпример, также принадлежащий Болибруху, приведён в § 18.5.Путь к пониманию причин и препятствий к разрешимости проблемыРимана — Гильберта лежит через её обобщение: рассмотрение проблемыРимана — Гильберта для мероморфных связностей и голоморфных векторных расслоений.
«Элементарное» (аналитическое) доказательство этих результатов приведено в главе 16.§ 18.1. Проблема Римана — Гильбертадля абстрактных расслоенийПроблему Римана — Гильберта можно переформулировать в инвариантных терминах следующим образом: построить мероморфную связность натривиальном расслоении над сферой Римана, имеющую заданные фуксовыособенности в заданных точках с заданной группой голономии.В категории абстрактных векторных расслоений проблема Римана —Гильберта становится тривиальной: любой набор матричных форм связностиможет быть реализован мероморфной связностью на подходящем голоморфном векторном расслоении.Мы начнём с выбора специальной системы образующих группы монодромии. Рассмотрим m различных точек a1 , . .
. , a на аффинной плоскостиC ⊂ P. Выбирая подходящую аффинную карту, всегда можно гарантировать,что a 6= 0 и a /a ∈/ R+ , т. е. что любые два из прямолинейных отрезков [0, a ],соединяющих начало координат с a , имеют единственную общую точку 0.Определение 18.1. Канонические петли — это петли, являющиеся образующими фундаментальной группы π1 (P\Σ, 0) сферы Римана, из которой удалено (выколото) конечное число точек Σ = {a1 , . . . , a }, a ∈ C, определяемых следующим образом. Петля γ начинается в нуле, проходит по прямолинейномуотрезку [0, a ] до пересечения с маленькой окружностью с центром в a , затемделает полный оборот по этой окружности против часовой стрелки и, наконец,возвращается обратно в 0 по тому же отрезку (см.
рис. 18.1). При этом окружности выбираются столь малыми, что петли γ попарно не пересекаются.Фундаментальная группа π1 (P\Σ, 0) порождается каноническими петлями γ , i = 1, . . . , m, связанными единственным соотношением γ1 ◦ . . . ◦ γ = id.Мы всегда будем предполагать, что точки занумерованы циклически, противчасовой стрелки (см. рис. 18.1), т. е. что точка a следует за точкой a−1 , а точка a1 — за a . Обозначим через U0 ⊆ C диск {|t| < R}, содержащий все точки a .§ 18.1. Проблема Римана — Гильберта для абстрактных расслоений347Рис.
18.1. Канонические петли и задание группы монодромииНапомним, что данные монодромии — это набор из m точек a1 , . . . , aи таких обратимых линейных операторов M1 , . . . , M ∈ GL(n, C), что их произведение в заданном порядке тождественно, см. (16.16).Определение 18.2. Данные монодромии реализуются мероморфной связностью ∇ на голоморфном векторном расслоении ранга n над P, еслиточки a , j = 1,2,. . ., m, являются особыми точками связности и отображение голономии ∆ (линейное преобразование слоя τ0 = π−1 (0) ' C в себя,соответствующее канонической петле γ ) совпадает с M для всех j = 1, .
. . , m.Пример 18.3 (реализация одного оператора). Любой оператор голономииможно явно реализовать голономией фуксовой системы. Действительно,пусть U = U ⊂ C — односвязная область, содержащая начало координат и точку a . Тогда оператор голономии фуксовой матричной 1-формыΩ =A dt∈ Λ1 (U ) ⊗ M (U ),t − aexp 2πiA = M ,(18.1)на слое {0} × C совпадает с M . Напомним, что уравнение exp 2πiA = Mимеет решение для любой невырожденной матрицы M по лемме 3.11.Отметим, что эта реализация не является единственной: кроме свободыв выборе матричного логарифма (см. § 3.4), в резонансном случае можно такжепостроить неэйлерову систему, реализующую данный оператор голономии.Теперь мы покажем, как произвольные данные монодромии для нескольких особых точек могут быть реализованы голономией фуксовой связности нанекотором абстрактном расслоении.
Рассмотрим набор матричных 1-форм Ω ,j = 1, . . . , m, каждая из которых мероморфна в области U0 и имеет единственный полюс в точке a . Набор {Ω }1 таких матричных 1-форм называетсядопустимым, если ∆ ◦ . . . ◦ ∆1 = id. Это требование выполняется автома-348Глава 18. Проблема Римана — Гильбертатически, если Ω реализует оператор голономии M для некоторых данныхмонодромии {M1 , . . . , M }.Теорема 18.4. Для любого допустимого набора мероморфных 1-формΩ ∈ Λ1 (U0 ) ⊗ M (U0 ),∆ = ∆γ ∈ GL(τ0 ),Sing Ω = {a },j = 1, . . .
, m,∆ ◦ . . . ◦ ∆1 = id,(18.2)существуют голоморфное векторное расслоение π: S → P ранга n над сферойРимана и мероморфная связность ∇ на этом расслоении, множество особыхточек которой совпадает с Σ = {a1 , . . . , a }, и в каждой особой точке a этасвязность локально биголоморфно эквивалентна связности d − Ω .Иными словами, можно построить голоморфное расслоение над P с любыми заданными наперёд группами голономии, дополнительно задавая расположение и типы особых точек (регулярная, фуксова или даже произвольнаяиррегулярная). Конечно, при этом нет никакой гарантии, что полученноетаким образом расслоение будет тривиальным.Доказательство.
Утверждение теоремы во многом тавтологично и оченьпохоже на утверждение теоремы 17.6. Аккуратное доказательство состоитиз двух шагов.На первом шаге мы строим голоморфное расслоение π: S → U0 над большим диском U0 и мероморфную связность на нём с заданными операторамиголономии. Из требований допустимости следует тождественность отображения голономии вдоль границы диска. На втором шаге мы «заклеиваем»дыру в бесконечности, получая голоморфное векторное расслоение над P.Мы построим в явном виде коцикл, задающий расслоение π над диском U0следующим образом.
Чтобы определить покрытие диска U, мы поделимего на секторы вида S = {α ¶ arg t ¶ α+1 , |t| < R} таким образом, чтобыкаждый сектор S содержал только одну особую точку, и рассмотрим покрытие U0 открытыми областями U , j = 1, . . . , m, являющимися малыми"-окрестностями этих секторов. Число " выбирается настолько малым, чтобыпересечения U, +1 = U ∩ U+1 , являющиеся "-окрестностями лучей arg t = α ,не пересекали множество особых точек Σ. Отметим, что начало координатt = 0 принадлежит всем областям U .Если мы разрежем каждую область U вдоль радиуса, соединяющего особую точку a с границей диска U0 , то ни один из этих разрезов не пересечёт попарные пересечения U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
