Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если A(t) = =0 t A — матричная функция, содержащаятолько резонансные мономы в смысле Пуанкаре — Дюлака, то матричные коэффициенты A могут иметь ненулевые элементы (i, j) только при λ − λ = k.Если собственные значения упорядочены по невозрастанию в смысле частичного порядка (11.3):λ > λ в смысле (11.3) ⇒ i < j ∀ i, j,(16.5)то матрица A(t) верхнетреугольная.Это условие, сформулированное в терминах матричных элементов, можнопереформулировать в терминах коммутирования специальных матриц, т.
е.в виде матричного тождества в GL(n, C). Обозначим Λ = diag{λ1 , . . . , λ } диагональную часть матрицы-вычета A0 . Для произвольной постоянной мат-§ 16.3. Формальная классификация фуксовых особенностей303рицы C сопряжение C 7→ t Λ Ct −Λ степенной матричной функцией t Λ представляет собой умножение элемента (i, j) матрицы C на t λ −λ . Поэтому резонансныечлены A t можно описать через коммутатор их коэффициента A с t Λ так:t Λ A t −Λ = t A ,k = 1, 2, .
. .(16.6)Определение 16.13. Систему линейных уравненийẋ = t −1 (A0 + tA1 + . . . + t A + . . .)x,A ∈ Mat(n, C),(16.7)с матрицей-вычетом A0 будем называть нормальной формой Пуанкаре —Дюлака — Левеля, если1) матрица-вычет A0 приведена к верхнетреугольной блочно-диагональнойнормальной форме с диагональной частью Λ = diag{λ1 , . . . , λ };2) собственные значения матрицы A0 занумерованы в невозрастающемпорядке: если λ − λ = k ∈ N, то i < j, т. е. λ следует после λ ;3) матричные коэффициенты старших порядков A удовлетворяют условию (16.6).Замечание 16.14.
Удобно упорядочить собственные значения λ1 , . . . , λ так, чтовсе собственные значения с целочисленной разностью будут располагаться вместе,образовывая так называемую резонансную группу (порядок другой, «несравнимой»резонансной группы неважен). Если внутри каждой группы собственные значенияупорядочены в порядке убывания, матрица A(t) будет блочно-диагональной, и еёверхнетреугольные блоки будут соответствовать резонансным группам.Заметим также, что условие (16.6) для систем в нормальной форме выполнено автоматически в том числе для k = 0: матрица в жордановой форме коммутирует со своейдиагональной частью.
Требование верхнетреугольности к матрице A0 накладываетсяопределением 16.13.В нерезонансном случае форма Пуанкаре — Дюлака — Левеля очень проста:она должна быть системой Эйлера, в которой A = 0 при k ¾ 1. Так как попарноразличных разностей собственных значений конечное число, нормальнаяформа Пуанкаре — Дюлака — Левеля всегда полиномиальна.Теорема 16.15 (теорема Пуанкаре — Дюлака для фуксовых особых точек).Фуксова особенность формально эквивалентна верхнетреугольной матрицев нормальной форме Пуанкаре — Дюлака — Левеля (16.7).В частности, фуксова система с нерезонансной матрицей-вычетом A0формально эквивалентна системе Эйлера t ẋ = A0 x.Доказательство этой теоремы следует непосредственно из теоремы Пуанкаре — Дюлака 4.10.
Действительно, определению 16.13 удовлетворяютнормальные формы, содержащие лишь резонансные члены. Все остальные(нерезонансные) мономы могут быть исключены из системы (16.4).Остаётся только проверить, что результирующее формальное преобразование будет линейным по x и сохранять t-координату. Из метода Пуанкаре —Дюлака видно, что нормализующее отображение строится как бесконечнаякомпозиция полиномиальных отображений, каждое из которых сохраняетt-координату и линейно по x-координате, так как только мономы такого видаследует исключить на каждом шаге.304Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложенияОднако прямое доказательство, в основном повторяющее доказательствотеоремы 4.10, короче.Доказательство теоремы 16.15.
Пусть все элементы матрицы фуксовойсистемы до порядка k − 1 включительноуже нормализованы и не содержатPнерезонансных членов A(t) = t −1 ¾0 t A . Рассмотрим калибровочное преобразование с сопрягающей матрицей H(t) = E + t H , обратная к которой имеетвид H −1 (t) = E − t H + . . . Новая система будет иметь члены порядка (k − 1):A0 (t) = kt −1 H + t −1 (E + t H )A(t)(E − t H + . . .) == A(t) + t −1 (kH + H A0 − A0 H ) + . .
.Это вычисление показывает, что все матричные коэффициенты A00 , . . . , A0−1матрицы A0 (t) будут теми же, что и коэффициенты A(t), в то время как последний матричный коэффициент A0 можно изменить, вычитая (или прибавляя)матрицу B, имеющую вид kH + [H, A0 ] для некоторой матрицы H ∈ Mat(n, C).Оператор подкрученного коммутирования T = k + ad0 : D1 → D1 на пространстве линейных векторныхполей (матриц)¦© имеет по лемме 4.5 нижне∂1треугольный вид в базисе x: 1 ¶ i, j ¶ n с собственными значениями∂x∂λ − λ − k на диагонали.
Все нерезонансные векторные мономы xпри∂xнадлежат образу T и поэтому могут быть исключены таким же образом, какэто было сделано в § 4.3.Другими словами, A0 можно привести к резонансной нормальной форме,содержащей нули только на местах (i, j), где λ − λ = k. Это гарантируется−Λусловием t Λ A0 = t A0 . Процесс можно продолжить индукцией по k.§ 16.4. Голоморфная классификацияфуксовых особенностейКак уже было показано, сходимость последовательности формальныхнормализующих преобразований для произвольных нелинейных векторныхполей может оказаться очень тонким местом. Однако для фуксовых системситуация замечательная.Теорема 16.16 (голоморфная классификация фуксовых особенностей).Ряд любого формального калибровочного преобразования, сопрягающего двефуксовых системы, сходится.В частности, любая фуксова особенность локально голоморфно эквивалентна полиномиальной фуксовой системе в верхнетреугольной нормальнойформе (16.7)–(16.6).
Нерезонансная фуксова система голоморфно эквивалентна системе Эйлера.Доказательство этой теоремы можно получить несколькими способами.Во-первых, можно изменить доказательство теоремы Пуанкаре о нормализации 5.5 и показать, что ряды сходятся: это можно сделать, так как ненулевые1Треугольность возникает как следствие порядка векторных мономов, выбранного согласнолемме 4.5, и не зависит от порядка переменных x1 , . .
. , x самих по себе.§ 16.4. Голоморфная классификация фуксовых особенностей305знаменатели λ − λ − k фактически отделены от нуля, так же как в областиПуанкаре. Однако существует альтернативное простое доказательство, обходящее все технические трудности.Начнём с леммы о сходимости формально мероморфных решений фуксовых систем. По определению, формально мероморфное решение линейнойсистемы (15.2) — это формальный векторный ряд Лоранаx(t) =+∞Xt x ,x− , . . . , x0 , x1 , . .
. ∈ C ,(16.8)=−удовлетворяющий формальному уравнению (15.2).Лемма 16.17. Любое формальное мероморфное решение регулярной системы сходится и поэтому является настоящим мероморфным решением.Доказательство. Свойство наличия только сходящихся формальных мероморфных решений инвариантно относительно (настоящей) мероморфнойэквивалентности линейных систем. Так как любая регулярная система мероморфно эквивалентна эйлеровой системе (теорема 16.7), лемму достаточнодоказать толькоP ∞ для частного случая.Пусть=1 x t — формальное решение системы Эйлера t ẋ = Ax, A ∈∈ Mat(n, C).
Тогда после подстановки получим следующие условия на коэффициенты:kx = Ax , k = −d, . . . , 0, 1, . . .Каждое из этих условий означает, что векторный коэффициент x должен бытьлибо собственным вектором матрицы A с собственным значением k ∈ Z, либонулевым. Но как только |k| превосходит спектральный радиус оператора A,второй вариант становится невозможным. Поэтому все формальные мероморфные решения эйлеровой системы — это (векторнозначные) многочленыЛорана, и поэтому сходятся.Доказательство теоремы 16.16. Пусть H(t) — формальный матричныйряд Тейлора, сопрягающий две фуксовых особенности Ω = A (t) t −1 dt, i = 1, 2.Из уравнения (15.10) следует, чтоt −1 A2 = Ḣ · H −1 + t −1 HA1 H −1 ,откуда получаем «матричное дифференциальное уравнение» для матричнойфункции H(t):t Ḣ = A2 H − HA1 .Это уравнение не приводится к виду (15.3) относительно неизвестной матричной функции H, так как в правой части уравнения оказывается левое и правоематричное умножение.
Однако его можно записать в виде системы n2 линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно всех n2элементов матрицы H. Коэффициенты большой (n2 × n2 )-системы получаютсяиз элементов t −1 A (t) и поэтому в худшем случае имеют особенность типаполюс в начале координат.Таким образом, H(t) — формальное векторное решение фуксовой системыпорядка n2 . Согласно лемме 16.17 оно сходится.306Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек и её приложения§ 16.5. Интегрируемость нормальных формТак же как и нелинейные резонансные нормальные формы Пуанкаре —Дюлака, формы Пуанкаре — Дюлака — Левеля интегрируемы даже в резонансном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
