Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийЗаметим, что все особые точки слоения G 0 на E, кроме a0, являются неугловыми точками, тогда как a0 — угловая. Поэтому (невзвешенная) суммапорядков малости равнаX0c (G , E) − 1 + [c (G 0 , a0 ) − 1] = [ν + 1 − 1] + [c − (ν − 1) − 1] = c∈Eсогласно (14.22), (14.23), (14.24), поскольку все инвариантные кривые гладкиеи имеют порядок 1. Таким образом, взвешенный вклад особых точек на Eравен wc = wκ, так же как и раньше, т.
е. общая взвешенная сумма порядковмалости для G и G 0 = σ∗ G остаётся той же.Случай 2. Точка a — угловая. Пусть L1 и L2 — компоненты исчезающего дивизора, пересекающиеся в точке a, w1 и w2 — веса этих компонент, c1 и c2 —их порядки малости. Тогда соответствующий вклад точки a во взвешеннуюсумму для слоения G равенw κ1 + w2 κ2 = w (c1 − 1) + w2 (c2 − 1).(14.26)Сравним эту сумму с вкладом всех особых точек на вновь образованномдивизоре, который теперь содержит не одну, а две угловые точки на пересечении E с раздутиями L01,2 кривых L1,2 . Вес E равен w1 + w2 . Таким образом,обозначая опять через ν = ord G порядок угловой точки, мы вычислим вкладXw(E)κ (G 0 , E) + w(L01 )κ01 (G 0 , L01 ) + w(L02 )κ02 (G 0 , L02 )∈Eвсех особых точек на E в сумму (14.25).
Этот вклад равен(w1 + w2 )[ν + 1 − 2] + w1 [c1 − (ν − 1) − 1] + w2 [c2 − (ν − 1) − 1],(14.27)опять согласно тем же формулам (14.22)–(14.24). Можно проверить, что выражения (14.26) и (14.27) совпадают. Это означает, что общая сумма (14.25) остаётсятой же для слоений G и G 0, что и завершает доказательство теоремы.§ 14.10. Минимальность интегрируемых слоенийТеорема 14.20 доказывается путём сравнения слоения F и интегрируемого слоения H , обладающего теми же сепаратрисами.Доказательство теоремы 14.20. Пусть F — голоморфное слоение с особенностями на (C2 , 0), имеющее только конечное число аналитическихсепаратрис, а C — одна из этих сепаратрис, определённая уравнением { f = 0}с левой частью, свободной от квадратов, f ∈ O (C2 , 0). Поскольку функция fсвободна от квадратов, пфаффова форма df обращается в нуль только в началекоординат.Рассмотрим интегрируемое слоение H , определённое пфаффовым уравнением {df = 0} на (C2 , 0).
По построению, кривая C является общей сепаратрисой для обоих слоений F и H . По определению порядкаord0 H = ord0 f − 1 = ord0 C − 1,(14.28)§ 14.10. Минимальность интегрируемых слоений283поскольку слоение H может быть порождено гамильтоновым векторнымполем∂f ∂∂f ∂+H =−∂ y ∂x∂x ∂ yс изолированной особой точкой. Слоение H автоматически не являетсяобобщённо дикритическим: кривая C — его максимальная сепаратриса.Доказательство теоремы будет проведено путём сравнения взвешенныхсумм порядков малости для слоений F и H после раздутия посредствомотображения π: (M, S) → (C2 , 0), которое полностью разрешает особенностиобоих слоений F, H .
Существование такого отображения очевидно: сначаламожно разрешить особенности слоения F и потом продолжить раздутиеособенностей слоения H независимо от характера особенностей F (и вообщеих существования) в особых точках H . Поскольку раздутие элементарнойособенности (или неособой точки) опять элементарно, в результате мыпостроим отображение π: (M, S) → (C2 , 0), такое что раздутия обоих слоений посредством π, обозначенные через F 0 и H 0 соответственно, имеюттолько элементарные особенности на S. Слоение H 0 остаётся аналитическиинтегрируемым, поскольку это свойство не меняется при раздутиях.Любая элементарная интегрируемая особенность может быть лишь седлом, имеющим две гладкие сепаратрисы с порядком малости вдоль каждойиз них равным единице.
Таким образом, для любой гладкой компоненты L ⊂ Sисчезающего дивизора мы имеем для всех a ∈ L ⊆ S следующие величины:1, если a — неугловая особая точка слоения H 0 ,0κ (H , L) =(14.29)0, если a — угловая особая точка этого слоения.Что касается слоения F 0, то оно должно иметь особые точки в каждойугловой точке S, а также в любой неугловой особой точке слоения H 0.
Действительно, через любую такую неугловую элементарную особенность проходитгладкая аналитическая сепаратриса, общая для H и F 0 и трансверсальная к S.Поскольку порядок малости в особой точке не меньше единицы, мыимеем для всех a ∈ L ⊆ S следующие неравенства:1, если a — неугловая особая точка слоения H 0 ,κ (F 0, L) ¾(14.30)0, если a — любая другая точка.Эти неравенства становятся равенствами, если слоение F 0 имеет толькогиперболические особые точки на S, а сепаратриса C, использованная дляпостроения гамильтонова слоения, является максимальной.
Действительно,при этих дополнительных условиях любая неугловая особая точка a слоения F 0 на S имеет ещё одну сепаратрису, трансверсальную сепаратрисе S;из максимальности она также будет являться сепаратрисой слоения H 0, чтоозначает, что a также особая точка слоения H 0.По теореме 14.27, взвешенная сумма порядков малости равна порядкуисходного слоения, который выражется через порядок сепаратрисы C формулой (14.28).
Складывая все неравенства (14.29) и неравенства (14.30) с соответствующими весами w(L) по всем гладким компонентам L исчезающего284Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийдивизора S, мы получим неравенствоXXord0 C = 1 + ord0 H =w(L)κ (H 0, L) ¶w(L)κ (F 0, L) = 1 + ord0 F,которое превращается в равенство, если в результате полного разрешения особенностей слоения F не получается седлоузлов, а сепаратриса C максимальна.Это и доказывает теорему.Теперь мы сформулируем и докажем свойство минимальности интегрируемых слоений.Пусть F и H — два голоморфных слоения с особенностями на (C2 , 0),имеющие нетривиальные общие листы. Если слоения различны, то эти общиелисты могут быть только аналитическими сепаратрисами, как было замечено Р.
Муссю. Действительно, если внешнее произведение двух пфаффовыхформ, определяющих эти слоения, не равно тождественно нулю, тогда ономожет обращаться в нуль только на аналитической кривой, которая должнасодержать все общие листы слоений F и H .Обозначим через C ⊆ (C2 , 0) общую сепаратрису (в общем случае приводимую) для F и H . Тогда для любой связной (неприводимой) компонентыγ ⊆ C можно сравнить порядки малости слоений F и H на этой компоненте. Оказывается, интегрируемые слоения обладают следующим свойствомминимальности: порядок малости такого слоения минимален среди всехголоморфных слоений, обладающих той же сепаратрисой.Теорема 14.28.
Пусть C ⊂ (C2 , 0) — аналитическая кривая, являющаясяобщей сепаратрисой для двух голоморфных слоений с особенностями F и H .Предположим, что:1) F не является обобщённо дикритическим;2) H голоморфно интегрируемо;3) C максимальна для H .Тогда для любой неприводимой компоненты γ ⊆ C порядки малостислоений F и H удовлетворяют неравенствуc0 (F, γ) ¾ c0 (H , γ).(14.31)Это утверждение для элементарных особенностей (задача 14.8) эквивалентно неравенствам (14.29)–(14.30), играющим ключевую роль в доказательстве теоремы 14.20.
В свою очередь, последняя теорема играет ключевую рольв доказательстве теоремы 14.28. Подчеркнём, что здесь и ниже мы имеемдело с «истинным» порядком малости c0 (·, γ), а не с «модифицированным»порядком малости κ0 (·, γ), как в соотношении (14.24).Доказательство теоремы 14.28. Рассмотрим ветвь одновременного разрешения особенностей слоений F и H на общей неприводимой кривой.Это означает, что мы рассматриваем последовательность раздутий π1 , .
. . , π ,получаемую следующим образом:1) π1 = σ1 — стандартное раздутие в начале координат a0 = (0) ∈ C2 ;2) π+1 = σ+1 ◦ π — композиция π и стандартного раздутия σ+1 в точкеa ∈ S = π−1 (0) на исчезающем дивизоре S .285Упражнения и задачиКаждый последующий центр разрешения особенностей, точка a ∈ S , —это пересечение сепаратрисы S и раздутия γ кривой γ = γ0 посредством π :поскольку все кривые γ0 = γ, γ1 , . . . , γ неприводимы, эта точка пересеченияоднозначно определена.Обозначим через F и H раздутия слоений F и H соответственно посредством отображений π , i = 1, .
. . , k. Каждое γ является общей неприводимойсепаратрисой, проходящей через точку a для обоих слоений F и H .По условию леммы, все особенности F в точках a не являются обобщённодикритическими, а все слоения H интегрируемые. Введём обозначенияν = ord F ,µ = ord H ,ρ = ord γ ,i = 1, . . . , k.Итерируя равенства (14.23), получаем явные выражения для порядковкасанияc0 (F, γ) = ρ1 (ν1 − 1) + .
. . + ρ (ν − 1) + c (F , γ ),(14.32)c0 (H , γ) = ρ1 (µ1 − 1) + . . . + ρ (µ − 1) + c (H , γ ).(14.33)По теореме 14.20, имеем следующие неравенства между всеми порядками:ν ¾ µ ,i = 0, 1, . . . , k.(14.34)По построению, конечная точка a элементарна для обоих слоений F и H .Кривая γ , полученная на последнем шаге, гладкая и трансверсальна к исчезающему дивизору S , поскольку все аналитические сепаратрисы элементарныхинтегрируемых особенностей гладкие и трансверсальны друг другу.
Из этисвойств следует, чтоc (F , γ ) ¾ 1 = c (H , γ ).(14.35)Соотношения (14.32)–(14.35), взятые совместно, доказывают (14.31).Упражнения и задачиЗадача 14.1. Докажите корректность определений порядка аналитической кривой и слоения с особенностями в изолированной особой точке.Упражнение 14.2. Пусть u ∈ O (C2 , 0) — примитивный интеграл голоморфного слоения F. Верно ли, что ord0 u = ord0 F + 1?Задача 14.3. Докажите, что порядок плоской аналитической кривой Cв точке a равен кратности пересечения кривой C и произвольной прямой,проходящей через a. Сформулируйте и докажите аналогичный результат дляпорядка слоения в изолированной особой точке.Упражнение 14.4. Сравните порядок малости голоморфного слоения налокальной сепаратрисе до и после дикритического раздутия; ср.
с предложением 14.26.Задача 14.5. Докажите, что резонансные узлы (с целым или обратнымцелому характеристическим числом) могут быть разрешены при помощиподходящего раздутия.Задача 14.6. Опишите все обобщённо дикритические элементарные особые точки.286Глава 14.
Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийЗадача 14.7. Пусть C — максимальная сепаратриса интегрируемого слоения H — является объединением попарно трансверсальных гладких кривых.Выразите порядок малости H вдоль любой такой кривой через число этихкривых.Задача 14.8. Докажите теорему 14.28 для случая, когда H — элементарная особенность.Задача 14.9. Докажите, что у любого дифференцирования F ∈ Der A обязательно есть «собственный вектор» a ∈ A, такой что Fa = ab, b ∈ A, дляследующих двух алгебр:1) A = O (C2 , 0), алгебра голоморфных ростков;2) A = C[[x, y]], алгебра формальных рядов от двух переменных.Верно ли это утверждение, если A = C[x, y] — алгебра полиномов?Задача 14.10. Сепаратриса C голоморфного слоения F на U =(C2 , 0) называется изолированной, если для некоторой неособой точки a ∈ C\{0} существует малая открытая окрестность V, a ∈ V ⊆ U, такая что единственной сепаратрисой слоения F, пересекающей V, является сама C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
