Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 65
Текст из файла (страница 65)
На попарныхпересечениях Uαβ ∩ S имеют место формулы (14.8) для каждого множества{θα } и {θα0 } в отдельности, но с одними и теми же членами vαβ , которыеоднозначно определяются выбором локальных уравнений hα .270Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийВычитая одно представление из другого, мы видим, что разностиξα = θα − θα0 ∈ Λ1 (Uα ) ⊗ M (Uα )удовлетворяют тождествуξα = ξβ +dvαβdvαβ−= ξβvαβvαβна S ∩ Uαβ .Другими словами, 1-формы ξα в совокупности корректно определяютглобальную мероморфную 1-форму ξ ∈ Λ1 (S) ⊗ M (S).Остаётсязаметить, что сумма вычетов для любой такой формы равнаPнулю: res ξ = 0, если S — компактна и не имеет границы; см. [24]. С другойстороны, все особенности формы ξ принадлежат множеству особых точекслоений F и F 0 и в каждой окрестности UαXXXXres ξ =res θ −res θ 0 =i(a, S, F ) − i(a, S, F 0 ).
∈ α ∈ α ∈ α ∈ αСкладывая эти равенства по всем особым точкам, мы заключаем, чтоXX0=i(a, S, F ) −i(a, S, F 0 ),∈∈что и требовалось доказать.Замечание 14.8 (ссылка вперёд). Это элементарное доказательство является частным случаем общего рассуждения, подробно приведённого в части III (ср. с теоремой 17.33). В геометрических терминах, введённых здесь, предложение 14.5 означает,что сумма вычетов любой мероморфной связности на линейном расслоении не зависитот связности, а только от расслоения.Суммарный индекс c(S, M) — это степень этого (нормального) расслоения, топологический инвариант вложения кривой S в многообразие M.Теорема 14.7 даёт нам простой способ вычисления суммарного индексаособых точек любого слоения с инвариантной кривой S на поверхности M.Для этого достаточно найти аналогичный индекс для любого другого слоения,касающегося S.
Например, если S задана одним глобальным уравнениемS = {h = 0} на M, то суммарный индекс кривой S во всех особых точках равеннулю для любого слоения, касающегося кривой S. Действительно, пфаффоваформа dh является (из условия на гладкость) неособой во всех точках линииуровня S, а следовательно, имеет суммарный индекс равный нулю.Другим приложением этого типа является следующий результат. Рассмотрим исключительный дивизор E на комплексном листе Мёбиуса.Лемма 14.9.c(E, M) = −1.0(14.10)Следствие 14.10. Простое раздутие F любого недикритического слоения F удовлетворяет тождествуXi(b, E, F 0 ) = −1.(14.11)∈E271§ 14.5. Точки КаноДоказательство леммы 14.9.
Рассмотрим слоение без особенностей dy =0на (C2 , 0). После моноидального раздутия y = xz мы получим слоение F 0 налисте Мёбиуса M, задаваемое пфаффовым уравнением ω0 =z dx + x dz. У этогослоения имеется единственное невырожденное седло в точке {z = x = 0}с характеристическим числом −1 на исключительном дивизоре E ⊂ M. По теореме 14.7, c(E, M) = −1.§ 14.4. Индекс и раздутиеЛемма 14.11. Пусть S — интегральная кривая слоения с особенностями Fна (C2 , 0), проходящая через особую точку a = 0. Рассмотрим раздутие F 0слоения F на комплексном листе Мёбиуса M. Обозначим через S0 раздутиекривой S; пусть a0 = S0 ∩ E. Тогдаi(a0 , S0 , F 0 ) = i(a, S, F ) − 1.(14.12)Доказательство. Рассмотрим локальные координаты, в которых кривая S задаётся уравнением y = 0.
В этих локальных координатах линеаризованное пфаффово уравнение слоения F имеет видdy − yθ = 0,где θ ∈ Λ1 (S, 0) ⊗ M (S, 0) — форма связности.Раздутие соответствует замене координат y = xz; кривая S0 в карте (x, z)задаётся уравнением z = 0. После замены координат мы получаем пфаффовоуравнениеx dz + z dx − xzθ = 0.После деления на x это уравнение принимает видdz − zθ 0 = 0,θ0 = θ −dx.xПоскольку замена координат линейна по z, дополнительной линеаризации не требуется. Подсчёт вычетов форм θ и θ 0 в начале координат приводитк (14.12).§ 14.5. Точки КаноГоворят, что дивизор на поверхности имеет нормальные пересечения, есливсе его неприводимые компоненты пересекаются трансверсально.
Напомним(см. определение 8.16), что особая точка раздутого слоения на исключительном дивизоре называется угловой, если она принадлежит пересечению двухего компонент, и неугловой — в противном случае.Рассмотрим дивизор с нормальными пересечениями D на комплексномдвумерном голоморфном многообразии M и слоение с особенностями F,касающееся D. Как и прежде, это означает, что множество D\ Sing F являетсяобъединением нескольких листов слоения F. Следующее определение данов терминах индекса одной или двух сепаратрис, проходящих через особуюточку, и частичного порядка (11.3) на комплексных числах.272Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийОпределение 14.12.
Особая неугловая точка a на дивизоре D называетсянеугловой точкой Кано слоения F, еслиi(a, D) 6¾ 0.(14.13)Особая угловая точка a ∈ D+ ∩ D− , принадлежащая пересечению двух гладкихкомпонент D− и D+ , называется угловой точкой Кано, если выполнены следующие условия:i(a, D− ) < 0,(14.14)i(a, D+ ) 6¾ [i(a, D− )]−1 .(14.15)Точка Кано — это либо угловая точка Кано, либо неугловая.Заметим, что две кривые D± входят в соотношения (14.14)–(14.15) антисимметричным образом, поэтому угловая точка может быть точкой Каноотносительно одной из упорядоченных пар (D− , D+ ) или (D+ , D− ), но не относительно обеих пар.Предложение 14.13. 1.
Любая неугловая точка Кано, являющаяся элементарной особенностью, обязательно имеет голоморфную сепаратрису,проходящую через эту точку и не содержащуюся в D.2. Угловая точка Кано не может быть элементарной.Доказательство. Оба утверждения следуют из предложения 14.6.1. Если неугловая точка Кано является седлоузлом, то её гиперболическоеинвариантное многообразие (кривая) не может локально совпадать с D.Действительно, иначе индекс этой точки был бы равен нулю.Невырожденная элементарная точка Кано должна иметь две гиперболические инвариантные кривые (комплексные сепаратрисы). Действительно,отношение собственных чисел матрицы линеаризации такой точки равно еёиндексу, поэтому это отношение не является действительным положительнымчислом, а значит, применима теорема Адамара — Перрона 7.1.Но две трансверсальные сепаратрисы неугловой точки не могут одновременно принадлежать исчезающему дивизору.2.
Угловая точка Кано не может иметь нулевой индекс вдоль любой гладкой компоненты. Действительно, индекс i(D− ) должен быть отрицательнымв силу (14.14), а индекс i(D+ ) не может равняться нулю, поскольку неравенство0 = i(D+ ) ¾ 1/i(D− ) противоречит (14.15).Таким образом, седлоузел не может быть угловой точкой Кано. Но невырожденная особая точка также не может быть угловой точкой Кано, посколькудля такой точки выполнено равенство i(D+ ) = 1/i(D− ), которое противоречитсоотношению (14.15).Следующая лемма объясняет, почему полезно из всех особых точек слоения выделять точки Кано: они устойчивы относительно недикритическогораздутия.Рассмотрим слоение с особенностями F, касательное к дивизору D с нормальными пересечениями.
Пусть a ∈ D ∩ Sing F — особая точка, угловая илинеугловая относительно D. После простого раздутия π: (M, E) → (C2 , a) мы273§ 14.5. Точки Канополучим новое слоение F 0, определённое в окрестности π−1 (D) = D 0 ∪ E, гдеD 0 — раздутие компонент дивизора D, а E — исключительный дивизор.Лемма 14.14 (Х. Кано [11]). Если a ∈ D — точка Кано, то по крайней мереодна из особых точек, появляющихся на E в результате недикритическогораздутия точки a, также является точкой Кано относительно дивизораσ−1 (D).Доказательство.
Как обычно, обозначим через F 0 раздутие слоения F,через D 0 — раздутие дивизора D. Кроме того, пусть m1 , . . . , m — неугловыеособые точки слоения F 0, лежащие на D 0 : {m1 , . . . , m } = Sing F 0 ∩ (E\D 0 ).Предположим, что ни одна из особых точек F 0 не является точкой Кано.Для точек m это означает, чтоi(m , E) ¾ 0для всех j = 1, . . . , k,откуда, в силу следствия 14.10, получаемXXi(a0 , E) = −1 −i(m , E) ¶ −1.0 ∈ E∩0(14.16)(14.17)Рассмотрим два случая.Случай 1. Точка a — неугловая, т. е. росток (D, a) состоит из одной гладкойкривой.
Следовательно, множество E ∩ D 0 состоит из одной точки a0, и неравенство (14.17) принимает вид i(a0 , E) ¶ −1 < 0. Таким образом, для угловойточки a0 и кривой E выполнено соотношение (14.14). Поскольку точка a0 неявляется точкой Кано, для неё должно быть не выполнено соотношение (14.15),т. е. i(a0 , D 0 ) ¾ 1/i(a0 , E) ¾ −1.
Из (14.12) имеем:i(a, D) = 1 + i(a0 , D 0 ) ¾ 1 +1¾ 1 − 1 = 0,i(a0 , E)что противоречит определению (14.13) неугловой точки Кано. Противоречиепоказывает, что в этом случае среди всех особых точек Sing F 0 = {a0, m1 , . . . , m }на E должна быть хотя бы одна точка Кано.Случай 2. Точка a∈D− ∩D+ — угловая точка Кано; обозначим I =i(a, D− )<0.В этом случае кривая D 0 = D+0 ∪ D−0 пересекает кривую E по двум угловымточкам a0± = D±0 ∩ E, причём обе эти точки — особые точки слоения F 0.Применяя (14.12) к точке a0− , получаем i(a0− , D 0 ) = i(a, D− ) − 1.
Посколькуa — угловая точка Кано, правая часть равенства отрицательна, а значит,неравенство (14.14) выполнено для точки a0− и компоненты D−0 . Посколькуточка a0− угловая, но не точка Кано, для неё не выполнено соотношение (14.15):i(a0− , E) ¾111==.I −1i(a0− , D−0 )i(a, D− ) − 1В силу (14.17),i(a0+ , E) ¶ −1 − i(a0− , E) ¶ −1 −1I=< 0.I −11−IСледовательно, для точки a0+ и E выполнено соотношение (14.14). Посколькуa0+ не точка Кано, соотношение (14.15) должно быть не выполнено: i(a0+ , D+0 ) ¾¾ 1/i(a0+ , E). Вновь применяя (14.12), получаем274Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийi(a, D+ ) = 1 + i(a0+ , D+0 ) = 1 +111−I= = [i(a, D− )]−1 .¾1+IIi(a0+ , E)Полученное неравенство противоречит условию (14.14), поэтому a не можетбыть угловой точкой Кано. Это противоречие доказывает, что среди точекSing F 0 = {a0± , m1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
