Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Факторполе — это полуформальное век∂торное поле G = g(u) ∈ A ⊗ D[[R1 , 0]].∂uВ [92] факторуравнение введено под названием коцикл, но этот терминслишком перегружен, и мы не будем использовать его в этом смысле.Очевидно, что свойство разрешимости факторуравнения инвариантноотносительно формального сопряжения векторных полей, но, вообще говоря,оно не инвариантно относительно орбитального формального сопряжения.С другой стороны, полуформальная проекция u определена неоднозначно. Действительно, любое полуформальное отображение u 7→ u0 ∈ A[[u]], касательноек тождественному, порождает другую проекцию и другое факторполе G 0, хотяполе G 0 полуформально сопряжено исходному полю G.
Оказывается, любые двеполуформальные проекции получаются друг из друга такой заменой, поэтомуидеал Баутина факторуравнения — инвариант полуформальных полей.Лемма 12.32. У любого полуформального эллиптического векторного поляF ∈ A ⊗ D[[R2 , 0]] на плоскости существует полуформальная проекция навещественную прямую.Факторполе G = G ∈ A ⊗ D[[R1 , 0]], нормализованное условием (12.20),определяется по F однозначно с точностью до полуформального сопряже-§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости249ния из A ⊗ Diff[[R1 , 0]]. Фильтрованный идеал Баутина B(G ) факторполяоднозначно определяется по F.Доказательство.
Разрешимость факторуравнения не меняется при полуформальном сопряжении эллиптического поля: преобразование, сопрягающее поля F и F 0, сопрягает и соответствующие ряды u и u0.Поэтому без ограничения общности можно считать, что полуформальноесемейство уже приведено к нормальной форме из первого утверждениятеоремы 4.18:F 0 = a(r 2 , λ)E + b(r 2 , λ)I,a, b ∈ A[[r 2 ]],r2 = x 2 + y 2;(12.21)ср. с (4.8). Для поля F 0 в нормальной форме (12.21) все утверждения леммытривиальны. Действительно, два рядаu(x, y) = x 2 + y 2 ,g(u) = 2u a(u)(12.22)дают решение (12.19) в силу тождества Эйлера Eu = 2u и симметрии u относительно поворотов Iu = 0.Покажем теперь, что любое решение u = u2 + u3 + .
. . факторуравнения,начинающееся с члена u2 = x 2 + y 2 , инвариантно относительно поворотов,т. е. зависит только от r 2 . Действительно, применим дифференциальныйоператор I к обеим частям факторуравнения: поскольку I и F 0 коммутируют(теорема 4.18), получаем, что s = I u — решение уравненияF 0 s = ϕ(u) · s,s ∈ A[[x, y]],ϕ=2d(ua(u)) ∈ A[[u]].duВ частности, если s 6≡ 0, то его главный член s ∈R[x, y] — однородный многочлен степени q ¾ 3 — является собственным вектором оператораA = a(0)E + b(0)I.Из замечания 12.30 следует, что ненулевой многочлен может быть таким собственным вектором, только если порядок q чётен и s = (x 2 + y 2 )/2 . Очевидно,среднее значение такого многочлена на любой окружности r = const не равнонулю, а значит, s не может быть производной по углу I u+1 никакого многочлена u+1 .
Итак, любое решение u факторуравнения симметрично относительноповоротов: I u = 0, значит, u является формальным рядом от r 2 .12.6.3. Идеал ДюлакаЛемма 12.32 утверждает, что идеал Баутина факторполя инвариантен относительно биголомофных замен координат, поэтому следующее определениекорректно.Определение 12.33. Идеал Дюлака D(F) ⊆ A полуформального семейства эллиптических векторных полей F на плоскости — это (фильтрованный)идеал Баутина B(G ) полуформального факторполя G на вещественнойпрямой.250Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийТеорема 12.34. Цепочку Дюлака (фильтрованный идеал) D(F) = {D }любого полуформального эллиптического семейства F можно получить, раздвигая цепочку Баутина B(F) = {B } того же семейства:D1 = D2 = B1 ,D3 = D4 = B2 ,... ,D2−1 = D2 = B ,...(12.23)В частности, D(F) = lim D (F) = lim B (F) = B(F).
Таким образом, идеалыДюлака и Баутина совпадают как идеалы в A без фильтрации и имеютодинаковую глубину как фильтрованные идеалы.Доказательство. Как обычно, будем считать, что семейство F приведенок формальной нормальной форме (12.21). Тогда идеал Дюлака (F) — это идеалБаутина B(G ) ряда ua(u, λ) от одной формальной переменной u, а идеалБаутина B(F) — это идеал Баутина отображения монодромии.Для вычисления отображения монодромии перейдём к полярным координатам (r, ϕ) ∈ (R1+ , S1 ); заметим, что ограничение координаты r на положительную трансверсаль совпадает с координатой x.
В полярных координатахуравнение (12.21) принимает видdr= r a(r 2 , λ),dtdϕ= b(r 2 , λ).dt(12.24)Первое уравнение получено из факторуравнения (12.22), второе следует изформул Eϕ=0, Iϕ=1. Поле (12.24) орбитально эквивалентно векторному полюr a(r 2 , λ)dr=,dtb(r 2 , λ)dϕ= 1,dt(12.25)поскольку ряд b(r 2 , λ) обратим в A[[r 2 ]] (напомним, что b(0, 0) 6= 0 в силуэллиптичности поля). Отображение монодромии поля (12.25) — преобразование потока exp 2πG 0 за время 2π полуформального векторного поляG 0 (r) =r a(r 2 , λ) ∂· .b(r 2 , λ) ∂r(12.26)∂Это поле отличается от факторполя G = ua(u, λ)«отображением складки»∂uu = r 2 (ср.
с примером 12.12) и делением на обратимый ряд b. Второе преобразование не влияет на идеал Баутина, а первое разрежает цепочку B(G ),как показано в примере 12.12. Теорема доказана.Из этой теоремы немедленно вытекает несколько следствий.Следствие 12.35. Идеал Дюлака инвариантен относительно орбитальногополуформального сопряжения эллиптического семейства.Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что идеал Баутина B(F) инвариантен относительно сохраняющего орбиты преобразованияF 7→ sF, где s ∈ A[[x, y]] — обратимый ряд.Следствие 12.36. Цикличность эллиптического семейства вещественноаналитических векторных полей не превосходит глубины соответствующейцепочки Дюлака (фильтрованного идеала).§ 12.7. Универсальные полиномиальные семейства251Доказательство.
Каждый малый предельный цикл, возникающий в эллиптическом аналитическом семействе векторных полей (12.18) на плоскости,соответствует единственному изолированному положительному корню функции смещения Пуанкаре δ (r) = P(r) − r, где P — отображение монодромии.По определению, идеал Баутина семейства F — это идеал Баутина функции δ :B(F) = B(δ ). В силу первого утверждения теоремы 12.27, цикличность аналитического семейства вещественных функций δ не превосходит глубиныэтого идеала. В силу теоремы 12.34, глубины цепочек B(F) и (F) совпадают.§ 12.7. Универсальные полиномиальные семейства,цикличность и локализованная проблемаГильбертаРассмотрим универсальное семейство эллиптических полиномиальныхвекторных полей данной степени d:X∂∂F = αE + βI +λ0 x y + λ00 x y .(12.27)∂x∂y2¶+¶Это семейство параметризовано вещественными параметрамиα ∈ R1 ,β ∈ R1 \{0},λ = {λ0 , λ00 } ∈ R ,n = n(d).Вопрос о цикличности начала координат в семействе (12.27) тесно связанс шестнадцатой проблемой Гильберта о числе и расположении предельныхциклов векторного поля степени d; см.
главу 24 второго тома. Зная этуцикличность, мы смогли бы ответить на вопрос о наибольшем количествемалых предельных циклов вблизи нуля, — по крайней мере для векторныхполей, близких к линейным центрам.12.7.1. Приведённое универсальное семействои цепочки полиномиальных идеаловВ силу следствия 12.36, цикличность эллиптического семейства (12.27)не превосходит глубины цепочки Дюлака. Несмотря на то, что универсальноесемейство полиномиально, об идеалах Дюлака и Баутина универсальногосемейства (12.27) можно утверждать только то, что они содержатся в кольцеO (R+2 , 0) ростков вещественно-аналитических функций от n + 2 переменных α, β, λ.На самом деле вопрос о цикличности семейства (12.27) сводится к вычислению глубины некоторого полиномиального идеала с фильтрацией — идеалаДюлака для вспомогательного приведённого семейства с фиксированной ли∂∂нейной частью I = y − x ,∂x∂yF0 = I +X2¶+¶λ0 x y ∂∂+ λ00 x y .∂x∂y(12.28)252Глава 12.
Параметрические семейства аналитических функцийОбозначим цепочки Дюлака для семейств (12.27) и (12.28) через D = {D }и D0 = {D0 } соответственно:D = {D },D ⊆ O (R+2 , 0),D0 = {D0 },D0 ⊆ O (R , 0).Пусть µ и µ0 — глубины этих цепочек.Предложение 12.37. Вспомогательная цепочка идеалов D0 порожденамногочленами от λ, причём D10 = 0. Глубины этих двух цепочек различаютсяна единицу: µ = µ0 + 1.Доказательство. Для вычисления первого идеала Дюлака необходиморешить линеаризованное факторуравнение: поскольку I r 2 = 0, для старшегокоэффициента g1 имеем равенство g1 r 2 = αE r 2 , откуда D1 = 〈α〉, D10 = {0}.Поскольку идеал D1 радикальный, факторидеалы D mod D1 изоморфныидеалам, получающимся при фиксировании α = 0 в универсальном семействе.Более того, поскольку идеалы Дюлака инвариантны относительно орбитальных преобразований, можно фиксировать и второй параметр: β = 1.
Тогдауниверсальное семейство принимает вид (12.28), и мы получаемD0 = D mod D1для всех k ¾ 2.Это немедленно доказывает предложение. Полиномиальность идеалов D0(т. е. включение D0 ⊂ R[λ]) следует из того, что нелинейные коэффициентыотображения монодромии квазиоднородны относительно параметров λ,см. теорему 10.18.Предложение 12.37 сводит трансцендентную задачу о числе малых предельных циклов, рождающихся из эллиптической особой точки полиномиальноговекторного поля степени d, к алгебраической задаче определения глубинывозрастающей цепочки полиномиальных идеалов D ⊆ R[λ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
