Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 59
Текст из файла (страница 59)
. . , λ ], степень которых растёт не более чем линейно, а нормы — не более чем экспоненциально.Довольно неожиданно оказывается, что наилучшие результаты были полученыпри помощи подходящей «комплексификации» процесса «дифференцирования+деления», основанной на комплексном аналоге леммы Ролля [38]. На этом пути можнопоказать, что количество малых комплексных изолированных корней в семействе(12.13)–(12.14) не превосходит ν в диске радиусаr = (1 − s−1 )(sν+1 C + 1)−112для любого значения s > 1. Подробности можно найти в [79].Утверждение теоремы 12.27 можно улучшить и в другом направлении. Будемназывать целым замыканием идеала I ⊂ A набор всех корней y ∈ A всех уравнений видаy + q1 y −1 + . . . + q−1 y + q = 0, коэффициенты q которых принадлежат k-м степенямидеала I: q ∈ I . Если B = 〈a0 , a1 , . . .
, a , . . .〉 — фильтрованный идеал Баутина, его приведённый индекс Баутина определён в [31] как наименьшее число r ∈ N, для которогоцелое замыкание идеала 〈a0 , . . . , a 〉 совпадает с B. Очевидно, приведённый индекс Баутина не превосходит его (обычного) индекса Баутина. В [31] доказан аналог (тоже конструктивный) второго утверждения теоремы 12.27 для приведённого индекса Баутина.Теорема 12.27 связывает цикличность аналитических семейств функцийодной переменной с глубиной цепочки Баутина — цепочки идеалов, порождённых коэффициентами семейства. В следующих разделах мы применимэту теорему при изучении бифуркаций предельных циклов аналитическихвекторных полей на плоскости.§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости:идеалы Баутина и ДюлакаРассмотрим вещественно-аналитическое семейство векторных полей наплоскости:F = A + нелинейные члены, A = α(λ)E + β(λ)I,E=x∂∂+y ,∂x∂yA = O (R , 0),I= yα, β ∈ A,∂∂−x ,∂x∂y(12.16)F ∈ A ⊗ D(R2 , 0),где линейная часть A нормализована как в (12.1) и эллиптична, т.
е. α(0) = 0,β(0) 6= 0.С семейством F естественно связано несколько полуформальных рядовот одной переменной. Один из рядов — это ряд отображения первого возвращения P ∈ A ⊗ Diff(R1 , 0); этот ряд всегда сходится. Отображение первоговозвращения зависит от выбора трансверсали и локальной карты на ней,но соответствующий идеал Баутина корректно определён в силу предложения 12.9. Этот идеал обозначается B(F). Очевидно, идеал Баутина инвариантен относительно действия сохраняющих орбиты вещественно-аналитических преобразований на семействе (12.16).Как уже отмечалось ранее, отображение Пуанкаре первого возвращениядля эллиптического семейства является квадратом оператора голономии246Глава 12.
Параметрические семейства аналитических функций∆ ∈ A ⊗ Diff(R1 , 0) вдоль вещественного экватора ленты Мёбиуса для слоения,полученного раздутием фазового портрета нашего векторного поля. Идеал Баутина периода 2 для отображения голономии по определению совпадает с идеалом Баутина для отображения первого возвращения (см. замечание 12.13).Третий ряд, иногда называемый рядом Пуанкаре — Дюлака, определяетсякак производящая функция коэффициентов Пуанкаре — Дюлака орбитальнойформальной нормальной формы. По теореме 4.18, существует полуформальное отображение, приводящее семейство (12.16) к инвариантной относительно поворотов нормальной форме (4.8).
После деления на не обращающийсяв нуль формальный ряд нормальную форму можно представить в видеполуформального векторного поля∞XF 0 = f (r 2 , λ)E + I, f (u, λ) =f (λ) u ∈ A[[u]].(12.17)=1Полуформальные ряды f, участвующие в орбитальной нормальной форме(12.17), мы будем называть рядами Пуанкаре — Дюлака. Вообще говоря, рядПуанкаре — Дюлака может расходиться и определён неоднозначно из-за свободы в выборе резонансных коэффициентов в нормализации Пуанкаре —Дюлака. Ниже мы приведём инвариантную конструкцию этого ряда и вопределении 12.33 введём соответствующий идеал Дюлака D(F), которыйтакже будет формальным орбитальным инвариантом семейства (12.16).Кроме этих рядов и соответствующих цепочек идеалов, есть ещё несколько полуформальных рядов от одной переменной, связанных с методамиформального интегрирования. Однако эти ряды приводят к фильтрованнымидеалам B0 ⊆ B1 ⊆ .
. . ⊆ A, которые связаны с семейством (12.16) не инвариантным образом: инвариантный смысл обычно имеет лишь соответствующаяцепочка множеств нулей X = {λ: a(λ) = 0 ∀ a ∈ B } в пространстве параметров (R , 0).Обращение в нуль всех коэффициентов отображения первого возвращения P означает, что для соответствующего набора значений параметровполе F — центр. Обращение в нуль всех коэффициентов ряда Пуанкаре —Дюлака f в (12.17) означает, что поле F формально орбитально линеаризуемо,а значит, имеет формальный первый интеграл.
В силу предложения 11.7,в случае эллиптических векторных полей эти два свойства равносильны.Следовательно, соответствующие множества нулей идеалов (без учёта фильтрации) B(F) и D(F) совпадают.Это наблюдение мотивирует гипотезу о том, что идеалы, порождённыекоэффициентами этих двух рядов, тоже совпадают. Это утверждение, еслионо верно, можно считать параметрическим обобщением предложения 11.7и теоремы 11.8 Пуанкаре — Ляпунова, и оно тоже влечёт следствия для цикличности эллиптических семейств.В некотором смысле эта гипотеза верна. Однако чтобы формализоватьеё утверждение, надо преодолеть несколько технических препятствий, возникающих из-за того, что нормальная форма может расходиться.
Затем мыприведём другую конструкцию идеала Дюлака, инвариантную относительноформальных отображений (определение 12.33).§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости24712.6.1. Формальное отображение первого возвращениядля полуформальных семействОтображение монодромии и голономию в нуле эллиптического векторного поля можно определить и в классе (полу)формальных объектов. Действительно, раздуем начало координат и преобразуем пфаффово уравнение,соответствующее полуформальному векторному полю на плоскости:F = α(λ)E + β(λ)I + (нелинейные члены) ∈ A ⊗ D[[R2 , 0]],α, β ∈ A = O (R , 0),β(0) 6= 0, α(0) = 0,(12.18)к виду (10.6).
В этом формальном пфаффовом уравнении 1-формы θ ∈ A ⊗⊗ Λ1 (E) на проективной прямой E по-прежнему мероморфны, неособы навещественном экваторе RP 1 ⊂ E и аналитически зависят от параметровλ ∈ (R , 0) в силу формул (10.5). Единственное отличие от аналитическогослучая состоит в том, что ряд по степеням переменной x в правой части (10.6),вообще говоря, расходится. Несмотря на это, интегрируя треугольную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (10.11), мы получим «формальное отображение голономии» ∆R A ⊗ Diff[[R, 0]] — корректноопределённый полуформальный ряд (10.12); см.
замечание 10.17. Формальныйквадрат ∆R ◦ ∆R ∈ A ⊗ Diff[[R, 0]] определяет полуформальное отображениепервого возвращения.Определение 12.29. Идеалом Баутина B(F) (с соответствующей фильтрацией) эллиптического семейства векторных полей F ∈ A ⊗ D[[R2 , 0]]называется идеал Баутина B(P) его полуформального отображения первоговозвращения P, определённого выше.Для вычисления формального отображения первого возвращения вместоалгебраического раздутия можно рассматривать тригонометрическое; другими словами, можно перейти к полярным координатам (r, ϕ) на вещественнойплоскости R2 , см. упражнение 12.4.12.6.2.
ФакторуравнениеВ этом пункте мы дадим инвариантное определение другого идеала,соответствующего полуформальному эллиптическому семейству (12.18). Этоопределение основано на интегрируемости формальной нормальной формыПуанкаре — Дюлака для всех плоских особенностей.Если векторное поле интегрируемо, т. е. решения соответствующегодифференциального уравнения выражаются в элементарных функциях, квадратурах и обратных к ним (неявных) функциях, то это поле можно свестик одномерному векторному полю.
В данном контексте будем говорить, чтополуформальное векторное поле F ∈ A ⊗ D[[R2 , 0]] на плоскости допускает проекцию на прямую, если существует полуформальное векторное полеG ∈ A ⊗ D[[R1 , 0]] на вещественной прямой и проекция — полуформальное«отображение» u : R2 → R1 , аналитически зависящее от параметров λ, —которое сопрягает поля F и G. Рассмотрим u как полуформальный рядиз A[[x, y]], т.
е. выберем фиксированную карту в пространстве образов248Глава 12. Параметрические семейства аналитических функций∂и запишем векторное поле в этой карте как G = g(u) , где g ∈ A[[u]]; мы∂uполучим необходимое и достаточное условие сопряжённости полей F и G:Fu(x, y) = g(u(x, y)),u ∈ A[[x, y]], g ∈ A[[u]].(12.19)Решение этого уравнения, если оно существует,можно найти методом неопреP∞делённых коэффициентов в виде g(v) = =1 g v : неизвестные однородныекомпоненты ряда u = u + u+1 + .
. . находятся последовательно, начинаясо старшего члена порядка p ¾ 1.Замечание 12.30. Старший член u ∈ R[x, y] должен быть собственнымвектором линейного дифференциального оператора, соответствующего линейной части A = α(λ)E + β(λ)I векторного поля F.Ограничение оператора A на пространство однородных многочленовстепени p диагонализируемо над полем комплексных чисел: моном z z −является собственным вектором с собственным значением kµ + (p − k)µ,где µ = α + iβ — собственное значение матрицы A линейного векторногополя A.
Однако для эллиптического семейства почти все эти собственныезначения и собственные векторы не являются вещественными: единственным исключением является среднее собственное значение, соответствующеесобственному вектору (zz)/2 = r для чётных значений p, начиная с p = 2.Учитывая это замечание, имеет смысл нормализовать решения уравнения (12.19) дополнительным условиемu2 (x, y) = x 2 + y 2 .(12.20)Определение 12.31. Факторуравнением полуформального эллиптического семейства F вещественных векторных полей на плоскости называетсяуравнение (12.19) на неизвестный полуформальный ряд u ∈ A[[x, y]], g ∈ A[[u]],нормализованный условием (12.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
