Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Элементарная особенность проста тогда и только тогда, когда еёхарактеристическое число (отношение собственных значений линеаризации) отрицательно, а отображение голономии вдоль голоморфных сепаратрис периодическое.Характеристическое число формально интегрируемой элементарной особенностиотрицательно и рационально, а группа голономии этой особенности допускает формальный первый интеграл (задача 11.8).
Но формально интегрируемое голоморфноеотображение на себя из Diff(C, 0) обязательно периодично, согласно задаче 6.3. Этонаблюдение даёт нам базу индукции.Рассмотрим раздутие F 0 формально интегрируемого слоения F (понятно, чтораздутие обязательно недикритическое). Все особенности слоения F 0 изолированныеи формально интегрируемые. По предположению индукции, все эти особенностипростые, а значит, интегрируемые. Следовательно, для каждой из них существуетлишь конечное число листов, которые содержат эту особенность в своём замыкании.Пусть слоение F 0 не простое.
Тогда любой лист, накапливающийся к исключительному дивизору или не являющийся относительно замкнутым, пересекает любую трансверсаль τ: (C, 0) → (E, a) в неособой точке a ∈/ Σ бесконечно много раз. Это означает,что группа исчезающей голономии содержит бесконечную непериодическую орбиту.С другой стороны, группа H формально интегрируема (вновь по задаче 11.8).А из задачи 6.3 следует, что группа H аналитически интегрируема, что противоречитсуществованию бесконечной непериодической орбиты.Таким образом, формально интегрируемое голоморфное слоение обязательноявляется простым.
По теореме 11.23, оно допускает аналитический интеграл.На самом деле обе теоремы 11.23 и 11.26 — это частные двумерные случаиболее общих результатов, касающихся голоморфных слоений с особенностямина (C , 0). Мы не будем обсуждать эти обобщения.11.7.3. Мероморфная интегрируемость и интегрируемость по ДарбуКроме голоморфных интегралов, можно рассматривать более общие типыинтегралов, например мероморфные интегралы. Формально определениеостаётся тем же: росток слоения с особенностями F, заданного пфаффовым225§ 11.7. Обзор дальнейших результатовуравнением ω = 0 на (C2 , 0), называется мероморфно интегрируемым, еслисуществует непостоянный мероморфный росток u ∈ M (C2 , 0), такой чтоω ∧ du ≡ 0.Утверждение теоремы 11.23 не выполняется для мероморфно интегрируемых слоений, поскольку они могут не быть простыми (упражнение 11.10).Тем не менее мероморфная интегрируемость влечёт за собой периодичностьи линеаризуемость как голономии вдоль любой аналитической сепаратрисы,так и группы исчезающей голономии (если последняя определена).
Мыдокажем более общий результат.Определение 11.27. Голоморфное слоение с особенностями на (C2 , 0)называется интегрируемым по Дарбу, если оно может быть задано замкнутоймероморфной 1-формой ω.Определение 11.28. Замкнутая мероморфная 1-форма называется логарифмической, если все полюсы этой формы имеют первый порядок. Слоение, порождённое логарифмической формой, называется логарифмическимслоением.Как мероморфная, так и обычная интегрируемость слоений суть частныеслучаи интегрируемости по Дарбу.Теорема 11.29. Группа голономии вдоль аналитической сепаратрисылогарифмического слоения, а также исчезающая голономия (если слоениенедикритическое) является абелевой и линеаризуемой (т.
е. изоморфно подгруппе C∗ ).Доказательство основанона описании замкнутых мероморфных формSна (C2 , 0). Пусть Σ = =1 C — росток аналитической кривой на (C2 , 0),представленной в виде объединения неприводимых компонент C = { f = 0},i = 1, . . . , n, определённых ростками без кратных множителей f ∈ O (C2 , 0).22Лемма 11.30. Любая замкнутая 1-формаS ω ∈ Λ (C , 0), множество полюсов которой содержится в кривой Σ = =1 { f = 0}, представима в видеω=X=1λgdf+d,ff0f0 , g ∈ O (C2 , 0),λ ∈ C,(11.7)где голоморфный росток f0 не обращается в нуль вне Σ.Любая логарифмическая форма ω с точностью до точной голоморфной формы совпадает с некоторой линейной комбинацией логарифмическихпроизводных:Xdfλ1 , . .
. , λ ∈ C, g ∈ O (C2 , 0).(11.8)ω = dg +λ ,=1fДоказательство. Первообразная замкнутой 1-формы со множеством полюсов Σ — это многозначная функция на дополнении (C2 , 0)\Σ, имеющаяветвление на Σ. Фундаментальная группа дополнения порождена малымипетлями δ , обходящими вокруг неприводимых компонент C вблизи их регулярных точек. Эти петли определены с точностью до гомотопии. Обозначим226Глава 11. Голономия и первые интегралывычеты формы ω на неприводимых компонентах C черезIλ =12πiω,j = 1, . . . , n.δ(В силу замкнутости формы ω, интеграл не меняется при замене петли δна другую гомотопную ей петлю.)1-ФормаXdfω0 = ω −λ=1fзамкнута, а интегралы от неё по кривым δ равны нулю.
Следовательно,форма ω0 точна на (C2 , 0)\Σ; её первообразная растёт не более чем полиномиально вблизи Σ, а значит, ω0 является дифференциалом мероморфнойфункции g/ f0 , где g, f0 ∈ O (C2 , 0). По построению, f0 может обращаться в нультолько на объединении множеств { f = 0}. Следовательно, все неприводимыемножители f0 должны содержаться во множестве { f1 , .
. . , f }.Если ω имеет полюсы только первого порядка, то точная формаX dfgω0 = ω −λ = dff0тоже имеет полюсы только первого порядка. Но дифференциал любой непостоянной мероморфной функции имеет полюсы порядка ¾ 2, а значит, точнаяформа ω0 должна быть голоморфной.Доказательство теоремы 11.29. Мы явно докажем, что группа исчезающей голономии логарифмического недикритического слоения коммутативна,построив линеаризующие координаты.Раздувая логарифмическую 1-формуω=X=1λdf+ dg,ff , g ∈ O (C2 , 0),мы получим мероморфную 1-форму на малой окрестности (M, E) исключительного дивизора на комплексном листе Мёбиуса. Всюду вне E этаформа имеет полюсы не более чем первого порядка.
Можно показать, что еёполюс на E также не более чем первого порядка. Действительно, переходяк координатам (x, z = y/x), мы можем записатьf (x, zx) = x Φ (x, z),Φ | 6≡ 0,где p = ord f , так чтоdfdΦdx= p+xΦfимеет полюс первого порядка на E = {x = 0}. PРаздутие является недикритическим тогда и только тогда, когда вычет λ0 = λ p не равен нулю. Раздутие§ 11.7.
Обзор дальнейших результатов227слоения в координатах (x, z) задаётся 1-формойΩ = λ0dx+xX=1λdΦ+ dG,Φλ0 =Xλ p 6= 0,(11.9)где функции Φ , G голоморфны по x и z. Форма Ω замкнута.Рассмотрим недикритический случай и обозначим через Σ объединениекорней всех полиномов Φ (0, z). Без потери общности мы можем предположить, что все функции f неприводимы, а тогда для каждого j соответствующий член Φ (0, ·) обращается в нуль только в одной точке a ∈ E, хотянекоторые из этих точек могут совпадать.Аналогично доказательству леммы 11.30, мы можем найти комплексныечисла µ , такие что 1-формаXdzdxΩ−µ− λ0z − zxточна в узкой полоске с вырезаннымицилиндрическими окрестностямиSособых точек M ∗ = (M, E)\ =1 {|z − z | < "}, т.
е. существует голоморфнаяфункция H, такая чтоXdxdzΩ = λ0+µ+ dH, H ∈ O (M ∗ ).z − zxИз этой формулы немедленно следует, что пфаффово уравнение на листылогарифмического слоения после раздутия может быть записано на M ∗в следующем виде:XµdWdz, W = x exp λ−1=−0 H(x, z) .Wλ0 z − z Рассмотрим трансверсаль τ = {z = z0 } в неособой точке z0 и голоморфныекоординаты w = W |τ = x exp λ−10 H(x, z0 ) на ней. Преобразование голономии в этих координатах может быть легко подсчитано, поскольку переменные в приведённом выше уравнении разделяются: отображение голономиивдоль петли, обходящей точку z , является чистым поворотом: ∆ : w 7→7→ w exp(−2πiµ ), j = 1, 2, .
. .Таким образом, группа исчезающей голономии состоит из линейныхотображений.Линеаризуемость голономии вдоль произвольной сепаратрисы можнодоказать с помощью тех же аргументов, что и выше. Сепаратрису нужнопредварительно привести к гладкой аналитической кривой, трансверсальнойисключительному дивизору, разрешив все особенности. Подробности оставимчитателю в качестве упражнения.11.7.4. ОбратимостьДругой причиной для появления центров у вещественно-аналитическихслоений может быть симметрия слоения (см. пример 11.20).Предположим, что вещественно-аналитическое слоение F = {ω = 0} имеет изолированную монодромную особенность в начале координат и при228Глава 11.