Главная » Просмотр файлов » Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 54

Файл №1238784 Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.) 54 страницаУчебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784) страница 542020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Элементарная особенность проста тогда и только тогда, когда еёхарактеристическое число (отношение собственных значений линеаризации) отрицательно, а отображение голономии вдоль голоморфных сепаратрис периодическое.Характеристическое число формально интегрируемой элементарной особенностиотрицательно и рационально, а группа голономии этой особенности допускает формальный первый интеграл (задача 11.8).

Но формально интегрируемое голоморфноеотображение на себя из Diff(C, 0) обязательно периодично, согласно задаче 6.3. Этонаблюдение даёт нам базу индукции.Рассмотрим раздутие F 0 формально интегрируемого слоения F (понятно, чтораздутие обязательно недикритическое). Все особенности слоения F 0 изолированныеи формально интегрируемые. По предположению индукции, все эти особенностипростые, а значит, интегрируемые. Следовательно, для каждой из них существуетлишь конечное число листов, которые содержат эту особенность в своём замыкании.Пусть слоение F 0 не простое.

Тогда любой лист, накапливающийся к исключительному дивизору или не являющийся относительно замкнутым, пересекает любую трансверсаль τ: (C, 0) → (E, a) в неособой точке a ∈/ Σ бесконечно много раз. Это означает,что группа исчезающей голономии содержит бесконечную непериодическую орбиту.С другой стороны, группа H формально интегрируема (вновь по задаче 11.8).А из задачи 6.3 следует, что группа H аналитически интегрируема, что противоречитсуществованию бесконечной непериодической орбиты.Таким образом, формально интегрируемое голоморфное слоение обязательноявляется простым.

По теореме 11.23, оно допускает аналитический интеграл.ƒНа самом деле обе теоремы 11.23 и 11.26 — это частные двумерные случаиболее общих результатов, касающихся голоморфных слоений с особенностямина (C , 0). Мы не будем обсуждать эти обобщения.11.7.3. Мероморфная интегрируемость и интегрируемость по ДарбуКроме голоморфных интегралов, можно рассматривать более общие типыинтегралов, например мероморфные интегралы. Формально определениеостаётся тем же: росток слоения с особенностями F, заданного пфаффовым225§ 11.7. Обзор дальнейших результатовуравнением ω = 0 на (C2 , 0), называется мероморфно интегрируемым, еслисуществует непостоянный мероморфный росток u ∈ M (C2 , 0), такой чтоω ∧ du ≡ 0.Утверждение теоремы 11.23 не выполняется для мероморфно интегрируемых слоений, поскольку они могут не быть простыми (упражнение 11.10).Тем не менее мероморфная интегрируемость влечёт за собой периодичностьи линеаризуемость как голономии вдоль любой аналитической сепаратрисы,так и группы исчезающей голономии (если последняя определена).

Мыдокажем более общий результат.Определение 11.27. Голоморфное слоение с особенностями на (C2 , 0)называется интегрируемым по Дарбу, если оно может быть задано замкнутоймероморфной 1-формой ω.Определение 11.28. Замкнутая мероморфная 1-форма называется логарифмической, если все полюсы этой формы имеют первый порядок. Слоение, порождённое логарифмической формой, называется логарифмическимслоением.Как мероморфная, так и обычная интегрируемость слоений суть частныеслучаи интегрируемости по Дарбу.Теорема 11.29. Группа голономии вдоль аналитической сепаратрисылогарифмического слоения, а также исчезающая голономия (если слоениенедикритическое) является абелевой и линеаризуемой (т.

е. изоморфно подгруппе C∗ ).Доказательство основанона описании замкнутых мероморфных формSна (C2 , 0). Пусть Σ = =1 C — росток аналитической кривой на (C2 , 0),представленной в виде объединения неприводимых компонент C = { f = 0},i = 1, . . . , n, определённых ростками без кратных множителей f ∈ O (C2 , 0).22Лемма 11.30. Любая замкнутая 1-формаS ω ∈ Λ (C , 0), множество полюсов которой содержится в кривой Σ = =1 { f = 0}, представима в видеω=X=1λ€gŠdf+d,ff0f0 , g ∈ O (C2 , 0),λ ∈ C,(11.7)где голоморфный росток f0 не обращается в нуль вне Σ.Любая логарифмическая форма ω с точностью до точной голоморфной формы совпадает с некоторой линейной комбинацией логарифмическихпроизводных:Xdfλ1 , . .

. , λ ∈ C, g ∈ O (C2 , 0).(11.8)ω = dg +λ ,=1fДоказательство. Первообразная замкнутой 1-формы со множеством полюсов Σ — это многозначная функция на дополнении (C2 , 0)\Σ, имеющаяветвление на Σ. Фундаментальная группа дополнения порождена малымипетлями δ , обходящими вокруг неприводимых компонент C вблизи их регулярных точек. Эти петли определены с точностью до гомотопии. Обозначим226Глава 11. Голономия и первые интегралывычеты формы ω на неприводимых компонентах C черезIλ =12πiω,j = 1, . . . , n.δ(В силу замкнутости формы ω, интеграл не меняется при замене петли δна другую гомотопную ей петлю.)1-ФормаXdfω0 = ω −λ=1fзамкнута, а интегралы от неё по кривым δ равны нулю.

Следовательно,форма ω0 точна на (C2 , 0)\Σ; её первообразная растёт не более чем полиномиально вблизи Σ, а значит, ω0 является дифференциалом мероморфнойфункции g/ f0 , где g, f0 ∈ O (C2 , 0). По построению, f0 может обращаться в нультолько на объединении множеств { f = 0}. Следовательно, все неприводимыемножители f0 должны содержаться во множестве { f1 , .

. . , f }.Если ω имеет полюсы только первого порядка, то точная формаX df€gŠω0 = ω −λ = dff0тоже имеет полюсы только первого порядка. Но дифференциал любой непостоянной мероморфной функции имеет полюсы порядка ¾ 2, а значит, точнаяформа ω0 должна быть голоморфной.ƒДоказательство теоремы 11.29. Мы явно докажем, что группа исчезающей голономии логарифмического недикритического слоения коммутативна,построив линеаризующие координаты.Раздувая логарифмическую 1-формуω=X=1λdf+ dg,ff , g ∈ O (C2 , 0),мы получим мероморфную 1-форму на малой окрестности (M, E) исключительного дивизора на комплексном листе Мёбиуса. Всюду вне E этаформа имеет полюсы не более чем первого порядка.

Можно показать, что еёполюс на E также не более чем первого порядка. Действительно, переходяк координатам (x, z = y/x), мы можем записатьf (x, zx) = x Φ (x, z),Φ | 6≡ 0,где p = ord f , так чтоdfdΦdx= p+xΦfимеет полюс первого порядка на E = {x = 0}. PРаздутие является недикритическим тогда и только тогда, когда вычет λ0 = λ p не равен нулю. Раздутие§ 11.7.

Обзор дальнейших результатов227слоения в координатах (x, z) задаётся 1-формойΩ = λ0dx+xX=1λdΦ+ dG,Φλ0 =Xλ p 6= 0,(11.9)где функции Φ , G голоморфны по x и z. Форма Ω замкнута.Рассмотрим недикритический случай и обозначим через Σ объединениекорней всех полиномов Φ (0, z). Без потери общности мы можем предположить, что все функции f неприводимы, а тогда для каждого j соответствующий член Φ (0, ·) обращается в нуль только в одной точке a ∈ E, хотянекоторые из этих точек могут совпадать.Аналогично доказательству леммы 11.30, мы можем найти комплексныечисла µ , такие что 1-формаXdzdxΩ−µ− λ0z − zxточна в узкой полоске с вырезаннымицилиндрическими окрестностямиSособых точек M ∗ = (M, E)\ =1 {|z − z | < "}, т.

е. существует голоморфнаяфункция H, такая чтоXdxdzΩ = λ0+µ+ dH, H ∈ O (M ∗ ).z − zxИз этой формулы немедленно следует, что пфаффово уравнение на листылогарифмического слоения после раздутия может быть записано на M ∗в следующем виде:XµdWdz, W = x exp λ−1=−0 H(x, z) .Wλ0 z − z Рассмотрим трансверсаль τ = {z = z0 } в неособой точке z0 и голоморфныекоординаты w = W |τ = x exp λ−10 H(x, z0 ) на ней. Преобразование голономии в этих координатах может быть легко подсчитано, поскольку переменные в приведённом выше уравнении разделяются: отображение голономиивдоль петли, обходящей точку z , является чистым поворотом: ∆ : w 7→7→ w exp(−2πiµ ), j = 1, 2, .

. .Таким образом, группа исчезающей голономии состоит из линейныхотображений.Линеаризуемость голономии вдоль произвольной сепаратрисы можнодоказать с помощью тех же аргументов, что и выше. Сепаратрису нужнопредварительно привести к гладкой аналитической кривой, трансверсальнойисключительному дивизору, разрешив все особенности. Подробности оставимчитателю в качестве упражнения.ƒ11.7.4. ОбратимостьДругой причиной для появления центров у вещественно-аналитическихслоений может быть симметрия слоения (см. пример 11.20).Предположим, что вещественно-аналитическое слоение F = {ω = 0} имеет изолированную монодромную особенность в начале координат и при228Глава 11.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее