Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Напротив, если росток f необратим, то длямалого c прообраз f −1 (c) состоит из более чем одной точки, поэтому линияуровня v = c состоит из нескольких листов слоения, на которых функция uпринимает различные значения из множества f −1 (c).Определение 11.3. Непостоянная голоморфная функция u ∈ O (C2 , 0)называется примитивным (первым) интегралом интегрируемого слоения,если все линии уровня {u = const} связны (в достаточно малой окрестностиначала координат).Предложение 11.4.
Если u — примитивный первый интеграл слоения F,то любой другой первый интеграл v является аналитической функцией от u,v = f ◦ u, для некоторого аналитического непостоянного ростка f ∈ O (C, 0).Доказательство. Так как u и v — первые интегралы, функция v постояннана связных компонентах линий уровня функции u. В силу примитивностипервого интеграла u, эти связные компоненты совпадают с линиями уровняфункции u, т. е.
v = f (u) для некоторой функции f. Нам осталось доказатьаналитичность функции f.Вне критических значений функции u аналитичность функции f следуетиз теоремы о неявной функции. Выбирая достаточно малую окрестность Uособой точки, можно считать, что u = 0 — единственное критическое значение u. Поскольку u голоморфна, множество u(U) открыто. Таким образом,функция f аналитична в проколотой окрестности нуля. Следовательно, потеореме об устранимой особенности, f ∈ O (C, 0).Определение интегрируемости допускает формальный аналог: формальная пфаффова форма ω (соответственно формальное векторное поле F)формально интегрируема, если существует непостоянный формальный рядu ∈ C[[x, y]], такой что равенство ω ∧ du = 0 (соответственно Fu = 0) выполнено на уровне формальных рядов.
Однако в п. 11.7.2 мы покажем, чтоформальная интегрируемость для аналитических 1-форм, векторных полейи слоений совпадает с аналитической интегрируемостью.Теорема 11.5. Проблема интегрируемости слоений алгебраически разрешима (см. определение 10.2).Доказательство. Формальное тождество ω ∧ du = 0, где u = u2 + u3 + . . . ∈∈ C[[x, y]] — формальный ряд, а ω = ω1 + ω2 + . . . — формальная пфаффова210Глава 11.
Голономия и первые интегралы1-форма, эквивалентно бесконечной треугольной системе полиномиальныхсоотношений на однородные компоненты u , ω :X∀ k = 1, 2, . . .ω ∧ du = 0.(11.1)+=+1Усечение этой системы до любого порядка k ¶ N является линейной однородной системой алгебраических уравнений на неизвестные компонентыu2 , . . . , u с коэффициентами, линейно зависящими от форм ω1 , . . . , ω .
Потеореме Зайденберга — Тарского об исключении кванторов, существованиенетривиального решения этой системы — полуалгебраическое условие наN-струю формы ω. Проверку того, что коразмерность множества нейтральных струй стремится к бесконечности с ростом порядка струй, мы оставляемчитателю.§ 11.2. Интегрируемость вещественных слоенийИнтегрируемость вещественно-аналитических слоений в R2 тесно связанас наличием особенности топологического типа «центр».Предложение 11.6. Монодромная интегрируемая особенность вещественно-аналитического слоения в R2 является центром.Доказательство.
Пусть u — первый интеграл, τ+ — положительная полутрансверсаль из определения 9.8 отображения монодромии. Заметим, чтоu|τ+ 6≡ const. Действительно, если u|τ+ ≡ C, то ограничение u на насыщениеполутрансверсали τ+ также тождественно равно C. В силу монодромностислоения, это насыщение содержит некоторую окрестность нуля, что противоречит определению интегрируемости слоения.Итак, вещественно-аналитическая функция u|τ+ непостоянна, а значит,инъективна в малой окрестности нуля. Но u постоянна вдоль листов, следовательно, u(∆τ+ (·)) = u(·). Таким образом, отображение монодромии тождественно в малой окрестности особой точки, т.
е. особая точка — центр.Для эллиптических особенностей аналитическую интегрируемость в этомпредложении можно заменить формальной.Предложение 11.7. Формально интегрируемая эллиптическая особенность является центром.Доказательство. Очевидно, формальная интегрируемость является инвариантом формальной орбитальной классификации. Мы докажем сначала, что для эллиптического векторного поля в формальной нормальной форме (4.9) формальнаяинтегрируемость эквивалентна формальной орбитальной линеаризуемости.Действительно, если векторное поле нелинеаризуемо, то в подходящих «формальных координатах» (x, y) оно принимает форму (см.
табл. 4.1 на с. 79)F = I + (r 2 + ar 4 )E,где I — поле поворота−yr2 = x 2 + y 2 ,∂∂+x∂x∂y§ 11.2. Интегрируемость вещественных слоенийи E — эйлерово полеx211∂∂+y .∂x∂yЕсли u = u + u+1 + . . . — нетривиальный формальный интеграл, то функции u , . . . ,. . . , u+2−2 должны быть радиальными (зависеть только от полярного радиуса r),а значит, они равны степеням r 2 с постоянными коэффициентами.
В частности,m должно быть чётным, m = 2n, так что u начинается с ростка r 2 + . . . Но тогда длявычисления u2+2 мы получаем уравнение I u2+2 = −2nr 2+2 , которое неразрешимо,поскольку его правая часть имеет ненулевой интеграл вдоль окружности r = const.С другой стороны, если поле формально линеаризуемо, F = I, тогда оно очевидным образом формально интегрируемо, поскольку u = r 2 является нетривиальныминтегралом.Для доказательства предложения осталось показать, что формально орбитальнолинеаризуемое вещественное эллиптическое слоение обязательно является центром.Действительно, формальная орбитальная линеаризуемость означает, что отображение монодромии формально эквивалентно тождественному в группе Diff[[R1 , 0]](задача 10.8).
Но тогда отображение монодромии само тождественно (ср. с теоремой 6.8), значит, особая точка является центром.Докажем теперь, что для эллиптических монодромных особых точек вещественно-аналитических векторных полей на плоскости следующие условияравносильны:(AI) существование аналитического первого интеграла;(FI) существование формального первого интеграла;(C) тождественность отображения монодромии (особая точка — центр).Импликации (AI) ⇒ (FI) и (AI) ⇒ (C) верны для любых (не только эллиптических) монодромных аналитических векторных полей. Первая из нихочевидна, а вторая доказана в предложении 11.6.Импликация (FI) ⇒ (C) доказана в предложении 11.7 для эллиптическихособенностей, однако на самом деле она верна без этого предположения,см. п.
11.7.2. Мы обсудим теперь оставшуюся импликацию (C) ⇒ (AI), показывающую, что для эллиптических особенностей все три условия эквивалентны.Это знаменитая теорема Пуанкаре — Ляпунова, доказанная Пуанкаре дляполиномиальных дифференциальных уравнений и Ляпуновым для аналитических. Современное доказательство, приводимое ниже, основано на [48].Теорема 11.8 (Пуанкаре — Ляпунов). Вещественная аналитическая эллиптическая особая точка, являющаяся центром, допускает вещественныйаналитический первый интеграл с невырожденной квадратичной частью.Как следствие этого результата и предложения 11.7, мы получаем результато «сходимости формальных интегралов».Следствие 11.9.
Эллиптическая особенность, допускающая формальныйпервый интеграл с невырожденной квадратичной частью, допускает и аналитический первый интеграл с тем же свойством.Для эллиптических особенностей проблема интегрируемости вполне разрешима.212Глава 11. Голономия и первые интегралыЗамечание 11.10. В утверждении теоремы 11.8 сделан акцент на аналитичностьпервого интеграла. Действительно, существование первого интеграла, который лишьнепрерывен в начале координат x = y = 0 и вещественно-аналитичен вне него, очевидно. Возьмём трансверсаль τ = { y = 0, x > 0} и функцию x 2 на ней и продолжим этуфункцию на всю окрестность начала координат так, чтобы она была постоянна вдольтраекторий векторного поля.
Поскольку все траектории замкнуты, это продолжениеоднозначно и вещественно-аналитично вне начала координат. Его непрерывностьв нуле очевидна. Если сначала перейти к координатам, линеаризующим струю конечного порядка, а потом применить эту конструкцию, мы сможем гарантироватьгладкость построенного первого интеграла до любого конечного порядка, а в силуупражнения 11.13 даже его C ∞ -гладкость.Итак, первый интеграл заведомо аналитичен вне особой точки — множествакоразмерности 2.
Таким образом, если бы все объекты были определены в (C2 , 0),а не в (R2 , 0), то аналитичность первого интеграла следовала бы из теоремы об устранении особенности. Другими словами, естественный способ доказать аналитичностьпервого интеграла — это комплексифицировать конструкцию.Доказательство теоремы 11.8 основано на применении результатов об интегрируемости групп конформных ростков, см. § 6.3, к группе исчезающейголономии, определённой ниже.
Для эллиптических особенностей эта группа — просто циклическая группа.§ 11.3. Исчезающая голономия особой точки слоенияПонятие исчезающей голономии уже неявно появлялось в § 10.3.Определение 11.11. Группа исчезающей голономии изолированного недикритического слоения F — это группа голономии особого слоя L = E\ Sing F 0слоения F 0 = σ∗ F на комплексной ленте Мёбиуса M, полученного простымраздутием σ : (M, E) → (C2 , 0) особенности в нуле.По построению, исчезающая голономия является конечно порождённойподгруппой в группе Diff(C, 0) конформных ростков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
