Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Мы покажем, что в предположениях теоремы коэффициенты a = a (ω) = a (ω+1 , a+2 , . . .) отображения полумонодромии ∆R (x) == a1 x + a2 x 2 + . . . являются квазиоднородными полиномами относительнонестарших коэффициентов Тейлора ω+1 , ω+2 , . . . формы ω. Форма ωотождествляется со строкой своих коэффициентов, которые, в свою очередь,являются естественными координатами на пространстве струй.По лемме 10.15, каждый коэффициент a зависит только от компонентω , . .
. , ω+−1 , и эта зависимость является вещественно-аналитической.Рассмотрим произвольное действительное число 0 6= µ ∈ R и линейноепреобразование Dµ = (x, y) 7→ (µx, µ y). Это преобразование действует диагонально на 1-формах, если выбрать базис из мономов. После подходящегоизменения масштаба 1-формаµ−−1 Dµ∗ ω = ω + µω+1 + µ2 ω+2 + .
. .опять будет принадлежать B(ω ).С другой стороны, Dµ в карте на оси x приобретает вид линейного преобразования x 7→ µx и поэтому переводит отображение полумонодромии ∆R вµ−1 ∆R (µx) = a1 x + µa2 x 2 + µ2 a3 x + . . .Поскольку коэффициенты полумонодромии однозначно определены, мызаключаем, чтоa (µω+1 , µ2 ω+2 , . . . , µ−1 ω+−1 ) = µ−1 a (ω+1 , ω+2 , . . . , ω+−1 ).Другими словами, каждое из a является квазиоднородной аналитическойфункцией от своих аргументов. Такие функции должны быть обязательноквазиоднородными полиномами.Полная алгебраическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса следует теперь немедленно из полной алгебраической разрешимости?проблемы тождественности преобразования ∆R ◦ ∆R = id для голоморфныхотображений в себя (задача 10.4). Действительно, поскольку a — полиномиальные функции на B(ω ), обращение в нуль любого конечного числакоэффициентов ∆R ◦ ∆R является алгебраическим условием на конечнуюструю формы ω.
Если все нелинейные коэффициенты ∆R ◦ ∆R обращаютсяв нуль, то особенность является центром.§ 10.6. Разрешимость до коразмерности 1Проанализировав систему (10.11), видим, что первый коэффициент a1 (ω)неалгебраически зависит от (коэффициентов Тейлора) функции θ1 . Всё же,несмотря на эту неалгебраичность, условие нейтральности a1 (ω) = −1 для1-струи, необходимое для того, чтобы отображение в себя ∆R ∈ Diff(R1 , 0)§ 10.7.
Неразрешимость проблемы устойчивости для слабого фокуса201было 2-периодичным, оказывается алгебраически разрешимым. Это утверждение не совсем тривиально, поскольку его комплексный аналог неверен(задача 10.9).Теорема 10.19. 1. Мультипликатор a1 = a1 (ω ) отображения полумонодромии ∆R обобщённой эллиптической особой точки равен −1,X1res θ1 = − .(10.13)2Re >02. Проблема различения центра и фокуса для обобщённых эллиптическихособых точек алгебраически разрешима вплоть до коразмерности 1.Доказательство. Интегрирование первого уравнения (10.11) немедленнодаёт выражение для мультипликатора a1 :X1 (z) = expRθ1 ,a1 = expHθ1 .R10Напомним, что форма θ1 имеет вид (10.7) и убывает на бесконечности как 1/x.Поэтому предыдущий интеграл нужно понимать в смысле главного значения.H Условие нейтральности a1 = −1 выполнено тогда и только тогда, когдаθ = πi(2m + 1), m ∈ Z, т.
е. когдаR1 1X1res θ1 = + m, m ∈ Z.(10.14)Im >02Это свойство ещё не является алгебраическим условием, поскольку онопредставляет собой объединение бесконечного числа условий для различныхзначений m ∈ Z. Однако, поскольку форма ω вещественна на вещественнойоси, множество её особых точек Σ симметрично относительно отраженияz 7→ z и вычеты в симметричных точках комплексно сопряжены. Суммавсех вычетов θ1 на всей плоскости C равна −1, согласно (10.10).
Поэтомувещественная часть левой части уравнения (10.14) равна −1/2, что можетсовпадать с правой частью, только если m = −1, а это и влечёт (10.13).Второе утверждение теоремы немедленно следует из первого, посколькуусловие (10.13) на форму θ1 алгебраическое.§ 10.7. Неразрешимость проблемы устойчивостидля слабого фокусаИзучение следующего нетривиального уравнения в (10.11) уже наводитна мысль о неалгебраичности второго нетривиального условия a3 (ω) = 0.Вещественный топологический тип векторных полей с a1 = −1 и a3 6= 0называется слабым фокусом: слабость означает, что интегральные кривыеприближаются к началу координат медленнее, чем логарифмические спирали.Слабые фокусы могут быть устойчивыми (если a3 < 0) и неустойчивыми, еслиa3 > 0, см.
задачу 10.12.202Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачЗамечание 10.20. Заметим, что если a1 = −1, то для любого выбора a2 (ω)квадрат отображения ∆R ◦ ∆R начинается с кубических членов и поэтомунеалгебраичность условия a3 (ω) = 0 означает, что проблема различенияцентра и фокуса без ограничений неразрешима до коразмерности 2. Другимисловами, теорема 10.19 устанавливает чёткое ограничение на коразмерность,до которой проблема различения центра и фокуса (без требования постоянства младших членов) алгебраически разрешима (задача 10.14).Для доказательства неалгебраичности условия a3 (ω)=0 рассмотрим полиномиальное слоение, которое после раздутия в аффинной карте (x, z), z = y/xопределяется рациональным пфаффовым уравнением следующего вида:AA+1dx = xθ1 + x 3 θ3 ,θ1 = 2− 2z dz,z +2z +1(10.15)z dz,λ,µ∈R,λ=60.θ3 = µ dz + 22z +λЗдесь A ∈ R\Z — любое фиксированное нецелое число. Слоение, определяемоеуравнением (10.15) на комплексной ленте Мёбиуса M, содержащей исключительный дивизор E, может быть схлопнуто в полиномиальное слоение,определяемое полиномиальной формой ω = 0 на C2 согласно замечанию 10.14(см.
также задачу 10.13). Заметим, что обе формы θ1 + dz/z и z−2 θ3 голоморфны в точке z = ∞, поэтому бесконечная точка z = ∞ на E является неособойв другой аффинной карте на M. В частности, оператор голономии вдольвещественного экватора может быть заменён голономией вдоль контура Γ,который состоит из вещественного сегмента [−R, R] и большой полуокружности {|z| = R, Im z ¾ 0} в верхней полуплоскости,Γ = [−R, R] ∪ {|z| = R, Im z ¾ 0} ⊂ C,R 2,(10.16)со стандартной ориентацией, наследованной из C.Условия (10.9) для этой системы, которые легко проверяются, означают,что в полуалгебраической области λ 6= 0 уравнение (10.15) —pобобщённоеэллиптическое. Сумма вычетов формы θ1 в особых точках i, i 2 в верхнейполуплоскости в точности равна −1/2, поэтому условие (10.13) автоматическипроверяется для всех значений λ, µ.Очевидно, что второй коэффициент a2 = a2 (λ, µ) отображения ∆R нулевой, поскольку член x 2 θ2 в уравнении (10.15) отсутствует.
Третий коэффициент a3 = a3 (λ, µ) является вещественно-аналитической функцией от λ, µв области λ 6= 0, 1, 2, где особая точка (10.15) — обобщённая эллиптическая.Обобщённая эллиптичность имеет место и для значений λ = 1, 2, хотя голоморфной зависимости от параметров в этих точках нет, как будет видноиз следующего результата.Теорема 10.21. Второе условие интегрируемости a3 (λ, µ) = 0 для семейства (10.15) определяет неалгебраическую вещественную кривую на плоскостипараметров {λ > 0, µ ∈ R}.Дополнение {a3 (λ, µ) 6= 0} к этой кривой состоит из достаточных струй(фокусов), таким образом, теорема 10.21 действительно доказывает алгебраическую неразрешимость проблемы центр–фокус.§ 10.7.
Неразрешимость проблемы устойчивости для слабого фокуса203Рис. 10.1. Группа голономии и непрерывная деформация кривых,порождающих эту группу, при изменении параметровДоказательство теоремы 10.21. Рассмотрим голономию ∆Γ системы(10.15) вдоль контура Γ, см. рис. 10.1. Эта голономия зависит от параметровλ, µ, и мы покажем, что условие ∆Γ ◦ ∆Γ = id неалгебраическое относительноэтих параметров.Для этого мы преобразуем сначала первые три (в действительности толькодва, поскольку θ2 = 0 отсутствует) уравнения соответствующей системы (10.11)в линейные. Этого можно добиться с помощью замены y1 = X12 , y2 = X3 /X12 .Эта замена естественна при решении первых трёх уравнений (10.11) методомвариации постоянных. В итоге получаем следующие уравнения:dy1 = 2θ1 y1 ,y1 = X12 ,(10.17)dy2 = θ3 y1 ,y2 = X3 /X12 .Эта система линейна, и очевидно, что её отображение голономии вдоль пути Γ тождественно тогда и только тогда, когда голономия исходной нелинейнойсистемы вдоль пути Γ является инволюцией: её квадрат — тождественное отображение.
Мы покажем, что это условие неалгебраично относительно (λ, µ).Вследствие того, что эта система имеет треугольный вид, её группуголономии легко посчитать. Линейность системы влечёт линейность группы.Ниже мы произведём вычисления с линейными системами, которые будутописаны более подробно в § 15.3.Группа голономии порождена тремя линейными операторами, соответствующими обходам вокруг трёх особых точек. Фиксируем начальную точкуz0 ∈ R+ где-нибудь на положительной полуоси и обозначим через γ , i = 1, 2, 3,стандартные петли, обходящие три особые точки z1 = i, z2 = 2i и z3 (λ) = iλвдоль малых окружностей и идущие к и от этих окружностей по отрезкампрямых. Зафиксируем решение Y = Y (z; λ, µ) системы (10.17) с начальнымиданными y1 (z0 ) = 1, y2 (z0 ) = 0.Заметим, что форма θ1 не зависит от параметров и первое координатноеподпространство инвариантно (т.
е. результат аналитического продолжения204Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачy1 не зависит от y2 ). Поэтому функция y1 имеет голоморфную ветвь вдольпетли γ3 . С другой стороны, форма θ1 имеет голоморфнуюветвь вдольRпутей γ1 , γ2 , поэтому мы можем посчитать интегралы γ y1 θ3 .
Эти интегралыпозволяют представить линейные преобразования∆γ Y = YM ,M ∈ GL(2, C),в виде (2 × 2)-матриц M1 , M2 , M3 . Эти матрицы, чьи элементы зависят от параметров λ, µ, выглядят следующим образом:αM1 =β1,1M2 =α = exp 2πiA,Zβ1 = (1 − α)`1α−1β2,1M3 =β3,11A = 2 res1 θ1 = −2 res2 θ1 ,Zy1 θ3 ,β2 = (1 − α−1 )(10.18)y1 θ3 ,`2β3 = 2πi y1 (z3 ) res3 θ3 = πi y1 (z3 ).В формулах через ` , i = 1, 2, 3, обозначены отрезки, соединяющие начальную точку z0 с точками z .
Интегралы, содержащие многозначное решениевдоль этих отрезков, так же как и значение y1 (z3 ), получаются с помощьюпродолжения ветви с начальным условием y1 (z0 ) = 1 вдоль этих отрезков.Величины β1 , β2 , β3 зависят от параметров λ, µ локально голоморфно(поскольку λ ∈/ {0, 1, 2}), но, тем не менее, эта зависимость достаточно сложна.Во-первых, поскольку форма θ3 сама зависит от этих параметров, интегралы β1 , β2 оказываются функциями, линейными по µ и рациональнымипо λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
