Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Поскольку окружность компактна, а правая часть уравнения (11.4) ограничена,мы можем выбрать C = exp 2π(|λ| + A), A = max{||=1} |a(x, y)|.Из точки x внутри диска можно сначала по радиальному отрезку пройтив точку x/|x|, затем из этой точки по дуге окружности попасть в точку x = 1.Вдоль радиального отрезка {re arg : |x| ¶ r ¶ 1} мы имеем дифференциальноенеравенствоd| y|2d y dxdy dx=y·+y=·drdx drdx dryyyy| y|2=(λ + a(x, y)) +Re(λ + a(x, y)) < 0,λ + a(x, y) = 2rrrкоторое означает, что соответствующее отображение потока — сжимающее,откуда x | y1 | < C y ¶ C| y0 |.|x|Таким образом, каждый лист, проходящий через внутреннюю точку (x0 , y0 )бидиска U, для которой x0 6= 0 и | y0 |<δ/C, пересекает сечение τ⊆{x =1} в некоторой точке (1, y1 ), | y1 | < δ, т. е.
содержится в насыщении трансверсали τ. Доказательство следствия 11.16. Каждую точку, не лежащую на второйсепаратрисе S0 седловой особой точки, можно соединить с точкой на транс-§ 11.5. Теорема Пуанкаре — Ляпунова: доказательство и (контр)примеры217версали τ путём, лежащим на листе слоения. Это означает, что росток u0продолжается до многозначной аналитической функции на U\S0, постояннойвдоль листов.Фундаментальная группа U\S0 порождена петлёй γ ⊂ S на гладкой сепаратрисе, обходящей начало координат.
Поскольку u0 инвариантна относительноотображения голономии f = ∆γ вдоль этой петли, продолжение u — однозначный и ограниченный голоморфный первый интеграл слоения F на дополнении U\S0 к аналитической кривой S0. По теореме об устранимой особенности, u продолжается до аналитического первого интеграла слоения F на U. § 11.5. Теорема Пуанкаре — Ляпунова:доказательство и (контр)примерыТеперь всё готово для доказательства теоремы 11.8.Доказательство теоремы 11.8. Пусть F — эллиптическое вещественноаналитическое слоение с особенностями, являющееся центром.
Рассмотримраздутие его комплексификации — слоение F 0 на комплексном листе Мёбиуса M вблизи исключительного дивизора E. Слоение F 0 имеет две особыхточки: Σ = {±i}, обе они лежат вне вещественного экватора RP 1 ⊂ E.Отображение полумонодромии f = ∆R ∈ Diff(τ, 0) вдоль экватора RP 1является инволюцией, как было объяснено в § 10.3. Оно порождает группуисчезающей голономииH = {id, f } ' Z2 ,f : x 7→ −x + . . . ,f ◦ f = id .(11.5)Согласно предложению 6.25, группа исчезающей голономии H интегрируема, поэтому существует росток u0 ∈ O (τ, 0), голоморфный на трансверсали τи инвариантный относительно f.
По лемме о насыщении 2.18, росток u0 можетбыть продолжен до первого интеграла слоения F 0 вблизи листа L = E\Σ,где Σ = {−i, i} — множество особых точек слоения F 0. Эти точки — «комплексные сёдла» с одинаковым характеристическим числом, равным −1/2.Ограничение u на любую трансверсаль к дивизору E вблизи этих точекинвариантно относительно соответствующего локального отображения голономии. Согласно следствию 11.16, интеграл u аналитически продолжаетсяна полные окрестности обеих особых точек, и мы получаем голоморфныйпервый интеграл слоения F 0 на листе Мёбиуса M.Схлопывание (σ∗ )−1 u функции u является голоморфным первым интегралом исходного эллиптического слоения F в проколотой окрестности началакоординат на (C2 , 0). Снова применяя теорему об устранимой особенности,мы продолжим это схлопывание до голоморфного первого интеграла наплоскости.Это рассуждение само по себе ещё не гарантирует невырожденности квадратичной части построенного интеграла u, но предложение 6.25 не толькоутверждает существование какого-нибудь ростка, инвариантного относительно отображения периода k, но и даёт информацию о форме его главного218Глава 11.
Голономия и первые интегралычлена. А именно, рассмотрим трансверсаль τ = {z = y/x = 0} к E с координатой x на ней. Применяя вторую часть предложения 6.25 при k = m = 2,h = f, получаем, что инвариантный относительно f росток u0 ∈ O (τ, 0),определённый на τ, можно выбрать в виде u0 = x 2 + . . . Следовательно, длясоответствующего первого интеграла u выполнено равенство u(x, 0) = x 2 + .
. .Поскольку главная часть u сохраняется под действием векторного поля I,u(x, y) = x 2 + y 2 + . . . , значит, квадратичная часть интеграла u невырожденна.Доказательство теоремы Пуанкаре — Ляпунова завершено.Дословно такое же доказательство применимо к более общей ситуациии даёт частичное обращение предложения 11.12.Теорема 11.17. Предположим, что все особенности, получающиеся послеодного раздутия голоморфного слоения с особенностями F, элементарные.Тогда интегрируемость слоения F равносильна одновременному выполнениюследующих двух условий:1) группа исчезающей голономии слоения F интегрируема;2) все особенности слоения F 0 =σ∗ F являются комплексными сёдлами с отрицательными рациональными характеристическими числами λ < 0.Доказательство.
Пусть слоение F интегрируемо. Если группа голономии неинтегрируема, то в силу теоремы 6.34 бесконечно много листовслоения F пересекают аналитическую трансверсаль по бесконечному числуточек, что противоречит интегрируемости F. Следовательно, группа исчезающей голономии интегрируема, и все её элементы периодичны.Рассмотрим теперь особую точку a ∈ Σ ⊂ E слоения F 0 = σ∗ F. Посколькуотображение голономии вдоль кривой γ ⊂ E, обходящей a , периодично,соответствующий мультипликатор должен быть корнем из единицы, значит,характеристическое число λ точки a рационально: λ ∈ Q.
Узловой (λ > 0)и седлоузловой (λ = 0) случаи несовместимы, по лемме 11.13, с интегрируемостью, следовательно, все особенности являются сёдлами. Итак, следствиев одну сторону доказано.Докажем теперь следствие в обратную сторону. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда первый интеграл группы исчезающей голономии продолжается в полную окрестность каждого седла по следствию 11.16, что даёт намглобальный интеграл слоения F 0, а значит, и слоения F.С другой стороны, доказательство теоремы 11.8 проясняет роль, которуюиграют предположения о линейной части вещественного слоения с особенностями F.
Это предположение гарантирует, что группа исчезающейголономии порождена одним отображением — полумонодромией. Для обобщённых эллиптических особенностей группа исчезающей голономии можетпорождаться более чем одним отображением, поэтому из периодичностиполумонодромии ещё не следует периодичность всей группы исчезающейголономии. Другими словами, можно ожидать, что существует вырожденноевещественно-аналитическое слоение с особой точкой типа центр, не имеющееаналитических первых интегралов.§ 11.5. Теорема Пуанкаре — Ляпунова: доказательство и (контр)примеры219Один из наиболее ранних контрпримеров этого вида был построен в явномвиде в [119, § 4.656, p. 122].Пример 11.18. Рассмотрим функциюu(x, y) = (2x 2 + y 2 ) exp1.x + y22Эта функция вещественно-аналитична в проколотой действительной плоскости, но имеет существенные особенности на мнимом кресте x = ±iy.Логарифмическая производная ω = du/u является рациональной 1-формойс полюсом второго порядка на этом кресте, а пфаффово уравнение ω = 0можно записать в виде полиномиального векторного поля.
Это векторноеполе имеет трансцендентный первый интеграл, а следовательно, являетсяцентром на вещественной плоскости. С другой стороны, оно не может иметьаналитического первого интеграла.Похожие примеры могут быть построены по набору вещественно-аналитических функций f (x, y), которые стремятся к нулю в окрестности начала координат x = y = 0 и положительны в проколотой окрестности (R2 , 0)\{(0, 0)}.Для любого набора Qположительных весов α > 0, линейно независимыхαнад Q, функция f = f является неаналитическим первым интеграломдля слоения {ω = 0}, заданного рациональной 1-формой ω = df / f.Другой способ строить контрпримеры — это начать с неинтегрируемойгруппы исчезающей голономии.Пример 11.19. Пусть θ — вещественная рациональная мероморфная 1-форма на E = P1 без вещественных полюсов, удовлетворяющая условию (10.9).Рассмотрим соответствующее пфаффово уравнение dx = xθ .
Согласно замечанию 10.14, это уравнение может быть схлопнуто к обобщённой эллиптическойособенности.Будучи линейным по x, это уравнение интегрируемо, и все отображенияголономии линейны в естественной карте x. В силу (10.10) и симметрии θотносительно инволюции z 7→ z, сумма вычетов во всех особых точках в каждой полусфере ± Im z > 0 на E равна −1/2. Таким образом, голономия вдольвещественной (проективной) прямой является инволюцией — осевой симметрией x 7→ −x, поэтому отображение первого возвращения на полупрямуюдля вещественной особенности будет тождественным.С другой стороны, если θ имеет более одного полюса, описанные ограничения совместимы с тем, что некоторые вычеты не являются отрицательнымирациональными числами.
Это означает, что отображения голономии вдольмалых петель, обходящих особенности, не могут быть периодическими.Очевидно, что это невозможно для интегрируемой особенности по теореме 11.17.В ещё одном примере то, что вещественное слоение — центр, следует изосевой симметрии слоения на вещественной плоскости.Пример 11.20 (Р. Муссю [48]). Вещественная полиномиальная 1-форма12ω = x 3 dx + y 3 dy − x 2 y 2 dy(11.6)220Глава 11.
Голономия и первые интегралыопределяет вещественно-аналитическое слоение с особенностями на (R2 , 0).Особая точка в начале координат является центром, поскольку она инвариантна относительно осевой симметрии (инволюции) (x, y) 7→ (−x, y).1Главная часть (3-струя) формы ω интегрируема: j 3 ω = d(x 4 + y 4 ). Од4нако прямой проверкой можно убедиться, что не существует 5-струи видаu = x 4 + y 4 + . . . , такой что j 5 (ω ∧ du) = 0.§ 11.6.
Простые слоения на (C2 , 0)Как мы уже упоминали, теорема Пуанкаре — Ляпунова 11.8 связываетпростоту топологического строения вещественно-аналитического слоенияс аналитическим свойством — его интегрируемостью.Интегрируемое слоение обязательно имеет простое топологическое строение в смысле следующего точного определения.Определение 11.21. Слоение F с особенностями на (C2 , 0) называетсяпростым, если все его листы, кроме, может быть, счётного множества, несодержат нуля и замкнуты в (C2 , 0).Замечание 11.22.
Очевидно, любое интегрируемое слоение является простым в смысле этого определения. Действительно, все листы такого слоениязамкнуты в (C2 , 0), а множество листов, подходящих к нулю, конечно: каждыйтакой лист должен быть неприводимой компонентой ростка аналитическойкривой {u = 0} ⊂ (C2 , 0).Обратный результат обобщает как теорему Пуанкаре — Ляпунова 11.8,так и теоремы 11.17 и 6.34.Теорема 11.23 (Ж.-Ф. Маттеи и Р. Муссю [45, 47]). Простое голоморфноеслоение с особенностями всегда интегрируемо; более того, у такого слоениявсегда существует примитивный первый интеграл.Нам потребуется следующее простое наблюдение.Замечание 11.24. Лист слоения, относительно замкнутый в некоторойокрестности U, может пересекать замкнутую трансверсаль лишь по конечному множеству точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
