Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для дикритических особенностей эта группа не определена. Чтобы определить её для вещественноаналитических слоений, слоение нужно сначала комплексифицировать.Вычисления из § 10.3 показывают, что после простого раздутия эллиптической особенности слоение F 0 имеет ровно две особые точки на исключительном дивизоре E — два седла в точках z = ±i с отношением собственныхзначений, равным −1/2. По теореме Адамара — Перрона 7.1, каждое седлоимеет две голоморфные сепаратрисы. Одна из них — общая комплекснаясепаратриса E, две других — голоморфные кривые W+ и W− , трансверсальнопересекающие дивизор E в точках z = ±i соответственно.Фундаментальная группа L = E\Σ, Σ = {±i}, — циклическая группа, порождённая экватором RP 1 вклеенной сферы Римана.
Поэтому группа исчезающейголономии H эллиптической особенности порождена одним ростком полумонодромии f = ∆R ,f = ∆R |τ ,τ = {z = 0},f (x) = −x + . . . ∈ Diff(C, 0).(11.2)Как было объяснено в § 10.3, монодромия вещественной эллиптическойособенности равна квадрату образующей f исчезающей голономии.§ 11.4. Топология комплексных слоений213Если слоение F интегрируемо и u — аналитический первый интеграл,то u поднимается на M как аналитическая функция на (M, E), постояннаявдоль слоёв F 0. По определению голономии, это означает, что ограничениеu|τ на трансверсаль τ из определения отображения голономии инвариантно относительно группы исчезающей голономии H. Другими словами, мыполучаем очевидную импликацию.Предложение 11.12.
Группа исчезающей голономии интегрируемого слоения является интегрируемой подгруппой (в терминах определения 6.24)в пространстве Diff(C, 0).Интегрируемость группы конформных ростков — это очень жёсткое условие, из которого следует, что группа конечна, абелева и линеаризуема,см. § 6.3. Вместе с предложением 11.12 это даёт необходимые условия интегрируемости слоений.Для эллиптического центра образующая f группы исчезающей голономии H — инволюция: f 2 = id, а значит, эта группа интегрируема. Поэтомунеобходимые условия из предложения 11.12 выполняются. Теорема Пуанкаре — Ляпунова утверждает, что для эллиптических особенностей они такжеявляются достаточными, т. е.
если H ' Z2 , то существует вещественно-аналитическая функция u ∈ O (R2 , 0), постоянная вдоль интегральных кривых.Доказательство опирается на аргументы, упомянутые в замечании 11.10;в вещественном случае этих аргументов недостаточно, поэтому мы сначалаe∈комплексифицируем слоение.
А именно, мы строим первый интеграл u∈ O (τ, 0) группы голономии H — функцию, аналитическую на трансверсали τи инвариантную относительно всех отображений голономии. Используя конструкцию насыщения (лемма 2.18), мы продолжаем первый интеграл группыдо первого интеграла слоения F 0 в окрестности особого слоя L = E\Σ.Изучение окрестностей особых точек ±i показывает, что для каждойиз них локальный первый интеграл, определённый вблизи одной из сепаратрис, продолжается вдоль листов слоения на всю окрестность особой точки,кроме второй сепаратрисы. Применяя теорему об устранимой особенности,мы получим интеграл слоения F 0, определённый во всей окрестности исключительного дивизора E на комплексном листе Мёбиуса M. Схлопывая этотинтеграл, мы получим аналитический интеграл исходного эллиптическогослоения F.§ 11.4.
Топология комплексных слоенийи (не)интегрируемость элементарныхособенностейДля выполнения описанной выше программы нам необходимо обобщитьлемму 2.18 на случай слоения с особенностями.Рассмотрим следующую задачу. Пусть U — окрестность начала координат,например бидиск; F — слоение с особенностями в U, единственная особенность которого находится в начале координат; неприводимая аналитическаякривая S — сепаратриса F в нуле. Пусть a ∈ S\{0} — регулярная точка на S214Глава 11. Голономия и первые интегралыи u0 ∈ O (C2 , a) — росток голоморфной функции в точке a, являющийся локальным первым интегралом слоения F вблизи a. Проблема продолжениязаключается в том, чтобы продолжить u0 до интеграла u ∈ O (U, a) слоения F,определённого на всей области U.
Для простоты мы можем предположить, чторосток u0 определён на малой трансверсали τ: (C, 0) → (C2 , a) к сепаратрисе Sв точке a.Очевидным препятствием к существованию такого продолжения являетсяголономия слоения F вдоль малой петли γ ∈ π1 (S\{0}, a).
Действительно,пусть f ∈ Diff(τ, a) — отображение голономии вдоль петли γ. Тогда для разрешимости проблемы продолжения росток u0 должен быть инвариантенотносительно f, т. е. росток голономии f должен быть интегрируем. Однакоинтегрируемости f может быть недостаточно.Действительно, предположим, что вблизи a проходит бесконечно многолистов слоения F, замыкание каждого из которых содержит начало координат. Тогда слоение F не может быть интегрируемо: ограничение u накаждый из этих листов должно быть равно одной и той же константе, значит,u0 |τ = const. Эта ситуация может возникать в случае тождественной монодромии (см.
упражнение 11.3), поэтому действительно является препятствиемк продолжению аналитических первых интегралов.С другой стороны, предположим, что существует малая окрестность Dточки a на τ, такая что насыщение U 0 = Sat(D, F ) плотно в U и разностьS0 = U\U 0 является аналитическим множеством. Тогда любой f -инвариантныйросток, в частности u0 , можно продолжить вдоль листов слоения F до аналитической функции u ∈ O (U 0 ), ограниченной в дополнении к аналитическомумножеству, но в конечном счёте многозначной. Если по каким-то причинампродолжение u однозначно на U 0, то по теореме об устранимой особенностиголоморфная функция u продолжается на всю область U и по построениюбудет являться первым интегралом слоения F, продолжающим росток u0 .Очевидно, что для вещественных слоений ситуации, описанные в двухпредыдущих абзацах, несовместимы.
Слоения, топологически эквивалентныеузлу (в том числе фокусы) или седлоузлу, не могут быть интегрируемы,поскольку к началу координат накапливается бесконечно много траекторий.С другой стороны, для топологических сёдел насыщение малой трансверсалик сепаратрисе траекториями слоения полностью заполняет одну из полуплоскостей, на которые другая сепаратриса S0 делит малую окрестность началакоординат. Можно ожидать, что после комплексификации насыщение будетзаполнять всё дополнение U 0 = U\S0 к сепаратрисе S0. Вспомним, что этитипы элементарных вещественных слоений c особенностями отличаютсяотношением λ собственных значений линейной части.
Узлы, фокусы и седлоузлы соответствуют случаям положительного, невещественного и нулевого λ.Сёдла (и центры) соответствуют отрицательным значениям λ.В комплексной области «седловые» и «узловые» свойства не исключаютдруг друга, однако для всех типов элементарных особых точек проблему продолжения можно решить положительно либо отрицательно.Нам будет удобно распространить отношения <, >, ¶, ¾ с вещественныхчисел на комплексные следующим простым образом: для произвольных чисел§ 11.4.
Топология комплексных слоений215a, b ∈ C мы будем писатьa ¾ b ⇐⇒ a − b ∈ R и a − b ¾ 0,a > b ⇐⇒ a − b ∈ R и a − b > 0.(11.3)Отношения 6¾, 6> строятся логическим отрицанием описанных выше. Записи a ¶ b и a < b означают, что b ¾ a и b > a соответственно. Заметим, чтов отличие от вещественного случая отношения ¶ и > определяют толькочастичный порядок на C, поэтому из a 6> b не следует a ¶ b, и наоборот,из a 6¾ b не следует a < b.Лемма 11.13 (комплексный «узловой» случай). Каждый лист элементарного слоения с особенностями с характеристическим числом λ 6¶ 0 содержитособую точку в своём замыкании.Следствие 11.14.
Все такие особенности неинтегрируемы.Лемма 11.15 (комплексный «седловой» случай). Для каждого слоения с особенностями F с характеристическим числом λ, Re λ < 0, насыщение Sat(τ, F )любой трансверсали τ к каждой сепаратрисе заполняет дополнение до другойсепаратрисы в малой окрестности начала координат.Следствие 11.16. Если отображение голономии f ∈ Diff(τ, a) сепаратрисы S особой точки интегрируемо и λ < 0, то любой росток u0 ∈ O (τ, a),инвариантный относительно f, продолжается до аналитического интеграласлоения F.Доказательство леммы 11.13.
Если λ 6¶ 0, то соответствующее векторноеполе принадлежит области Пуанкаре и можно использовать голоморфныенормальные формы из теоремы 5.5, ср. с табл. 4.1.В нерезонансном случае поле линеаризуемо и решения являются графиками многозначной функции y = cx λ . Если x стремится к началу координатx = 0 вдоль логарифмической спирали, x = exp αt, t ∈ R+ , t → +∞, Re α < 0,тогда y движется вдоль спирали y = c exp λαt. Если λ 6¶ 0, то всегда можнонайти такое α, что и α, и αλ принадлежат левой полуплоскости, Re λα < 0,Re α < 0, так что начало координат является предельной точкой листа.В резонансном случае, когда λ или 1/λ — натуральное число r, можнопоказать прямым вычислением, что для дифференциального уравненияydy= r + ax −1 ,xdxa ∈ C,все решения стремятся к нулю, когда x стремится к нулю вдоль вещественной оси.В седлоузловом случае (λ = 0) мы выбираем локальные координаты так,что ось x касается формального центрального многообразия, тогда как ось yкасается гиперболического многообразия (аналитической инвариантной кривой).
Дифференциальное уравнение, соответствующее векторному полю,в этих координатах принимает видdy= ±x − y + O(x +1 ) + O( y 2 ) , n ¾ 2.dx216Глава 11. Голономия и первые интегралыКак и в предыдущем случае, прямой проверкой можно показать, что решенияy = y(x) этого уравнения стремятся к нулю экспоненциально быстро при x → 0вдоль положительной, отрицательной или чисто мнимой полуоси на комплексной оси x в зависимости от знака нормальной формы и чётности n. Доказательство леммы 11.15. Поскольку λ 6¾ 0, применима теорема Адамара — Перрона 7.1, поэтому слоение F имеет две голоморфные гладкиекомплексные сепаратрисы. Выберем систему координат, оси которой совпадают с сепаратрисами слоения F.
В этих координатах дифференциальноеуравнение, задающее слоение F, принимает видdyy= (λ + a(x, y)),xdxa(0, 0) = 0.(11.4)При необходимости меняя масштаб, мы будем считать, что уравнение(11.4) определено на бидиске U = {|x| < 1, | y| < 1}, трансверсаль τ — это малый диск τ = {x = 1, | y| < δ}, а голоморфное слагаемое a(x, y) ограниченов области U:1|a(x, y)| < |Re λ| ∀ (x, y) ∈ U.2Теперь мы покажем, что для каждой точки (x0 , y0 ) ∈ U, где x0 6= 0, существует путь на проколотой плоскости y = 0, соединяющий x0 с x = 1, и положительная конечная константа C, зависящая только от уравнения (11.4),такая что решение y = y(x) этого уравнения с начальным условием y = y0допускает продолжение вдоль этого пути, лежащее в U, а конечное значениеy(1) =: y1 удовлетворяет условию | y1 | < C| y0 |.Для всех точек x на окружности |x| = 1 это утверждение очевидно: каждуютакую точку можно соединить с точкой x = 1 дугой этой окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
