Главная » Просмотр файлов » Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 55

Файл №1238784 Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.) 55 страницаУчебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784) страница 552020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Голономия и первые интегралыэтом симметрично относительно нетривиальной инволюции S ∈ Diff(R2 , 0):S ◦ S = id, S меняет ориентацию, и S∗ ω = ω. Такая инволюция в подходящихкоординатах является осевой симметрией (x, y) 7→ (−x, y).Соответствующее векторное поле F будет антисимметрично: S∗ F = −F,поэтому такие особенности называются обратимыми.Предложение 11.31.

Монодромная обратимая особенность являетсяцентром.ƒОказывается, для некоторых типов особых точек обратимость являетсяединственной возможностью для появления центров.Теорема 11.32 (М. Бертье, Р. Муссю [6]). Вещественно-аналитическоеслоение с особенностями, определяемое 1-формой ω ∈ Λ1 (R2 , 0) с линейнойчастью ω = y dy + . . . , является центром тогда и только тогда, когда онообратимо, т.

е. когда существует аналитическая инволюция S ∈ Diff(R2 , 0),такая что S∗ ω = ω.ƒМожно обобщить понятие обратимости, рассматривая отображения, инвариантные относительно обобщённой складки — вещественно-аналитического собственного отображения Φ: (R2 , 0) → (R2 , 0), переводящего несколькоточек в одну. Будем говорить, что слоение инвариантно относительно отображения складки Φ, если оно является Φ-прообразом Φ −1 (G ) другого вещественно-аналитического слоения (в конечном итоге, без особенностей)G на (R2 , 0). Отображение складки, соответствующее стандартной осевойсимметрии, имеет вид (x, y) 7→ (x 2 , y).

Монодромные слоения, инвариантныеотносительно отображения складки, также являются центрами.Однако было бы неверным заключить, что обобщённая обратимость и интегрируемость по Дарбу — единственные причины, по которым вещественные слоения оказываются центрами. В статье [5], освещающей этот вопрос,приведён пример вещественно-аналитического слоения, являющегося центром, которое относительно любого нетривиального отображения не являетсяинвариантным и не допускает даже лиувиллева (многозначного) интеграла 1 .Упражнения и задачиЗадача 11.1.

Докажите, что слоение с особенностями интегрируемо тогдаи только тогда, когда его раздутие, слоение F 0 = σ∗ F на комплексном листеМёбиуса M, интегрируемо в окрестности исключительного дивизора.Упражнение 11.2. Докажите предложение 11.7, используя задачу 6.3.Упражнение 11.3. Постройте слоение с особенностями, имеющее сепаратрису S, такую что голономия вдоль S тождественна, но насыщение малойтрансверсали τ к сепаратрисе S листами слоения F не плотно ни в какойокрестности особой точки.1Функция называется лиувиллевой, если она может быть получена путём конечного числадифференциальных продолжений поля рациональный функций алгебраическими функциями,экспонентами и первообразными экспонент.

Существование лиувиллева первого интеграла тесносвязано с разрешимостью группы исчезающей голономии, см. [5] и ссылки, приведённые там.Упражнения и задачи229Задача 11.4. Докажите утверждение леммы 11.15 при ослабленном условии на характеристическое число λ 6¾ 0.Задача 11.5. Вычислите группу исчезающей голономии для слоений, описанных в примерах 11.18 и 11.20, и докажите, что эти слоения действительнонеинтегрируемы.Задача 11.6. Рассмотрим интегрируемое слоение на (C2 , 0) с первыминтегралом x 2 (x + y)3 y 4 . Вычислите голономию каждой сепаратрисы и сравните орбиты каждого отображения голономии с множествами пересеченийлистов с малыми трансверсалями к этим сепаратрисам.Задача 11.7.

Докажите утверждение из шага 5 доказательства теоремы 11.23 (см. с. 222) путём прямого рассуждения в координатах, линеаризующих отображение f0 .Задача 11.8. Рассмотрим формально интегрируемое голоморфное слоение с особенностями. Докажите, что отображение голономии вдоль любойсепаратрисы и вся группа исчезающей голономии формально интегрируемы.Упражнение 11.9. В какой момент рассуждение из доказательства теоремы 11.23 перестаёт быть верным, если вместо большей группы G взять группуисчезающей голономии H?Упражнение 11.10.

Приведите пример непростого мероморфно интегрируемого слоения.Упражнение 11.11. Вычислите голономию каждой сепаратрисы для слоения с мероморфным интегралом u = x / y , p, q ∈ N.Упражнение 11.12. Докажите предложение 11.31.Упражнение 11.13. Постройте вещественно-аналитическое слоение сC ∞ -гладким интегралом, не имеющее ни формальных, ни аналитическихинтегралов.Указание. Используйте пример 11.18.Упражнение 11.14. Покажите, что группа исчезающей голономии является аналитическим инвариантом недикритических слоений: если два такихслоения аналитически эквивалентны, то соответствующие группы аналитически сопряжены.Задача 11.15. Верно ли обратное утверждение?Указание.

Решите следующие две задачи.Задача 11.16. Рассмотрим недикритические слоения, после раздутия которых на исключительном дивизоре появляется не более трёх гиперболическихособых точек. Докажите, что для таких слоений аналитическая сопряжённостьгрупп исчезающей голономии влечёт аналитическую эквивалентность самихслоений.Задача 11.17. Сколько гладких попарно трансверсальных голоморфныхкривых, проходящих через начало координат, могут быть одновременно голоморфно выпрямлены (переведены в прямые подходящим биголоморфизмом)?Упражнение 11.18. Докажите, что проблема интегрируемости плоскиханалитических слоений вполне разрешима.Глава 12Нули аналитических функций,зависящих от параметров,и малые предельные циклыВ этой главе обсуждаются локальные аналитические многопараметрические семейства (деформации) функций одной переменной — вещественной иликомплексной.

Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса (см., например, [122]), если у функции имеется изолированный нуль кратности µ < ∞, тов малой окрестности этого нуля у достаточно малой деформации этой функциибудет не более µ нулей, а в комплексно-аналитическом случае — ровно µ нулей.Мы определим идеал Баутина, который отвечает за количество изолированныхнулей в случае возмущения тождественно нулевой функции. Этот идеал был введён Р. Руссари [56]; в нашем изложении мы сосредоточимся на дополнительнойструктуре — фильтрации идеала Баутина — и обсудим её функториальность.Этот сюжет традиционно связывают с проблемой описания бифуркацийэллиптического центра и предельных циклов, возникающих при таких бифуркациях.

Эта проблема была впервые исследована А. Пуанкаре и Х. Хопфом,а позже — А. Андроновым и Л. Понтрягиным. В наименее вырожденном случаесоответствующую бифуркацию обычно называют бифуркацией Андронова —Хопфа. Н. Баутин сформулировал проблему в полной общности, включаяслучаи бесконечного вырождения — центры, и решил в 1939 году проблемуполностью в случае квадратичных векторных полей, см. [97]. В § 13.1 представлено современное изложение этой работы, основанное на [83].§ 12.1.

Бифуркация Пуанкаре — Андронова —Хопфа — Такенса: малые предельные циклы,рождающиеся из эллиптических точекРассмотрим вещественно-аналитическое локальное семейство векторныхполей на плоскости Fλ = F(x, y; λ), определённое в малой окрестности (R2 , 0)начала координат и аналитически зависящее от некоторого набора параметров λ = (λ1 , . .

. , λ ) ∈ (R , 0). Предположим, что это семейство являетсяэллиптическим: 0 — особая точка поля F(x, y; 0), и матрица линеаризацииполя F(x, y; 0) в этой точке имеет два ненулевых комплексно сопряжённыхсобственных значения.Из этих предположений и теоремы о неявной функции следует, что особаяточка поля F(x, y; λ) аналитически зависит от параметров. Следовательно,§ 12.1. Бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа — Такенса231матрица линеаризации поля Fλ = F(·; λ) в особой точке тоже аналитическизависит от λ. В частности, при достаточно малых значениях параметровсобственные значения матрицы линеаризации поля Fλ в особой точке комплексно сопряжены, а сама матрица сопряжена матрице вида‹α(λ) β(λ).−β(λ) α(λ)Следовательно, выполняя при каждом значении λ аффинную замену координат (x, y), семейство можно привести к виду, в котором F(0, 0; λ) ≡ 0, а линейная часть A(λ) в нуле имеет видA = α(λ)E + β(λ)I,E=x∂∂+y ,∂x∂yI= y∂∂−x ,∂x∂y(12.1)где коэффициенты α(λ) и β(λ) при радиальном (эйлеровом) векторномполе E и при векторном поле поворота I — ростки вещественно-аналитических функций.

Напомним, что собственные значения матрицы A(0) —ненулевые чисто мнимые сопряжённые числа, т. е. α(0) = 0, β(0) 6= 0.Для любого эллиптического семейства отображение монодромии (первого возвращения) P(·, λ) аналитически зависит от параметров, см. теорему 10.12. Обозначим через f (x, λ) функцию смещения f = P − id, построеннуюпо некоторой трансверсали и аналитической карте x на этой трансверсали.Мы будем часто выбирать в качестве трансверсали τ+ = { y = 0, x > 0}, а в качестве координаты x — координату x на плоскости. Из определений сразуследует, что достаточно малые предельные циклы поля Fλ пересекают трансверсаль τ+ в изолированных нулях функции f (·, λ).Количество малых предельных циклов, рождающихся при малых возмущениях из особой точки, обычно называется цикличностью этой особойточки относительно семейства F = {Fλ }.Цикличность достаточно просто найти, если поле F(·, 0) не центр. В этомслучае вещественно-аналитическая функция смещения f (·, 0) — не тождественный нуль, поэтому существует конечное натуральное число µ, такое чтоf (x, 0) = cx µ + O(x µ+1 ) для некоторого c 6= 0.В этом случае, в силу подготовительной теоремы Вейерштрасса, существуют числа " > 0 и δ > 0, такие что для всех чисел λ, |λ| < ", функцияf (·, λ) имеет не более µ корней в интервале (0, δ) и корни обязательноизолированы.

На самом деле, в аналитическом случае, с которым мы сейчасработаем, число нулей комплексификации функции смещения в точностиравно µ в комплексном диске {|x| < δ} ⊆ (C1 , 0) достаточно малого радиуса,если считать нули с учётом кратностей.Доказательство теоремы Вейерштрасса следует из стандартных соображений в духе теоремы Руше. Голоморфная функция f (x, 0) = cx µ (1 + o(1))не имеет других нулей, кроме начала координат, в достаточно малом диске{|x| ¶ δ}.

По принципу аргумента, индекс (приращение аргумента) функцииf (x, 0) вдоль границы этого диска равен 2πµ. Поскольку значения функцииf (·, λ) на окружности {|x| = δ} непрерывно зависят от параметра, индексфункции f (·, λ) вдоль этой окружности одинаков для всех достаточно малыхзначений |λ|. Применяя принцип аргумента, получаем, что число комплексных корней функции f (·, λ) в диске {|x| < δ} равно µ.232Глава 12.

Параметрические семейства аналитических функцийЭти простые соображения дают верхнюю оценку на цикличность, не зависящую от семейства, а зависящую только от поля F(·, 0). С другой стороны,это рассуждение совершенно неприменимо, если невозмущённое поле F(·, 0)интегрируемо (является центром).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее