Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. дифференцирование алгебры A[[x]], то для любогоавтоморфизма H : x 7→ y = Hx ∈ A[x] выполненоB(FHx) = B(g · Fx) = B(Fx),g=dH— обратимый ряд.dx236Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийЕсли G ∈ Aut A[[x]], то для любого автоморфизма H имеемB(H −1 GHx − x) = B(H −1 (G − id)Hx) = B((G − id)x)в силу предложения 12.5.Замечание 12.10. В координатах идеал Баутина полуформального вектор∂ного поля F = f (x, λ) — это идеал Баутина ряда f. Если∂xXXX∂и Fg = g 0 =g0 x ,g=g x , F =f x ¾0то¾1g00 = 0,∂x¾0g0 = kf1 g mod 〈g0 , .
. . , g−1 〉,k = 1, 2, . . .(12.7)Замечание 12.11. Заметим, что, поскольку оператор формального дифференцирования F должен иметь нулевой «свободный член», цепочка БаутинаB(F) всегда начинается с нулевого идеала: B0 (F) = 0.Необратимые, но не равные тождественно нулю преобразования формальной переменной могут изменить цепочку Баутина (т. е. фильтрациюна идеале Баутина), не изменяя её предела (самого идеала).Пример 12.12. Рассмотрим полуформальное векторное поле F = f (z,λ)где∂,∂zf (z, λ) = a1 (λ) z + a2 (λ) z2 + a3 (λ) z 3 + . . .Подстановка z = x 2 переводит это векторное поле в поле f 0 (x, λ)f 0 (x, λ) =∂, где∂x1 −11x f (x 2 , λ) = [a1 (λ) x + a2 (λ) x 3 + a3 (λ) x 5 + .
. .].22Цепочка Баутина B0 для преобразованного векторного поля получается«раздвигающим отображением» цепочки B:B01 = B02 = B1 ,B03 = B04 = B2 ,... ,B02−1 = B02 = B .Очевидно, что это преобразование не изменяет идеала Баутина, но меняетиндекс Баутина. При этом глубина Баутина сохраняется.Замечание 12.13. Идеал Баутина можно определить не только для семействэндоморфизмов, в которых невозмущённый эндоморфизм тождественный,но и для семейств, в которых невозмущённый эндоморфизм периодический.А именно, пусть H(x; λ) — семейство эндоморфизмов,H ◦ (x; 0) = H(x; 0) ◦ .
. . ◦ H(x; 0) .|{z} разТогда можно рассмотреть d-й (фильтрованный) периодический идеал Баутинасемейства H — идеал Баутина d-й итерационной степени H ◦ формальногоотображения H, B◦ (H) = B(H ◦ ).Основным (хотя всё ещё очень простым) результатом этого параграфаявляется сравнение идеалов Баутина (полу)формального векторного поля Fи (полу)формального потока exp tF.237§ 12.3. Начала формальной теорииПредложение 12.14. Идеалы Баутина B(F) и B(exp tF) векторного поля Fи соответствующего преобразования потока совпадают при t 6= 0.Доказательство.
Дословно перенесём определение экспоненты (3.8) наалгебру A[[x]]:exp tF = id + tF +t2 2tF + . . . + F + . . .2!k!(12.8)«Матрица» оператора F в базисе 1, x, x 2 , x 3 , . . . кольца A[[x]] — это бесконечная матрица0M = a1a2a3a4...2a12a22a33a13a2.4a1...Предложение доказывается изучением структуры степеней F , а значит,и всей суммы (12.8).Будем доказывать равенства B (exp tF) = B (F) = 〈a1 , . . . , a 〉 индукциейпо i. Из формулы для первого коэффициента видно, что F x = a1 x + O(x 2 ).ОтсюдаX t (exp tF)x = x +a1 x + O(x 2 ),¾1k!значит, первый идеал Баутина B1 (exp tF) — это идеалB1 (exp tF) = 〈exp(ta1 ) − 1〉 = 〈ta1 (1 + .
. .)〉 = 〈ta1 〉.Предположим теперь, что равенства B (exp tF) = B (F) = 〈a1 , . . . , a 〉 верныдля всех i = 1, 2, . . . , k − 1. Для проверки равенства B (exp tF) = B (F) заметим,что с точностью до идеала 〈a1 , . . . , a−1 〉[[x]] ⊆ A[[x]] дифференцирование Fсовпадает с дифференцированием[a x + O(x +1 )]∂.∂xПодставляя это в ряд для экспоненты, получаем(exp tF)x = x + ta x + O(x +1 ) +t2O(x 2−1 ) + . . .2!По индукции совпадение идеалов доказано.mod 〈a1 , .
. . , a−1 〉.Замечание 12.15. Все утверждения этой главы о совпадении идеаловБаутина становятся совершенно очевидными, если (фильтрованный) идеалБаутина заменить на соответствующее множество нулей X = X ∈ (C , 0).Это множество нулей соответствует тривиальным объектам (тождественнонулевым формальным векторным полям и тождественным формальнымотображениям на себя). Очевидно, эти объекты остаются тривиальнымипри сопряжениях.238Глава 12. Параметрические семейства аналитических функций§ 12.4. Идеал Баутина сходящегося рядаКак отмечалось в предложении 12.5, формальные замены координат,оставляющие на месте начало координат, сохраняют идеал Баутина разных«одномерных» объектов.Для сходящихся (аналитических) семейств функций сдвиг переменной xтакже сохраняет идеал Баутина.PТеорема 12.16. Предположим, что ряд ¾0 a (λ) x сходится в некоторой малой окрестности нуля (x, λ) ∈ (C1 , 0) × (C , 0).
Тогда для любого аналитического ростка t : (C , 0) → (C, 0) нефильтрованный идеал Баутинасдвинутой функции S (a), S (a)(x, λ) = a(x + t(λ), λ), не зависит от ростка t:B(S (a)) = lim B (S (a)) = lim B (a) = B(a).Другими словами, идеа묶∂a∂2 a∂ aB(a; y) = a( y, λ), ( y, λ), 2 ( y, λ), . . . , ( y, λ), .
. . ⊆ A,∂x∂x∂x(12.9)порождённый производными в переменной точке y ∈ (C1 , 0), не зависит отэтой точки, пока она остаётся в области аналитичности a.Замечание 12.17 (важное). Цепочки Баутина (фильтрации), возникающиена этом предельном идеале, не сохраняются при сдвиге. Другими словами,идеал B(a; y) нетривиально зависит от точки y, если его рассматривать какидеал с фильтрацией.Докажем теперь, что идеал Баутина сохраняется при любой аналитической замене координат.Следствие 12.18.
Идеал Баутина инвариантен относительного аналитического сопряжения, сохраняющего начало координат: для любого аналитического семейства функций f (x; λ) и любого семейства H = H(x; λ) обратимыханалитических преобразований равенство H(0, 0) = (0, 0) влечёт совпадениеидеалов Баутина f и H f = f ◦ y.Доказательство. Любое семейство H можно представить в виде композиции сдвига (x, λ) 7→ (x + t(λ), λ) и голоморфного преобразования H 0, сохраняющего начало координат: H 0 (0; λ) ≡ 0 для всех λ. Росток t(λ) голоморфен,и t(0) = 0.
Ссылка на предложение 12.5 завершает доказательство.Доказательство теоремы 12.16 основано на достаточно нетривиальномфакте замкнутости аналитических идеалов, которая, в свою очередь, следуетиз того, что оператор разложения по образующим аналитического идеалаограничен.Пусть I ⊆ O (C , 0) — идеал, порождённый ростками аналитических функций a1 (λ), . . .
, a (λ). Обозначим через D ' (C , 0) небольшой полидиск Dс центром в нуле, на который все ростки a продолжаются как голоморфныефункции. Напомним, что запись k f k = supλ ∈ | f (λ)| означает норму в пространстве голоморфных функций O (D).§ 12.4. Идеал Баутина сходящегося ряда239Теорема 12.19 (теорема деления для ростков, [32]). Для любого полидискаD 0 â D существует константа K, зависящая, вообще говоря, от D 0, такая что0для любой голоморфной функцииP f ∈ O (D ), чей росток в нуле принадлежит I,0существует разложение f = 1 h a , где функции h также голоморфны в Dи kh k0 ¶ Kk f k0 .Из этой теоремы следует, что идеалы в кольце ростков замкнуты в следующем смысле.Следствие 12.20 (замкнутость идеалов). Если последовательность функций { f }∞=1 определена в общей открытой окрестности нуля, равномерносходится на меньшем множестве и ростки этих функций в нуле принадлежат некоторому идеалу I ⊆ O (C , 0), то росток предельной функции такжепринадлежит этому идеалу.Замечание 12.21.
Формулировка теоремы 12.19 техническая из-за разницымежду ростками и представляющими их голоморфными функциями: невозможно выбрать одну норму, относительно которой все идеалы кольца ростковзамкнуты.АналогичноеPутверждение для многочленов лишено этого недостатка. Длямногочлена p = cα λα ∈ C[λ] многих переменныхобозначим через |p| суммуPмодулей всех его коэффициентов: |p| = α |cα |. Отображение p 7→ |p| — мультипликативная норма на алгебре комплексных многочленов: |p + q| ¶ |p| + |q|,|pq| = |p| · |q|.Рассмотрим любой полиномиальный идеал I = 〈a1 , . .
. , a 〉 ⊂ C[λ1 , . . . , λ ].По определениюPбазиса, любой многочлен q ∈ I из этого идеала можно представить в виде q = 1 h a с некоторыми полиномиальными коэффициентамиh1 , . . . , h ∈ C[λ]. Это представление не единственно, однако оно хорошозависит от разлагаемого многочлена в следующем точном смысле.Теорема 12.22 (теорема Хиронаки о делении полиномиальных идеалов).Для некоторого (а значит, для любого) базиса a1 , . . . , a любого полиномиального идеала I ⊆ C[λ1 , . . .
, λ ] существуют две конечные константы K1 , K2 ,зависящие, вообще говоря,элемент q ∈ IP от выбора базиса, такие что любойdegпредставим в виде q = 1 h a , где deg h ¶ deg q + K1 , |h | ¶ K2|q|.Этот результат можно доказать, тщательно изучая процедуру деленияс остатком на элементы базиса Грёбнера идеалов [14]. Доказательство, следующее этой схеме, можно найти в [82].PДоказательство теоремы 12.16. Рассмотрим рядa (λ) x , сходящий+1ся к a(x, λ) в некотором полидиске U×D ⊆ (C , 0). Рассмотрим сначала случай, когда t ∈ C — независимая переменная. Пусть a, ∈ A — коэффициентыразложения a(t + x, λ) с центром t:∞Xa, (λ)x := S (a)(x, λ) = a(t + x, λ).=0P∞Подставляя x = 0, получаем a0, (λ) = a(t, λ) = =0 a (λ) t . Для достаточномалых значений |t| этот ряд сходится и его k-я частичная сумма принадлежит240Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийидеалу B (a) ⊆ B(a).
В силу следствия 12.20, предел a0, принадлежит B(a).Докажем теперь, что a, ∈ B(a). Для этого заметим, что1 ∂1 ∂a, (λ) =a(t+x,λ)a(x,λ)= =j! ∂xj! ∂x=01 ∂j! ∂t ==∞Xa (λ) t =∞ X=0=0k+ ja+ (λ) t .jСледовательно, k-я частичная сумма этого ряда принадлежит B+ (a) ⊆ B(a)для всех k = 1, 2, . . . Применяя снова следствие 12.20, получаем включениеa, ∈ B(a), откудаB(S (a)) = 〈a0, , a1, , . . .
, a, , . . .〉 ⊆ B(a).Включение сохраняется при подстановке голоморфного ростка t = t(λ) вместоформального параметра t. Использованные в доказательстве рассужденияобратимы, поэтому рассматриваемые идеалы на самом деле совпадают. Другое очень важное следствие замкнутости идеалов — этоP возможностьгруппировать их члены. Рассмотрим сходящийся ряд a(x, λ) = a (λ)x и егофильтрованный идеал Баутина B(a) в кольце A = O (C , 0).Лемма 12.23. Если глубина Баутина идеала Баутина B(a) равна µ, торосток a можно представить в виде конечной суммыa(x, λ) =µXa (λ) x h (x, λ),(12.10)=00 ¶ k0 < k1 < .