Главная » Просмотр файлов » Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 57

Файл №1238784 Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.) 57 страницаУчебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784) страница 572020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

е. дифференцирование алгебры A[[x]], то для любогоавтоморфизма H : x 7→ y = Hx ∈ A[x] выполненоB(FHx) = B(g · Fx) = B(Fx),g=dH— обратимый ряд.dx236Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийЕсли G ∈ Aut A[[x]], то для любого автоморфизма H имеемB(H −1 GHx − x) = B(H −1 (G − id)Hx) = B((G − id)x)ƒв силу предложения 12.5.Замечание 12.10. В координатах идеал Баутина полуформального вектор∂ного поля F = f (x, λ) — это идеал Баутина ряда f. Если∂xXXX∂и Fg = g 0 =g0 x ,g=g x , F =f x ¾0то¾1g00 = 0,∂x¾0g0 = kf1 g mod 〈g0 , .

. . , g−1 〉,k = 1, 2, . . .(12.7)Замечание 12.11. Заметим, что, поскольку оператор формального дифференцирования F должен иметь нулевой «свободный член», цепочка БаутинаB(F) всегда начинается с нулевого идеала: B0 (F) = 0.Необратимые, но не равные тождественно нулю преобразования формальной переменной могут изменить цепочку Баутина (т. е. фильтрациюна идеале Баутина), не изменяя её предела (самого идеала).Пример 12.12. Рассмотрим полуформальное векторное поле F = f (z,λ)где∂,∂zf (z, λ) = a1 (λ) z + a2 (λ) z2 + a3 (λ) z 3 + . . .Подстановка z = x 2 переводит это векторное поле в поле f 0 (x, λ)f 0 (x, λ) =∂, где∂x1 −11x f (x 2 , λ) = [a1 (λ) x + a2 (λ) x 3 + a3 (λ) x 5 + .

. .].22Цепочка Баутина B0 для преобразованного векторного поля получается«раздвигающим отображением» цепочки B:B01 = B02 = B1 ,B03 = B04 = B2 ,... ,B02−1 = B02 = B .Очевидно, что это преобразование не изменяет идеала Баутина, но меняетиндекс Баутина. При этом глубина Баутина сохраняется.Замечание 12.13. Идеал Баутина можно определить не только для семействэндоморфизмов, в которых невозмущённый эндоморфизм тождественный,но и для семейств, в которых невозмущённый эндоморфизм периодический.А именно, пусть H(x; λ) — семейство эндоморфизмов,H ◦ (x; 0) = H(x; 0) ◦ .

. . ◦ H(x; 0) .|{z} разТогда можно рассмотреть d-й (фильтрованный) периодический идеал Баутинасемейства H — идеал Баутина d-й итерационной степени H ◦ формальногоотображения H, B◦ (H) = B(H ◦ ).Основным (хотя всё ещё очень простым) результатом этого параграфаявляется сравнение идеалов Баутина (полу)формального векторного поля Fи (полу)формального потока exp tF.237§ 12.3. Начала формальной теорииПредложение 12.14. Идеалы Баутина B(F) и B(exp tF) векторного поля Fи соответствующего преобразования потока совпадают при t 6= 0.Доказательство.

Дословно перенесём определение экспоненты (3.8) наалгебру A[[x]]:exp tF = id + tF +t2 2tF + . . . + F + . . .2!k!(12.8)«Матрица» оператора F в базисе 1, x, x 2 , x 3 , . . . кольца A[[x]] — это бесконечная матрица0M = a1a2a3a4...2a12a22a33a13a2.4a1...Предложение доказывается изучением структуры степеней F , а значит,и всей суммы (12.8).Будем доказывать равенства B (exp tF) = B (F) = 〈a1 , . . . , a 〉 индукциейпо i. Из формулы для первого коэффициента видно, что F x = a1 x + O(x 2 ).ОтсюдаX t (exp tF)x = x +a1 x + O(x 2 ),¾1k!значит, первый идеал Баутина B1 (exp tF) — это идеалB1 (exp tF) = 〈exp(ta1 ) − 1〉 = 〈ta1 (1 + .

. .)〉 = 〈ta1 〉.Предположим теперь, что равенства B (exp tF) = B (F) = 〈a1 , . . . , a 〉 верныдля всех i = 1, 2, . . . , k − 1. Для проверки равенства B (exp tF) = B (F) заметим,что с точностью до идеала 〈a1 , . . . , a−1 〉[[x]] ⊆ A[[x]] дифференцирование Fсовпадает с дифференцированием[a x + O(x +1 )]∂.∂xПодставляя это в ряд для экспоненты, получаем(exp tF)x = x + ta x + O(x +1 ) +t2O(x 2−1 ) + . . .2!По индукции совпадение идеалов доказано.mod 〈a1 , .

. . , a−1 〉.ƒЗамечание 12.15. Все утверждения этой главы о совпадении идеаловБаутина становятся совершенно очевидными, если (фильтрованный) идеалБаутина заменить на соответствующее множество нулей X = X ∈ (C , 0).Это множество нулей соответствует тривиальным объектам (тождественнонулевым формальным векторным полям и тождественным формальнымотображениям на себя). Очевидно, эти объекты остаются тривиальнымипри сопряжениях.238Глава 12. Параметрические семейства аналитических функций§ 12.4. Идеал Баутина сходящегося рядаКак отмечалось в предложении 12.5, формальные замены координат,оставляющие на месте начало координат, сохраняют идеал Баутина разных«одномерных» объектов.Для сходящихся (аналитических) семейств функций сдвиг переменной xтакже сохраняет идеал Баутина.PТеорема 12.16. Предположим, что ряд ¾0 a (λ) x сходится в некоторой малой окрестности нуля (x, λ) ∈ (C1 , 0) × (C , 0).

Тогда для любого аналитического ростка t : (C , 0) → (C, 0) нефильтрованный идеал Баутинасдвинутой функции S (a), S (a)(x, λ) = a(x + t(λ), λ), не зависит от ростка t:B(S (a)) = lim B (S (a)) = lim B (a) = B(a).Другими словами, идеа묶∂a∂2 a∂ aB(a; y) = a( y, λ), ( y, λ), 2 ( y, λ), . . . , ( y, λ), .

. . ⊆ A,∂x∂x∂x(12.9)порождённый производными в переменной точке y ∈ (C1 , 0), не зависит отэтой точки, пока она остаётся в области аналитичности a.Замечание 12.17 (важное). Цепочки Баутина (фильтрации), возникающиена этом предельном идеале, не сохраняются при сдвиге. Другими словами,идеал B(a; y) нетривиально зависит от точки y, если его рассматривать какидеал с фильтрацией.Докажем теперь, что идеал Баутина сохраняется при любой аналитической замене координат.Следствие 12.18.

Идеал Баутина инвариантен относительного аналитического сопряжения, сохраняющего начало координат: для любого аналитического семейства функций f (x; λ) и любого семейства H = H(x; λ) обратимыханалитических преобразований равенство H(0, 0) = (0, 0) влечёт совпадениеидеалов Баутина f и H f = f ◦ y.Доказательство. Любое семейство H можно представить в виде композиции сдвига (x, λ) 7→ (x + t(λ), λ) и голоморфного преобразования H 0, сохраняющего начало координат: H 0 (0; λ) ≡ 0 для всех λ. Росток t(λ) голоморфен,и t(0) = 0.

Ссылка на предложение 12.5 завершает доказательство.ƒДоказательство теоремы 12.16 основано на достаточно нетривиальномфакте замкнутости аналитических идеалов, которая, в свою очередь, следуетиз того, что оператор разложения по образующим аналитического идеалаограничен.Пусть I ⊆ O (C , 0) — идеал, порождённый ростками аналитических функций a1 (λ), . . .

, a (λ). Обозначим через D ' (C , 0) небольшой полидиск Dс центром в нуле, на который все ростки a продолжаются как голоморфныефункции. Напомним, что запись k f k = supλ ∈ | f (λ)| означает норму в пространстве голоморфных функций O (D).§ 12.4. Идеал Баутина сходящегося ряда239Теорема 12.19 (теорема деления для ростков, [32]). Для любого полидискаD 0 â D существует константа K, зависящая, вообще говоря, от D 0, такая что0для любой голоморфной функцииP f ∈ O (D ), чей росток в нуле принадлежит I,0существует разложение f = 1 h a , где функции h также голоморфны в Dи kh k0 ¶ Kk f k0 .Из этой теоремы следует, что идеалы в кольце ростков замкнуты в следующем смысле.Следствие 12.20 (замкнутость идеалов). Если последовательность функций { f }∞=1 определена в общей открытой окрестности нуля, равномерносходится на меньшем множестве и ростки этих функций в нуле принадлежат некоторому идеалу I ⊆ O (C , 0), то росток предельной функции такжепринадлежит этому идеалу.ƒЗамечание 12.21.

Формулировка теоремы 12.19 техническая из-за разницымежду ростками и представляющими их голоморфными функциями: невозможно выбрать одну норму, относительно которой все идеалы кольца ростковзамкнуты.АналогичноеPутверждение для многочленов лишено этого недостатка. Длямногочлена p = cα λα ∈ C[λ] многих переменныхобозначим через |p| суммуPмодулей всех его коэффициентов: |p| = α |cα |. Отображение p 7→ |p| — мультипликативная норма на алгебре комплексных многочленов: |p + q| ¶ |p| + |q|,|pq| = |p| · |q|.Рассмотрим любой полиномиальный идеал I = 〈a1 , . .

. , a 〉 ⊂ C[λ1 , . . . , λ ].По определениюPбазиса, любой многочлен q ∈ I из этого идеала можно представить в виде q = 1 h a с некоторыми полиномиальными коэффициентамиh1 , . . . , h ∈ C[λ]. Это представление не единственно, однако оно хорошозависит от разлагаемого многочлена в следующем точном смысле.Теорема 12.22 (теорема Хиронаки о делении полиномиальных идеалов).Для некоторого (а значит, для любого) базиса a1 , . . . , a любого полиномиального идеала I ⊆ C[λ1 , . . .

, λ ] существуют две конечные константы K1 , K2 ,зависящие, вообще говоря,элемент q ∈ IP от выбора базиса, такие что любойdegпредставим в виде q = 1 h a , где deg h ¶ deg q + K1 , |h | ¶ K2|q|.Этот результат можно доказать, тщательно изучая процедуру деленияс остатком на элементы базиса Грёбнера идеалов [14]. Доказательство, следующее этой схеме, можно найти в [82].PДоказательство теоремы 12.16. Рассмотрим рядa (λ) x , сходящий+1ся к a(x, λ) в некотором полидиске U×D ⊆ (C , 0). Рассмотрим сначала случай, когда t ∈ C — независимая переменная. Пусть a, ∈ A — коэффициентыразложения a(t + x, λ) с центром t:∞Xa, (λ)x := S (a)(x, λ) = a(t + x, λ).=0P∞Подставляя x = 0, получаем a0, (λ) = a(t, λ) = =0 a (λ) t . Для достаточномалых значений |t| этот ряд сходится и его k-я частичная сумма принадлежит240Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийидеалу B (a) ⊆ B(a).

В силу следствия 12.20, предел a0, принадлежит B(a).Докажем теперь, что a, ∈ B(a). Для этого заметим, что1 ∂1 ∂a, (λ) =a(t+x,λ)a(x,λ)= =j! ∂xj! ∂x=01 ∂j! ∂t ==∞Xa (λ) t =∞ €X=0=0k+ ja+ (λ) t .jŠСледовательно, k-я частичная сумма этого ряда принадлежит B+ (a) ⊆ B(a)для всех k = 1, 2, . . . Применяя снова следствие 12.20, получаем включениеa, ∈ B(a), откудаB(S (a)) = 〈a0, , a1, , . . .

, a, , . . .〉 ⊆ B(a).Включение сохраняется при подстановке голоморфного ростка t = t(λ) вместоформального параметра t. Использованные в доказательстве рассужденияобратимы, поэтому рассматриваемые идеалы на самом деле совпадают. ƒДругое очень важное следствие замкнутости идеалов — этоP возможностьгруппировать их члены. Рассмотрим сходящийся ряд a(x, λ) = a (λ)x и егофильтрованный идеал Баутина B(a) в кольце A = O (C , 0).Лемма 12.23. Если глубина Баутина идеала Баутина B(a) равна µ, торосток a можно представить в виде конечной суммыa(x, λ) =µXa (λ) x h (x, λ),(12.10)=00 ¶ k0 < k1 < .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее