Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Действительно, иначе пересечение листа с трансверсалью должно иметь предельную точку. В силу замкнутости листа, этаточка тоже должна принадлежать листу. Используя голономию вдоль путей,соединяющих эту точку с другими точками пересечения, несложно показать,что пересечение листа с трансверсалью — совершенное множество (т. е. совпадает с множеством своих предельных точек), а значит, несчётно. Но это невозможно, значит, пересечение листа с трансверсалью должно быть конечным.Доказательство. Доказательство теоремы 11.23 проводится индукциейпо числу раздутий, необходимых для полного устранения особенностей.Шаг 1.
База индукции. Для каждого типа элементарных особенностейпроверим, что точки этого типа либо не являются простыми, либо имеютпримитивный интеграл.§ 11.6. Простые слоения на (C2 , 0)221Случай 1. Неседловые элементарные особые точки. По лемме 11.13, такиеточки не являются простыми.Случай 2. Седловые элементарные особые точки с периодическим отображением голономии. В этом случае отображение голономии интегрируемо,и по следствию 11.16 его интеграл продолжается до интеграла слоения.
Еслиполученный интеграл не примитивен, то корень подходящей степени изэтого интеграла (в координатах, линеаризующих отображение голономии)примитивен.Случай 3. Седловые элементарные особые точки с непериодическим отображением голономии. По лемме 6.33, для несчётного множества точек трансверсали орбиты этих точек относительно отображения голономии бесконечны. В силу замечания 11.24, эти слои не могут быть замкнуты, а значит,слоение не является топологически простым.База индукции доказана.Шаг 2. Шаг индукции: первые наблюдения и план доказательства.
Длядоказательства шага индукции рассмотрим простое слоение F. Его стандартное раздутие π: F 0 → F должно быть недикритическим, значит, слоение F 0имеет конечное число изолированных особенностей {a1 , . . . , a } = Σ на исключительном дивизоре E ⊂ M, и для полного разрешения каждой из нихтребуется меньше шагов, чем для полного разрешения исходной особенности.Заметим также, что эти особенности топологически просты. Действительно, пусть L ⊂ (C2 , 0)\{0} — замкнутый в (C2 , 0) слой слоения F, L0 = π−1 (L) ⊂⊂ (M, E) — его поднятие.
Поскольку 0 ∈/ L, имеем a ∈/ L0. Далее, лист L замкнут,0значит, лист L тоже замкнут. Следовательно, пересечение листа L0 с любойтрансверсалью конечно, поэтому каждая компонента связности пересеченияL0 ∩ (M, a ) замкнута.Итак, в окрестности каждой точки a существует примитивный первыйинтеграл u . Для того чтобы построить глобальный первый интеграл u, мыявно построим конечно порождённую подгруппу G = GF ⊂ Diff(C, 0) конформных ростков, такую что орбиты этой подгруппы (а точнее, псевдогруппы,полученной выбором областей определения её образующих) будут совпадатьс пересечениями листов раздутия F 0 и трансверсали: G(b) = {L ∩ τ} для всехдостаточно малых точек b ∈ (τ, a), где L ∈ F 0 — лист слоения F 0. Заметим, чтогруппа G должна содержать группу исчезающей голономии, хотя последняяможет быть слишком мала для наших целей (задача 11.6).Так как слоение F простое, орбиты группы GF должны быть конечными,значит, по теореме 6.34, сама группа G должна быть интегрируема.
Мыпостроим интеграл u слоения F 0 вдали от множества особых точек Σ какпродолжение примитивного интеграла u∗ группы G, затем мы покажем,что этот примитивный интеграл после продолжается в окрестности каждойособой точки a как подходящая функция ϕ ◦ u .Перейдём к детальному описанию конструкции.Шаг 3. Построение группы G. Без потери общности, используя голономиювдоль путей γ , соединяющих особые точки a с фиксированной точкой a ∈ S\Σ,мы можем считать, что все локальные интегралы определены на одной и тойже трансверсали τ: (C, 0) → (M, a), проходящей через точку a.222Глава 11. Голономия и первые интегралыПо предположению индукции, все интегралы u примитивные, поэтомукаждое множество {z ∈ (C, 0): u (τ(z)) = "} содержится в пересечении τс одним листом слоения. Пусть p = ord u — порядки функций u ; тогда длядостаточно малых " 6= 0 множество уровня {z ∈ (C, 0): u (τ(z)) = "} состоитиз p ¾ 1 точек.Пусть f ∈ Diff(C, 0) — голоморфное отображение, порождающее полнуюгруппу симметрий ростка u (см.
замечание 6.27), i = 1, . . . , m. По построению,f отображает каждое множество уровня u на себя, поэтому каждая орбита fсодержится в одном листе.Рассмотрим группу G ⊂Diff(C, 0), порождённую ростками f1 , . . . , f и группой исчезающей голономии.
Очевидно, каждая её орбита тоже содержитсяв каком-то одном листе слоения F 0. Более того, для достаточно малых z ∈(C, 0)орбита точки z совпадает с множеством τ−1 (Lτ() ) точек пересечения трансверсали τ с листом, проходящим через τ(z). Действительно, пусть точки τ(z)и τ(w) лежат на одном листе, пусть γ: [0, 1] → Lτ() — путь, соединяющийэти точки.
Этот путь можно разбить на участки, лежащие в окрестностиодной из особых точек a , и участки, лежащие вдалеке от всех этих точек.Участкам первого типа соответствует преобразование трансверсали вида f ,а участкам второго типа — элементы группы исчезающей голономии.Напомним, что все листы слоения F 0, кроме, может быть, счётного множества, замкнуты, а значит, пересекают трансверсаль τ по конечному множествуточек (см. выше). Следовательно, все орбиты группы G, за исключением неболее чем счётного множества, конечны. По теореме 6.34, из этого следуетинтегрируемость группы G.Шаг 4. Построение примитивного интеграла.
В силу следствия 6.26 о структуре интегрируемой группы, группа G — циклическая. Пусть f∗ ∈ Diff(C, 0) —образующая группы G. Пусть u∗ ∈ O (C, 0) — соответствующий минимальныйf∗ -инвариантный интеграл группы G. Определим функцию u следующимобразом: u(p) равно u∗ (τ−1 (L )), т. е. значению u∗ в точках пересечениялиста L с выбранной трансверсалью τ. Это определение корректно, поскольку все эти точки принадлежат одной орбите группы G, а значит, значениефункции u∗ во всех этих точках совпадает. Более того, поскольку значенияфункции u∗ на разных листах слоения различны, построенный интегралявляется примитивным.Шаг 5. Доказательство голоморфности. Докажем голоморфность функции u.
Голоморфность этой функции вне окрестностей особых точек a следуетиз стандартной конструкции насыщения. Для доказательства голоморфностифункции u в окрестности точки a докажем, что u = ϕ ◦ u .Фиксируем i и рассмотрим факторпространство Q = (C, 0)/ f малойокрестности начала координат по действию периодического ростка f (см. также задачу 11.7).
Это пространство является ростком неособой аналитическойкривой. По построению функций f , естественные координаты на Q вводятсяс помощью функций u . Отображение f∗ опускается на факторпространствокак q -периодическое отображение на себя, и его интеграл u∗ опускается на Qкак интеграл этого периодического отображения. В подходящих голоморфныхкоординатах w = w(u ) такой интеграл будет мономом степени q относи-§ 11.7.
Обзор дальнейших результатов223тельно переменной w, u∗ = w , т. е. функцией ϕ порядка q в естественныхкоординатах u .Итак, u — голоморфный примитивный интеграл слоения F 0. Очевидно,он опускается на C2 , и получается голоморфный примитивный интегралслоения F. Теорема 11.23 доказана.§ 11.7. Обзор дальнейших результатовВ этом параграфе мы кратко перечислим некоторые результаты, связанные с интегрируемостью и свойствами группы голономии.11.7.1. Примитивные и непримитивные интегралыДоказательство теоремы 11.23 автоматически даёт примитивный первыйинтеграл для любого простого слоения. Любое интегрируемое слоение автоматически является простым, поэтому из существования какого-нибудьаналитического интеграла следует существование примитивного интеграла [45].
И всё же полезно уметь строить этот интеграл напрямую.Теорема 11.25. Любое интегрируемое слоение допускает примитивныйинтеграл.Набросок прямого доказательства. Фиксируем какой-нибудь первый интегралu : (C2 , 0) → (C, 0). Наша цель — построить примитивный первый интеграл w.Выберем достаточно малый шар B ⊆ (C2 , 0) с центром в нуле, граница котороготрансверсальна линии уровня {u = 0}.
Пусть D — настолько маленький диск в образе,что u = 0 — единственное критическое значение отображения u в этом диске. ПустьD ∗ = D\{0}, M = u−1 (D ∗ ) ∩ B. Тогда отображение u : M → D ∗ — собственное и его образесть D\{0}.Поскольку отображение u : M → D ∗ невырожденно, оно является топологическимрасслоением: прообразы точек X = u−1 (z) ⊂ M непрерывно зависят от 0 6= z ∈ D.Рассмотрим отображение φ : M → M/∼, склеивающее каждую связную компоненту каждого слоя X в точку. Поскольку линии уровня φ(x) = const содержатся в линияхуровня u = const, отображение u пропускается через φ, u = π ◦ φ.
Несложно проверить,что π: M/∼ → D ∗ — топологическое накрытие над проколотым диском D ∗ . Так какпространство M связно, его фактор M/∼ тоже связен. Следовательно, отображениемонодромии этого накрытия — цикл длины p, накрывающее пространство гомеоморфно проколотому диску, а само накрытие в подходящих координатах являетсявозведением в степень p.Следовательно, на M/∼, а значит, и на M существует однозначная ветвь корня p-йстепени из u: существует непрерывная функция w : M → C, такая что w = u. Такаяфункция автоматически будет голоморфна и ограничена в M = B\u−1 (0), поэтому онааналитически продолжается на всё пространство M. Очевидно, построенная функция является примитивным первым интегралом.
Доказательство теоремы 11.25 завершено. 11.7.2. Формальная и аналитическая интегрируемостьСуществование первого интеграла возможно установить, используя разрешение особенностей, если известно, что получаемые сёдла интегрируемы.Кроме того, можно посмотреть на формальный интеграл как на формальноерешение u = u2 + u3 + . . . треугольной системы линейных уравнений (11.1)224Глава 11. Голономия и первые интегралы(это решение может начинаться с нескольких нулевых членов, но в конечномсчёте должно быть нетривиальным).Однако формальный ряд u ∈ C[[x, y]], получаемый таким образом, можетне быть сходящимся, более того, вместе со сходящимися решениями, еслитаковые существуют, будут и расходящиеся решения вида g(u(x, y)), где g —расходящийся ряд одной переменной.Однако из существования по крайней мере одного ненулевого формального решения этого уравнения следует существование голоморфных первыхинтегралов.
Для эллиптических особых точек этот факт был доказан в предложении 11.7. Общий результат, доказанный Ж.-Ф. Маттеи и Р. Муссю [45],справедлив для всех изолированных особенностей.Теорема 11.26. Предположим, что голоморфное слоение F ={ω=0} в (C2 ,0)имеет формальный первый интеграл u ∈ C[[x, y]]. Тогда у этого слоения существует голоморфный первый интеграл 0 6= v ∈ O (C2 , 0).Набросок доказательства. Мы докажем, что формально интегрируемые слоения всегда простые. Проведём индукцию по количеству шагов, необходимых дляполного разрешения особенностей.База индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
