Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В этом случае оценка обязательно зависитот семейства. Например, при возмущении центра в семействе всех аналитических векторных полей на плоскости может получиться сколь угодно многопредельных циклов. В этой главе мы опишем алгебраическую процедуру,позволяющую получить верхнюю оценку на цикличность эллиптическогосемейства вещественно-аналитических векторных полей.§ 12.2. Идеал Баутина и производящие функцииВ первых шагах приведённой ниже конструкции используется понятиеполуформального ряда, см. определение 4.17.
Для полноты изложения мысформулируем здесь нужный нам вариант этого определения.Пусть A — нётерово кольцо. Наиболее важны следующие частные случаи:1) кольца ростков комплексно- и вещественно-аналитических функций (этикольца обозначаются O (C , 0) и O (R , 0) соответственно);2) кольцо O (U) аналитических функций в области U ⊆ R или U ⊆ C ;3) кольца многочленов от m переменных λ1 , . . . , λ с комплексными или вещественными коэффициентами (эти кольца обозначаются C[λ1 , . . . , λ ]и R[λ1 , . . . , λ ] соответственно).Однако иногда нам нужно будет работать с более сложными кольцами.
Например, при исследовании квадратичных векторных полей в § 13.1 нам надобудет работать с кольцомA = O (R1 , 0) ⊗ R[λ1 , . . . , λ5 ] ⊂ O (R6 , 0)аналитических ростков, полиномиально зависящих от всех переменных,кроме, быть может, первой.В этой главе мы будем считать, что функции (или ростки функций) кольца A зависят от переменных λ1 , . . . , λ . Эти переменные мы будем называтьпараметрами, а область их изменения — пространством параметров.По любому кольцу A и набору формальных переменных x, y, .
. . можнопостроить кольцо A[[x, y, . . .]] формальных рядов от переменных x, y, . . .с коэффициентами в кольце A. Если кольцо A — алгебра, то на кольцеA[[x, y, . . .]] естественным образом возникает структура алгебры.Кольцо A[[x, y, . . .]], построенное по одному из приведённых выше колецфункций или ростков, называется кольцом полуформальных рядов.Каждой последовательности функцийa0 (λ), a1 (λ), . .
. , a (λ), . . . ,a ∈ A,(12.2)можно поставить в соответствие возрастающую цепочку идеаловB0 ⊆ B1 ⊆ . . . ⊆ B ⊆ . . . ⊆ (1) = A,B = 〈a0 , a1 , . . . , a 〉.(12.3)Поскольку кольцо A нётерово, цепочка (12.3) стабилизируется в некоторыймомент k = ν, т. е. Bν−1 6= Bν = Bν+1 = .
. .§ 12.2. Идеал Баутина и производящие функции233Кроме того, последовательности (12.2) можно поставить в соответствиепроизводящую функцию — полуформальный ряд от одной переменнойXa(x, λ) =a (λ) x ∈ A[[x]].(12.4)¾0Наоборот, каждому формальному или сходящемуся ряду a(x, λ) вида (12.4)можно поставить в соответствие последовательность его коэффициентов(12.2), возрастающую цепочку идеалов (12.3), обозначаемых B (a), и предельный идеалB(a) = lim B (a) = Bν (a).(12.5)→∞Определение 12.1. Идеал B(a) называется идеалом Баутина полуформального ряда a(x, λ). Цепочку идеалов (12.3) мы будем называть цепочкойБаутина и обозначать B(a).
Момент стабилизации ν называется индексомБаутина.Подчеркнём, что нумерация идеалов в цепочке Баутина начинаетсяс идеала B0 , который, однако, может быть нулевым идеалом. В приложениях к вещественно-аналитическим задачам вместо индекса Баутина нампотребуется глубина Баутина, которая на единицу меньше числа ненулевыхразличных идеалов в цепочке (12.3).Определение 12.2. Глубиной Баутина цепочки (12.3) называется количество пар соседних идеалов этой цепочки, для которых включение строгоеи нетривиальное:µ = #{k ∈ N: 0 6= B−1 6= B } ¾ 0.Очевидно, µ ¶ ν, причём равенство возможно, только если 0 6= B0 ( . . .
(( Bν = Bν+1 = . . .Для двух цепочек Баутина B = {B } и B0 = {B0 }, состоящих из идеаловодного и того же кольца A[[x]], мы будем писать B = B0, если соответствующиеидеалы этих цепочек совпадают, и B ⊆ B0, если B ⊆ B0 для всех k = 0, 1, 2, . . .Замечание 12.3 (терминологическое). Термин «идеал Баутина» достаточностандартен и широко распространён [55, 82], в то время как словосочетание«цепочка Баутина» — нет.
В алгебраических терминах цепочка Баутина B(a)определяет фильтрацию на идеале Баутина B(a). Чтобы не отклоняться от общепринятой терминологии, мы обычно будем говорить об идеале Баутина,всегда держа в голове тот факт, что на этих идеалах фиксирована фильтрация.Мы будем обозначать идеал Баутина с фильтрацией символом B(a), а безфильтрации — B(a).Напротив, термин «глубина Баутина», насколько нам известно, новый.Мы решили ввести этот термин, потому что он тесно связан с так называемойтеорией малочленов, придуманной А.
Г. Хованским [120]. Полезность этоготермина будет ясна из примера 12.12 и теоремы 12.27.Напомним, что радикалом идеала B ⊆ A называется идеалpB = { f ∈ A : f ∈ B для некоторого k ∈ N}.ppОчевидно, B ⊆ B. Идеал называется радикальным, если B = B.(12.6)234Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийПоскольку поле C алгебраически замкнуто,p для любого полиномиальногоидеала B ⊆ A = C[λ1 , . . . , λ ] его радикал B состоит из всех многочленов,обращающихся в нуль на множестве общих комплексных нулейX = {λ ∈ C : f (λ) = 0 ∀ f ∈ B}идеала B ⊆ A. Это утверждение известно как теорема Гильберта о нулях.В силу этой теоремы, радикальные полиномиальные идеалы над C находятсяво взаимно однозначном соответствии со своими множествами нулей: любой радикальный полиномиальный идеал есть наибольший идеал с данныммножеством нулей.Множество нулей X (вещественных или комплексных) идеала Баутина Bсоответствует множеству наборов значений параметров, для которых рядa(·, λ) обращается в тождественный нуль.Идеал Баутина (и, более общо, цепочка Баутина) описывает параметрические деформации функций и рядов, в которых начальным значениям параметров соответствует тождественно нулевая функция или ряд.
С помощьюидеалов Баутина можно описывать деформации «максимально вырожденных»объектов других типов, если этим объектам удаётся сопоставить ряд от однойформальной переменной. В частности, можно описывать деформации1) семейств формальных отображений комплексной прямой на себя. Этиотображения определяются (см. с. 51) как автоморфизмы Aut A[[x]], сохраняющие кольцо A (нам понадобится только случай одной формальнойпеременной x и кольца многочленов: A = C[λ]);2) семейств формальных одномерных или двумерных векторных полей. Этиполя определяются (см.
с. 50) как дифференцирования кольца A[[x]] (соответственно кольца A[[x, y]]); в качестве поля констант берётся полечастных кольца A. В наиболее важном случае, когда A — кольцо многочленов, поле частных совпадает с полем рациональных функций C(λ).Иногда мы будем использовать обозначение C[[x]] ⊗ A для алгебры полуформальных рядов (тензорное произведение рассматривается над полем R илиC в зависимости от типа кольца A). Похожие тензорные обозначения можноввести и для других типов полуформальных объектов: символ Diff[[C1 , 0]] ⊗ Aозначает множество полуформальных отображений (C1 , 0) на себя, символD[[R2 , 0]] ⊗ A — множество формальных векторных полей, и т.
д.§ 12.3. Начала формальной теорииОтметим сначала несколько почти очевидных свойств идеалов Баутинадля объектов, «зависящих от одной переменной». Эти свойства отражают простые комбинаторные свойства коэффициентов произведения и композицииформальных рядов от одной переменной.PДля начала заметим, что полуформальный ряд f = a x ∈ A[[x]] обратимв кольце A[[x]] тогда и только тогда, когда коэффициент a0 ∈ A обратимв кольце A; в частности, для кольца многочленов обратимость ряда f равносильна тому, что a0 — ненулевая константа. Аналогично, полуформальное§ 12.3.
Начала формальной теории235отображение H : x 7→ y =c x ростка (C1 , 0) в себя имеет смысл, еслии только если c0 ≡ 0, и обратимо (т. е. H −1 ∈ Aut A[[x]]) тогда и только тогда,когда коэффициент c1 обратим в кольце A.PПредложение 12.4. Если f, g ∈ A[[x]], то B( fg) ⊆ B( f ). Если ряд g обратим в A[[x]], то B( fg) = B( f ).Доказательство. Пусть f , g ∈ A — коэффициенты Тейлора рядов f и gсоответственно; пусть f0 — коэффициенты их произведения fg. Тогда, очевидно,f0 = g0 f mod 〈 f0 , f1 , .
. . , f−1 〉,откуда B ( fg) ⊆ B ( f ) для всех k = 0, 1, . . . Таким образом, первое утверждениедоказано; второе утверждение очевидно следует из критерия обратимостив кольце A[[x]].На самом деле идеал Баутина не зависит от выбора координаты x, или,в алгебраических терминах, от выбора образующей кольца A[[x]].Предложение 12.5. Идеал Баутина инвариантен относительно формального сопряжения: для любогоP ∞ ряда f ∈ A[[x]] и любого полуформальногоавтоморфизма H : x 7→ y = 1 c x кольца A[[x]] идеалы Баутина рядов fи H f = f ◦ y совпадают.Доказательство. Пусть f и f0 — коэффициенты Тейлорарядов f и f 0 = f ◦ yP0соответственно. Перераскрывая скобки в ряде f =f y , получаемf0 = c1 f mod 〈 f0 , f1 , .
. . , f−1 〉.Морфизм H обратим в Aut A[[x]], если и только если коэффициент c1 обратимв кольце A. Это немедленно влечёт B ( f 0 ) = B ( f ).Замечание 12.6. Полуформальное семейство векторных полей F ∈ A ⊗⊗ D[[C1 , 0]] на прямой, имеющих особенность в нуле, сохраняет максимальный идеал m = A ⊗ 〈x〉: F m ⊆ m.Определение 12.7. Идеал Баутина полуформального векторного поляF ∈ Der A[[x]] — это идеал Баутина полуформального ряда Fx.Определение 12.8.
Идеал Баутина эндоморфизма H — это идеал Баутинаразности H − id, т. е. идеал Баутина ряда Hx − x.Эти определения на самом деле не зависят от выбора образующей.Предложение 12.9. (Полу)формально эквивалентные векторные поляили отображения в себя имеют одинаковые идеалы Баутина.Доказательство. В силу предложения 12.4, если F — полуформальноевекторное поле, т.