Главная » Просмотр файлов » Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 56

Файл №1238784 Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.) 56 страницаУчебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784) страница 562020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

В этом случае оценка обязательно зависитот семейства. Например, при возмущении центра в семействе всех аналитических векторных полей на плоскости может получиться сколь угодно многопредельных циклов. В этой главе мы опишем алгебраическую процедуру,позволяющую получить верхнюю оценку на цикличность эллиптическогосемейства вещественно-аналитических векторных полей.§ 12.2. Идеал Баутина и производящие функцииВ первых шагах приведённой ниже конструкции используется понятиеполуформального ряда, см. определение 4.17.

Для полноты изложения мысформулируем здесь нужный нам вариант этого определения.Пусть A — нётерово кольцо. Наиболее важны следующие частные случаи:1) кольца ростков комплексно- и вещественно-аналитических функций (этикольца обозначаются O (C , 0) и O (R , 0) соответственно);2) кольцо O (U) аналитических функций в области U ⊆ R или U ⊆ C ;3) кольца многочленов от m переменных λ1 , . . . , λ с комплексными или вещественными коэффициентами (эти кольца обозначаются C[λ1 , . . . , λ ]и R[λ1 , . . . , λ ] соответственно).Однако иногда нам нужно будет работать с более сложными кольцами.

Например, при исследовании квадратичных векторных полей в § 13.1 нам надобудет работать с кольцомA = O (R1 , 0) ⊗ R[λ1 , . . . , λ5 ] ⊂ O (R6 , 0)аналитических ростков, полиномиально зависящих от всех переменных,кроме, быть может, первой.В этой главе мы будем считать, что функции (или ростки функций) кольца A зависят от переменных λ1 , . . . , λ . Эти переменные мы будем называтьпараметрами, а область их изменения — пространством параметров.По любому кольцу A и набору формальных переменных x, y, .

. . можнопостроить кольцо A[[x, y, . . .]] формальных рядов от переменных x, y, . . .с коэффициентами в кольце A. Если кольцо A — алгебра, то на кольцеA[[x, y, . . .]] естественным образом возникает структура алгебры.Кольцо A[[x, y, . . .]], построенное по одному из приведённых выше колецфункций или ростков, называется кольцом полуформальных рядов.Каждой последовательности функцийa0 (λ), a1 (λ), . .

. , a (λ), . . . ,a ∈ A,(12.2)можно поставить в соответствие возрастающую цепочку идеаловB0 ⊆ B1 ⊆ . . . ⊆ B ⊆ . . . ⊆ (1) = A,B = 〈a0 , a1 , . . . , a 〉.(12.3)Поскольку кольцо A нётерово, цепочка (12.3) стабилизируется в некоторыймомент k = ν, т. е. Bν−1 6= Bν = Bν+1 = .

. .§ 12.2. Идеал Баутина и производящие функции233Кроме того, последовательности (12.2) можно поставить в соответствиепроизводящую функцию — полуформальный ряд от одной переменнойXa(x, λ) =a (λ) x ∈ A[[x]].(12.4)¾0Наоборот, каждому формальному или сходящемуся ряду a(x, λ) вида (12.4)можно поставить в соответствие последовательность его коэффициентов(12.2), возрастающую цепочку идеалов (12.3), обозначаемых B (a), и предельный идеалB(a) = lim B (a) = Bν (a).(12.5)→∞Определение 12.1. Идеал B(a) называется идеалом Баутина полуформального ряда a(x, λ). Цепочку идеалов (12.3) мы будем называть цепочкойБаутина и обозначать B(a).

Момент стабилизации ν называется индексомБаутина.Подчеркнём, что нумерация идеалов в цепочке Баутина начинаетсяс идеала B0 , который, однако, может быть нулевым идеалом. В приложениях к вещественно-аналитическим задачам вместо индекса Баутина нампотребуется глубина Баутина, которая на единицу меньше числа ненулевыхразличных идеалов в цепочке (12.3).Определение 12.2. Глубиной Баутина цепочки (12.3) называется количество пар соседних идеалов этой цепочки, для которых включение строгоеи нетривиальное:µ = #{k ∈ N: 0 6= B−1 6= B } ¾ 0.Очевидно, µ ¶ ν, причём равенство возможно, только если 0 6= B0 ( . . .

(( Bν = Bν+1 = . . .Для двух цепочек Баутина B = {B } и B0 = {B0 }, состоящих из идеаловодного и того же кольца A[[x]], мы будем писать B = B0, если соответствующиеидеалы этих цепочек совпадают, и B ⊆ B0, если B ⊆ B0 для всех k = 0, 1, 2, . . .Замечание 12.3 (терминологическое). Термин «идеал Баутина» достаточностандартен и широко распространён [55, 82], в то время как словосочетание«цепочка Баутина» — нет.

В алгебраических терминах цепочка Баутина B(a)определяет фильтрацию на идеале Баутина B(a). Чтобы не отклоняться от общепринятой терминологии, мы обычно будем говорить об идеале Баутина,всегда держа в голове тот факт, что на этих идеалах фиксирована фильтрация.Мы будем обозначать идеал Баутина с фильтрацией символом B(a), а безфильтрации — B(a).Напротив, термин «глубина Баутина», насколько нам известно, новый.Мы решили ввести этот термин, потому что он тесно связан с так называемойтеорией малочленов, придуманной А.

Г. Хованским [120]. Полезность этоготермина будет ясна из примера 12.12 и теоремы 12.27.Напомним, что радикалом идеала B ⊆ A называется идеалpB = { f ∈ A : f ∈ B для некоторого k ∈ N}.ppОчевидно, B ⊆ B. Идеал называется радикальным, если B = B.(12.6)234Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийПоскольку поле C алгебраически замкнуто,p для любого полиномиальногоидеала B ⊆ A = C[λ1 , . . . , λ ] его радикал B состоит из всех многочленов,обращающихся в нуль на множестве общих комплексных нулейX = {λ ∈ C : f (λ) = 0 ∀ f ∈ B}идеала B ⊆ A. Это утверждение известно как теорема Гильберта о нулях.В силу этой теоремы, радикальные полиномиальные идеалы над C находятсяво взаимно однозначном соответствии со своими множествами нулей: любой радикальный полиномиальный идеал есть наибольший идеал с данныммножеством нулей.Множество нулей X (вещественных или комплексных) идеала Баутина Bсоответствует множеству наборов значений параметров, для которых рядa(·, λ) обращается в тождественный нуль.Идеал Баутина (и, более общо, цепочка Баутина) описывает параметрические деформации функций и рядов, в которых начальным значениям параметров соответствует тождественно нулевая функция или ряд.

С помощьюидеалов Баутина можно описывать деформации «максимально вырожденных»объектов других типов, если этим объектам удаётся сопоставить ряд от однойформальной переменной. В частности, можно описывать деформации1) семейств формальных отображений комплексной прямой на себя. Этиотображения определяются (см. с. 51) как автоморфизмы Aut A[[x]], сохраняющие кольцо A (нам понадобится только случай одной формальнойпеременной x и кольца многочленов: A = C[λ]);2) семейств формальных одномерных или двумерных векторных полей. Этиполя определяются (см.

с. 50) как дифференцирования кольца A[[x]] (соответственно кольца A[[x, y]]); в качестве поля констант берётся полечастных кольца A. В наиболее важном случае, когда A — кольцо многочленов, поле частных совпадает с полем рациональных функций C(λ).Иногда мы будем использовать обозначение C[[x]] ⊗ A для алгебры полуформальных рядов (тензорное произведение рассматривается над полем R илиC в зависимости от типа кольца A). Похожие тензорные обозначения можноввести и для других типов полуформальных объектов: символ Diff[[C1 , 0]] ⊗ Aозначает множество полуформальных отображений (C1 , 0) на себя, символD[[R2 , 0]] ⊗ A — множество формальных векторных полей, и т.

д.§ 12.3. Начала формальной теорииОтметим сначала несколько почти очевидных свойств идеалов Баутинадля объектов, «зависящих от одной переменной». Эти свойства отражают простые комбинаторные свойства коэффициентов произведения и композицииформальных рядов от одной переменной.PДля начала заметим, что полуформальный ряд f = a x ∈ A[[x]] обратимв кольце A[[x]] тогда и только тогда, когда коэффициент a0 ∈ A обратимв кольце A; в частности, для кольца многочленов обратимость ряда f равносильна тому, что a0 — ненулевая константа. Аналогично, полуформальное§ 12.3.

Начала формальной теории235отображение H : x 7→ y =c x ростка (C1 , 0) в себя имеет смысл, еслии только если c0 ≡ 0, и обратимо (т. е. H −1 ∈ Aut A[[x]]) тогда и только тогда,когда коэффициент c1 обратим в кольце A.PПредложение 12.4. Если f, g ∈ A[[x]], то B( fg) ⊆ B( f ). Если ряд g обратим в A[[x]], то B( fg) = B( f ).Доказательство. Пусть f , g ∈ A — коэффициенты Тейлора рядов f и gсоответственно; пусть f0 — коэффициенты их произведения fg. Тогда, очевидно,f0 = g0 f mod 〈 f0 , f1 , .

. . , f−1 〉,откуда B ( fg) ⊆ B ( f ) для всех k = 0, 1, . . . Таким образом, первое утверждениедоказано; второе утверждение очевидно следует из критерия обратимостив кольце A[[x]].ƒНа самом деле идеал Баутина не зависит от выбора координаты x, или,в алгебраических терминах, от выбора образующей кольца A[[x]].Предложение 12.5. Идеал Баутина инвариантен относительно формального сопряжения: для любогоP ∞ ряда f ∈ A[[x]] и любого полуформальногоавтоморфизма H : x 7→ y = 1 c x кольца A[[x]] идеалы Баутина рядов fи H f = f ◦ y совпадают.Доказательство. Пусть f и f0 — коэффициенты Тейлорарядов f и f 0 = f ◦ yP0соответственно. Перераскрывая скобки в ряде f =f y , получаемf0 = c1 f mod 〈 f0 , f1 , .

. . , f−1 〉.Морфизм H обратим в Aut A[[x]], если и только если коэффициент c1 обратимв кольце A. Это немедленно влечёт B ( f 0 ) = B ( f ).ƒЗамечание 12.6. Полуформальное семейство векторных полей F ∈ A ⊗⊗ D[[C1 , 0]] на прямой, имеющих особенность в нуле, сохраняет максимальный идеал m = A ⊗ 〈x〉: F m ⊆ m.Определение 12.7. Идеал Баутина полуформального векторного поляF ∈ Der A[[x]] — это идеал Баутина полуформального ряда Fx.Определение 12.8.

Идеал Баутина эндоморфизма H — это идеал Баутинаразности H − id, т. е. идеал Баутина ряда Hx − x.Эти определения на самом деле не зависят от выбора образующей.Предложение 12.9. (Полу)формально эквивалентные векторные поляили отображения в себя имеют одинаковые идеалы Баутина.Доказательство. В силу предложения 12.4, если F — полуформальноевекторное поле, т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее