Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 58
Текст из файла (страница 58)
. . < kµ ,h (0, λ) = 1,j = 0, 1, . . . , µ.Здесь k — индексы, для которых в цепочке (12.3) включение строгое: B −1 6= B .Доказательство. Так как ряд a сходится, ka k ¶ Cr − для некоторыхположительных констант 0 < r, C < +∞.Пусть S = {k0 , . . . , kµ } ⊂ N. По определению глубины Баутина, функции{a0 , a1 , . . . , aµ } = {a : k ∈ S}, которые мы будем называть базисными элементами, порождают предельный идеал Баутина B(a). Поэтому все коэффициенты a можно представить в виде комбинаций базисных элементов:Xa =h a ,h ∈ A, k = 0, 1, . . . ∈ , ¶По теореме 12.19, представление можно выбрать таким образом, что kh k ¶¶ C 0 r − для некоторой новой константы C 0.
При этом базисные элементы мыразложим тривиальным образом: h = δ для всех k, l ∈ S.Подставим эти разложения в ряд для a(x, λ) и преобразуем полученноевыражение как формальный ряд:a(x, λ) =∞X=0a (λ)x =X=0xX ∈ , ¶h a =X∈a∞X=x h =X∈a x ∞Xx − h .=(12.11)§ 12.5. Индекс Баутина и цикличность241В силу оценки на kh k , каждый из рядовh :=∞Xx − h=сходится абсолютно в диске радиуса r, поэтому равенство (12.11) выполненокак равенство аналитических функций.
Осталось проверить, что h (0, λ) = 1.Действительно, h (0, λ) = h = 1.§ 12.5. Индекс Баутина и цикличностьПусть f = f (x, λ) ∈ O (C+1 , 0) — голоморфный (или вещественно-аналитический) росток, представленный функцией, голоморфной в маленькомполидиске U × D, x ∈ D, λ ∈ U. Эту функцию можно рассматривать каканалитическое локальное семейство функций в A ⊗ O (D), A = O (U).Определение 12.24. Комплексная цикличность комплексно-аналитического локального семейства функций f (x, λ) — это наименьшее целое числоµ ∈ N, такое что число изолированных нулей функции f (·, λ) в достаточномалом полидиске {|x| < δ, |λ| < "} не превосходит µ:∃ " > 0, δ > 0:∀ |λ| < "#{x : |x| < δ, f (x, λ) = 0} ¶ µ.(12.12)Здесь и далее #M означает мощность множества M.Для приложений к изучению малых предельных циклов эллиптическихвекторных полей нам потребуется изменить конструкцию.Определение 12.25.
Вещественная цикличность вещественно-аналитического локального семейства функций f (x, λ) — это наибольшее количествоположительных изолированных нулей f (·, λ) на достаточно малом полуинтервале (R1+ , 0), где максимум берётся по всем маленьким значениямпараметров λ ∈ (R , 0).Замечание 12.26 (терминологическое). Термин цикличность относитсяк бифуркациям предельных циклов, см. § 12.1. Предположим, что L — предельный цикл вещественно-аналитического векторного поля на плоскости,аналитически зависящего от параметров λ1 , . . .
, λ из окрестности нуля в R .Пусть f (x, λ) — функция смещения для отображения первого возвращения(вещественной голономии), получающаяся при некотором выборе трансверсали к L. Тогда вещественная цикличность ростка f равна наибольшему числупредельных циклов, которые могут появиться в малой окрестности кольцавокруг L при достаточно малом значении параметров.Формальное определение, записанное с помощью кванторов, совпадаетс (12.12), только вместо диска {|x| < δ} надо рассматривать вещественныйинтервал {0 < x < δ}.По определению цикличность определена для семейства, т.
е. для деформации. Но если f0 = f (·, 0) не тождественный нуль, её можно оценить сверхуравномерно по всем семействам, содержащим f0 , см. § 12.1.242Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийТеорема 12.27. 1. Пусть f : (R+1 , 0) → R — вещественно-аналитическийросток и соответствующий идеал Баутина B( f ) ⊆ O (R , 0) имеет глубину µ.Тогда вещественная цикличность семейства f на вещественной полуоси непревосходит µ.P∞2. Пусть f (x, λ) = 0 a (λ) x ∈ O (C+1 , 0) — голоморфный росток и соответствующий идеал Баутина B( f ) ⊆ O (C , 0) имеет индекс ν. Тогда комплексная цикличность семейства f не превосходит ν.В вещественном случае утверждение доказывается с помощью стандартного процесса деления и дифференцирования. Этот процесс играет важнуюроль в гораздо более общей теории малочленов [120].
В комплексном случаемы, следуя [79], применим неравенство Картана и технику возмущений.Доказательство. При доказательстве обеих частей теоремы мы сначалапредставим росток f в виде суммыf (x, λ) =µXa (λ) x h (x, λ)=0(см. (12.10), лемма 12.23) и зафиксируем окрестность нуля D в пространствепеременных (R или C), в которой функции h ограничены числом 2 равномерно по λ.Кроме того, представим окрестность нуля U в пространстве параметров(R или C ) в виде объединения областей U , таких что в области U коэффициент a не слишком мал по сравнению с остальными коэффициентами a ,j 6= s:U = Z ∪ U0 ∪ . . . ∪ Uµ , Z = {λ: a0 = .
. . = aµ = 0},§ªXU = λ: (µ + 1) |a | >|a | , s = 0, . . . , µ. 6= Для λ ∈ Z доказывать нечего, поскольку f (x, λ) ≡ 0. Оставшаяся часть доказательства проходит независимо для каждой из областей U .Случай 1. Росток f — вещественный. Докажем, что найдётся число "=" >0,такое что для любого λ ∈ U функция f (x, λ) имеет не более µ корней наинтервале x ∈ (0, ").Рассмотрим следующий процесс деления и дифференцирования. Суммаиз µ + 1 слагаемогоµXf0 (x, λ) := f (x, λ) =a (λ) x h (x, λ)=0делится на функцию x 0 h0 (x, λ), после чего дифференцируется по x.
Частноеот этого деления вещественно-аналитично, поскольку показатели k возрастают по j и h0 (0, 0) 6= 0. В результате первый член полностью исчезает, и остатокf1 (x, λ) имеет такую же структуру:f1 (x, λ) =µX=1a (λ)x −0 −1 h,1 (x, λ),243§ 12.5. Индекс Баутина и цикличностьно с другими показателями k − k0 − 1 ¾ 0 и аналитическими обратимымикоэффициентами h,1 (0, 0) 6= 0, 1 ¶ j ¶ µ.После s описанных выше шагов «деление+дифференцирование» мы получаем функциюµXa (λ) − −−1 −1xh, (x, λ) .f (x, λ) = a (λ)x1+=+1a (λ)Эта функция от λ не обращается в нуль на достаточно малом вещественноминтервале (0, ").
Действительно, на достаточно малом интервале (0, ") первыйчлен в разложении f мажорирует всю остальную сумму: показатели всех степеней x положительны, а коэффициенты ограничены в силу построения U и D.Осталось заметить, что каждый шаг «деления+дифференцирования» уменьшает количество изолированных нулей на интервале (0, ") не более чем на 1:#{x ∈ (0, "): f (x, λ) = 0} + 1 ¶ #{x ∈ (0, "): f−1 (x, λ) = 0}для всех s = 1, 2, .
. . , µ. Действительно, умножение на любую степень x неизменяет количества нулей на любом положительном интервале, а дифференцирование уменьшает это количество не более чем на 1. Это следует изтеоремы Ролля:(i) между любыми двумя различными корнями функции f находится какминимум один корень производной;(ii) кратность кратного корня при дифференцировании уменьшается ровнона 1.Поскольку функция f (x, λ) не обращается в нуль на интервале (0, ")для λ ∈ U , функция f = f0 имеетS µ не более s изолированных нулей на этоминтервале.
На объединении=0 U функция f имеет не более µ = max sвещественных корней. Утверждение о вещественных корнях доказано.Случай 2. Росток f — комплексный. Разделим функцию f на a : +1a−1q (x, λ), (λ) f (x, λ) = p (x, λ) + xгдеp (x, λ) =X X¶aµX Xa ¶q (x, λ) =ha >h=0ax =Xb (λ) x ,(12.13)b ∈ O (U ),¶x − −1 .Здесь h — коэффициенты из доказательства леммы 12.23; h = 0 при k < k .Напомним, что h = δ , поэтому многочлен p — приведённый: b (λ) ≡ 1.Оценим остаток q .
Напомним, что |h | < C 0 r − , поэтому при |x| < 0,5rимеемPµµX X|a | 1 − −1|a | X 1 2C 0 (µ + 2)=00|q (x, λ)|¶|h |¶C ··¶=: C. r +1ν+1>=0|a |2|a |r¾02r244Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийИтак, ограничивая x на D 0 — пересечении дисков D и {|x| < 0,5r}, —получаемXp (x, λ) = x +b (λ) x , b ∈ O (U ),<(12.14)0|q (x, λ)| ¶ C, (x, λ) ∈ D × U .Осталось показать, что функция (12.13), удовлетворяющая неравенству (12.14),может иметь не более k ¶ ν комплексных корней в диске малого радиуса r0 , независящего от λ. Для упрощения записи мы будем опускать зависимость от λ.Поскольку многочлен p приведённый, в силу неравенства Картана [116,§ 7, теорема 10] существует конечное множество исключительных дисков,сумма диаметров которых меньше r0 , такое что вне их объединения многочлен p можно оценить снизу: r |p (x)| ¾ 0,4eгде e ≈ 2,71828 .
. . — число Эйлера.Рассмотрим кольцо {r0 <|x|<2r0 }, расслоенное на концентрические окружности {|x| = ρ}, r0 < ρ < 2r0 . Поскольку сумма диаметров исключительныхдисков меньше r0 , как минимум одна из этих окружностей {|x| = ρ0 } непересекается ни с одним из исключительных дисков, значит, многочлен pоценивается снизу на этой окружности функцией (r0 /(4e)) .С другой стороны, на каждой из этих окружностей член x +1 q (x) явнооценивается сверху при помощи (12.14):|x +1 q (x)|||=ρ ¶ C(2r ) +1ρ +1.<C 01−ρ1 − 2r0Выберем r0 так, чтобы выполнялось равенство r (2r ) +10,=C 04e1 − 2r0(12.15)тогда на окружности {|x| = ρ} имеем |p (x)| > |x +1 q (x)|, и можно применитьтеорему Руше.
Следовательно, в диске {|x| ¶ ρ} ⊃ {|x| ¶ r0 } функция a−1 f имеетстолько же корней, сколько и многочлен p , а значит, не более k . Выражаяr0 из равенства (12.15), получаемr0 = ((8e) C + 1)−1 ¾ ((8e)ν C + 1)−1 .1212Замечание 12.28. Доказательство теоремы 12.27 конструктивно в том смысле,что, зная параметр K, характеризующий идеал в теореме 12.19, можно предъявитьконкретный интервал или диск, содержащий не более чем фиксированное числокорней (в комплексном случае это было проделано явно).Простая оценка этого типа, получающаяся из теоремы 12.27, — не лучшая из известных оценок. В [57] Ройтварф и Йомдин рассмотрели общую проблему равномернойлокализации нулей аналитических семейств функций с данными идеалами Баутинаи явными ограничениями на рост коэффициентов Тейлора, так называемых классовБернштейна.
Используя двойственное описание классов Бернштейна в терминах скорости роста задаваемой рядом функции, они оценили снизу радиус диска, в котором могутвозникнуть не более ν нулей. Эта оценка была получена в виде r0 = (8ν max(C, 2))−1245§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости(в тех же обозначениях, что и в теореме 12.27). Эти результаты обобщены в [25] на случай специальных рядов с полиномиальными коэффициентами в A = C[λ1 , .