Главная » Просмотр файлов » Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 58

Файл №1238784 Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.) 58 страницаУчебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784) страница 582020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

. . < kµ ,h (0, λ) = 1,j = 0, 1, . . . , µ.Здесь k — индексы, для которых в цепочке (12.3) включение строгое: B −1 6= B .Доказательство. Так как ряд a сходится, ka k ¶ Cr − для некоторыхположительных констант 0 < r, C < +∞.Пусть S = {k0 , . . . , kµ } ⊂ N. По определению глубины Баутина, функции{a0 , a1 , . . . , aµ } = {a : k ∈ S}, которые мы будем называть базисными элементами, порождают предельный идеал Баутина B(a). Поэтому все коэффициенты a можно представить в виде комбинаций базисных элементов:Xa =h a ,h ∈ A, k = 0, 1, . . . ∈ , ¶По теореме 12.19, представление можно выбрать таким образом, что kh k ¶¶ C 0 r − для некоторой новой константы C 0.

При этом базисные элементы мыразложим тривиальным образом: h = δ для всех k, l ∈ S.Подставим эти разложения в ряд для a(x, λ) и преобразуем полученноевыражение как формальный ряд:a(x, λ) =∞X=0a (λ)x =X=0xX ∈ , ¶h a =X∈a∞X=x h =X∈a x ∞Xx − h .=(12.11)§ 12.5. Индекс Баутина и цикличность241В силу оценки на kh k , каждый из рядовh :=∞Xx − h=сходится абсолютно в диске радиуса r, поэтому равенство (12.11) выполненокак равенство аналитических функций.

Осталось проверить, что h (0, λ) = 1.Действительно, h (0, λ) = h = 1.ƒ§ 12.5. Индекс Баутина и цикличностьПусть f = f (x, λ) ∈ O (C+1 , 0) — голоморфный (или вещественно-аналитический) росток, представленный функцией, голоморфной в маленькомполидиске U × D, x ∈ D, λ ∈ U. Эту функцию можно рассматривать каканалитическое локальное семейство функций в A ⊗ O (D), A = O (U).Определение 12.24. Комплексная цикличность комплексно-аналитического локального семейства функций f (x, λ) — это наименьшее целое числоµ ∈ N, такое что число изолированных нулей функции f (·, λ) в достаточномалом полидиске {|x| < δ, |λ| < "} не превосходит µ:∃ " > 0, δ > 0:∀ |λ| < "#{x : |x| < δ, f (x, λ) = 0} ¶ µ.(12.12)Здесь и далее #M означает мощность множества M.Для приложений к изучению малых предельных циклов эллиптическихвекторных полей нам потребуется изменить конструкцию.Определение 12.25.

Вещественная цикличность вещественно-аналитического локального семейства функций f (x, λ) — это наибольшее количествоположительных изолированных нулей f (·, λ) на достаточно малом полуинтервале (R1+ , 0), где максимум берётся по всем маленьким значениямпараметров λ ∈ (R , 0).Замечание 12.26 (терминологическое). Термин цикличность относитсяк бифуркациям предельных циклов, см. § 12.1. Предположим, что L — предельный цикл вещественно-аналитического векторного поля на плоскости,аналитически зависящего от параметров λ1 , . . .

, λ из окрестности нуля в R .Пусть f (x, λ) — функция смещения для отображения первого возвращения(вещественной голономии), получающаяся при некотором выборе трансверсали к L. Тогда вещественная цикличность ростка f равна наибольшему числупредельных циклов, которые могут появиться в малой окрестности кольцавокруг L при достаточно малом значении параметров.Формальное определение, записанное с помощью кванторов, совпадаетс (12.12), только вместо диска {|x| < δ} надо рассматривать вещественныйинтервал {0 < x < δ}.По определению цикличность определена для семейства, т.

е. для деформации. Но если f0 = f (·, 0) не тождественный нуль, её можно оценить сверхуравномерно по всем семействам, содержащим f0 , см. § 12.1.242Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийТеорема 12.27. 1. Пусть f : (R+1 , 0) → R — вещественно-аналитическийросток и соответствующий идеал Баутина B( f ) ⊆ O (R , 0) имеет глубину µ.Тогда вещественная цикличность семейства f на вещественной полуоси непревосходит µ.P∞2. Пусть f (x, λ) = 0 a (λ) x ∈ O (C+1 , 0) — голоморфный росток и соответствующий идеал Баутина B( f ) ⊆ O (C , 0) имеет индекс ν. Тогда комплексная цикличность семейства f не превосходит ν.В вещественном случае утверждение доказывается с помощью стандартного процесса деления и дифференцирования. Этот процесс играет важнуюроль в гораздо более общей теории малочленов [120].

В комплексном случаемы, следуя [79], применим неравенство Картана и технику возмущений.Доказательство. При доказательстве обеих частей теоремы мы сначалапредставим росток f в виде суммыf (x, λ) =µXa (λ) x h (x, λ)=0(см. (12.10), лемма 12.23) и зафиксируем окрестность нуля D в пространствепеременных (R или C), в которой функции h ограничены числом 2 равномерно по λ.Кроме того, представим окрестность нуля U в пространстве параметров(R или C ) в виде объединения областей U , таких что в области U коэффициент a не слишком мал по сравнению с остальными коэффициентами a ,j 6= s:U = Z ∪ U0 ∪ . . . ∪ Uµ , Z = {λ: a0 = .

. . = aµ = 0},§ªXU = λ: (µ + 1) |a | >|a | , s = 0, . . . , µ. 6= Для λ ∈ Z доказывать нечего, поскольку f (x, λ) ≡ 0. Оставшаяся часть доказательства проходит независимо для каждой из областей U .Случай 1. Росток f — вещественный. Докажем, что найдётся число "=" >0,такое что для любого λ ∈ U функция f (x, λ) имеет не более µ корней наинтервале x ∈ (0, ").Рассмотрим следующий процесс деления и дифференцирования. Суммаиз µ + 1 слагаемогоµXf0 (x, λ) := f (x, λ) =a (λ) x h (x, λ)=0делится на функцию x 0 h0 (x, λ), после чего дифференцируется по x.

Частноеот этого деления вещественно-аналитично, поскольку показатели k возрастают по j и h0 (0, 0) 6= 0. В результате первый член полностью исчезает, и остатокf1 (x, λ) имеет такую же структуру:f1 (x, λ) =µX=1a (λ)x −0 −1 h,1 (x, λ),243§ 12.5. Индекс Баутина и цикличностьно с другими показателями k − k0 − 1 ¾ 0 и аналитическими обратимымикоэффициентами h,1 (0, 0) 6= 0, 1 ¶ j ¶ µ.После s описанных выше шагов «деление+дифференцирование» мы получаем функцию˜•µXa (λ) − −−1 −1xh, (x, λ) .f (x, λ) = a (λ)x1+=+1a (λ)Эта функция от λ не обращается в нуль на достаточно малом вещественноминтервале (0, ").

Действительно, на достаточно малом интервале (0, ") первыйчлен в разложении f мажорирует всю остальную сумму: показатели всех степеней x положительны, а коэффициенты ограничены в силу построения U и D.Осталось заметить, что каждый шаг «деления+дифференцирования» уменьшает количество изолированных нулей на интервале (0, ") не более чем на 1:#{x ∈ (0, "): f (x, λ) = 0} + 1 ¶ #{x ∈ (0, "): f−1 (x, λ) = 0}для всех s = 1, 2, .

. . , µ. Действительно, умножение на любую степень x неизменяет количества нулей на любом положительном интервале, а дифференцирование уменьшает это количество не более чем на 1. Это следует изтеоремы Ролля:(i) между любыми двумя различными корнями функции f находится какминимум один корень производной;(ii) кратность кратного корня при дифференцировании уменьшается ровнона 1.Поскольку функция f (x, λ) не обращается в нуль на интервале (0, ")для λ ∈ U , функция f = f0 имеетS µ не более s изолированных нулей на этоминтервале.

На объединении=0 U функция f имеет не более µ = max sвещественных корней. Утверждение о вещественных корнях доказано.Случай 2. Росток f — комплексный. Разделим функцию f на a : +1a−1q (x, λ), (λ) f (x, λ) = p (x, λ) + xгдеp (x, λ) =X X¶aµX Xa ¶q (x, λ) =ha >h=0a‹x =Xb (λ) x ,(12.13)b ∈ O (U ),¶‹x − −1 .Здесь h — коэффициенты из доказательства леммы 12.23; h = 0 при k < k .Напомним, что h = δ , поэтому многочлен p — приведённый: b (λ) ≡ 1.Оценим остаток q .

Напомним, что |h | < C 0 r − , поэтому при |x| < 0,5rимеемPµ‹µX X|a | 1 − −1|a | X 1 2C 0 (µ + 2)=00|q (x, λ)|¶|h |¶C ··¶=: C. r +1ν+1>=0|a |2|a |r¾02r244Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийИтак, ограничивая x на D 0 — пересечении дисков D и {|x| < 0,5r}, —получаемXp (x, λ) = x +b (λ) x , b ∈ O (U ),<(12.14)0|q (x, λ)| ¶ C, (x, λ) ∈ D × U .Осталось показать, что функция (12.13), удовлетворяющая неравенству (12.14),может иметь не более k ¶ ν комплексных корней в диске малого радиуса r0 , независящего от λ. Для упрощения записи мы будем опускать зависимость от λ.Поскольку многочлен p приведённый, в силу неравенства Картана [116,§ 7, теорема 10] существует конечное множество исключительных дисков,сумма диаметров которых меньше r0 , такое что вне их объединения многочлен p можно оценить снизу:€ r Š |p (x)| ¾ 0,4eгде e ≈ 2,71828 .

. . — число Эйлера.Рассмотрим кольцо {r0 <|x|<2r0 }, расслоенное на концентрические окружности {|x| = ρ}, r0 < ρ < 2r0 . Поскольку сумма диаметров исключительныхдисков меньше r0 , как минимум одна из этих окружностей {|x| = ρ0 } непересекается ни с одним из исключительных дисков, значит, многочлен pоценивается снизу на этой окружности функцией (r0 /(4e)) .С другой стороны, на каждой из этих окружностей член x +1 q (x) явнооценивается сверху при помощи (12.14):|x +1 q (x)|||=ρ ¶ C(2r ) +1ρ +1.<C 01−ρ1 − 2r0Выберем r0 так, чтобы выполнялось равенство€ r Š (2r ) +10,=C 04e1 − 2r0(12.15)тогда на окружности {|x| = ρ} имеем |p (x)| > |x +1 q (x)|, и можно применитьтеорему Руше.

Следовательно, в диске {|x| ¶ ρ} ⊃ {|x| ¶ r0 } функция a−1 f имеетстолько же корней, сколько и многочлен p , а значит, не более k . Выражаяr0 из равенства (12.15), получаемr0 = ((8e) C + 1)−1 ¾ ((8e)ν C + 1)−1 .1212ƒЗамечание 12.28. Доказательство теоремы 12.27 конструктивно в том смысле,что, зная параметр K, характеризующий идеал в теореме 12.19, можно предъявитьконкретный интервал или диск, содержащий не более чем фиксированное числокорней (в комплексном случае это было проделано явно).Простая оценка этого типа, получающаяся из теоремы 12.27, — не лучшая из известных оценок. В [57] Ройтварф и Йомдин рассмотрели общую проблему равномернойлокализации нулей аналитических семейств функций с данными идеалами Баутинаи явными ограничениями на рост коэффициентов Тейлора, так называемых классовБернштейна.

Используя двойственное описание классов Бернштейна в терминах скорости роста задаваемой рядом функции, они оценили снизу радиус диска, в котором могутвозникнуть не более ν нулей. Эта оценка была получена в виде r0 = (8ν max(C, 2))−1245§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости(в тех же обозначениях, что и в теореме 12.27). Эти результаты обобщены в [25] на случай специальных рядов с полиномиальными коэффициентами в A = C[λ1 , .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее