Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 62
Текст из файла (страница 62)
. . ⊇ X ⊇ . . . , X = λ ∈ C6 : p(λ) = 0 ∀ p ∈ B0 . (13.3)Предел X = lim →∞ X цепочки (13.3) состоит из наборов комплексныхзначений параметров λ, для которых соответствующее комплексное векторное поле формально интегрируемо, т. е. существует формальное решениеu = (x 2 + y 2 ) + . . . факторуравнения F 0 u ≡ 0, соответствующее g ≡ 0, см. (12.19).В силу предложения 11.7, для таких λ существует (возможно, другой) формальный интеграл, ряд которого сходится.Теорема 13.3 (А.
Дюлак [16]). Комплексное многообразие X4 ⊆ C6 соответствует интегрируемым квадратичным системам.Другими словами, цепочка комплексных многообразий (13.3) стабилизируется на четвёртом члене: X4 = X5 = . . . = X .При этом цепочка идеалов (13.2), вообще говоря, может расти и послечлена B04 , но только таким образом, что множество нулей последующихидеалов B04 , B05 , . . . не изменяется. Однако на самом деле это не так. Следующая теорема утверждает, что идеал B04 — наибольший идеал с множествомнулей X4 , значит, дальнейший рост цепочки Баутина B0 невозможен.Теорема 13.4 (Х. Жолондек [83]).
Идеал B04 из цепочки Баутина (13.2) радикальный: любой полином p ∈ C[λ], обращающийся в нуль на множестве X4 ,принадлежит идеалу B04.Теорема 13.2 очевидно следует из теорем 13.3 и 13.4, чьи полные доказательства мы отложим до § 13.2. Здесь мы наметим структуру этих доказательств и дадим краткий исторический обзор. Необходимо сразу отметить,что трудных вычислений избежать не удаётся, хотя сейчас большинствовычислений можно сделать на компьютере.Первый шаг состоит в вычислении начального отрезка цепочки Баутина. На уровнемножеств нулей это было сделано Дюлаком в [16]. Для минимизации числа независимых параметров Дюлак линейной заменой координат (x, y) на вещественнойплоскости приводил векторное поле к так называемой нормальной форме Каптейна, соe2, . . . , λe 6 (отличающихся от исходных параметровдержащей только пять параметров λλ1 , .
. . , λ6 ):e 3 x 2 + (2λe2 + λe 5 )xy + λe6 y 2,ẋ = − y − λ(13.4)e 2 x 2 + (2λe3 + λe 4 )xy − λe2 y 2.ẏ = x + λe необходимоеДля этого семейства Дюлак вывел полиномиальное условие над R[λ],для существования 7-струи первого интеграла u = (x 2 + y 2 ) + . . . , и доказал, что приэтих условиях векторное поле интегрируемо.Баутин повторил вычисления Дюлака, вычислил (вручную!) коэффициенты отобe7 = 〈ee5 , ae7 〉 ⊆a3 , aражения возвращения и выяснил, что соответствующий идеал Дюлака De факторуравнения не радикальный. Главная лемма статьи [97], доказательство⊆ R[λ]которой — длинная выкладка (частично разъяснённая в [78]), утверждает, что несмотe7 старшие коэффициенты факторуравнения всё жеря на нерадикальность идеала De7 .принадлежат D§ 13.2.
Условия Дюлака на центр257Это обстоятельство оставалось совершенно загадочным до того, как Х. Жолондекe7 в цепочке Баутина, и то, чтов 1994 году понял, что и нерадикальность идеала Dцепочка Баутина стабилизируется, несмотря на нерадикальность этого идеала, —побочные эффекты использования формы Каптейна, поскольку преобразование общего уравнения (13.1) к виду Каптейна (13.4) — особое (разрывное). Если работатьс исходными параметрами λ, соответствующие идеалы (Баутина или Дюлака) B04 = D7становятся радикальными. Жолондек в [83] дал элементарное (хотя длинное и техническое) доказательство этой радикальности в кольце многочленов, коммутирующихс естественным действием группы вращений плоскости (см. замечание 13.6 ниже),и отметил мимоходом, что требование коммутирования можно опустить, и фактостаётся верным во всём кольце C[λ], хотя доказательство в этом случае «гораздосложнее» [83, Remark 1, p.
236].Однако, в отличие от утверждения об обрыве бесконечной цепочки идеалов,которое говорит о бесконечном числе равенств между индивидуальными идеаламицепочки, утверждение о радикальности одного данного идеала можно проверитьза конечное время. Более того, как алгоритмы для вычисления радикала идеала, заданного образующими в кольце полиномов, так и проверка совпадения двух заданныхтаким образом идеалов хорошо разработаны, и существуют системы компьютернойалгебры, в которых эта возможность реализована.
Доказательство теоремы 13.4 можнополностью поручить компьютеру, так же как и вычисление первых коэффициентовформальных интегралов, нормальных форм и т. д.Это наблюдение в некотором смысле «понижает в ранге» теорему 13.4 до уровняполиномиального равенства, которое на данный момент не может быть доказаноникаким другим методом, кроме прямого утомительного вычисления.
На с. 263 приведён короткийскрипт для CoCoA (Commutative Computer Algebra, [12]), вычисляющийÆрадикал B04 и проверяющий, что он совпадает с B04.В отличие от теоремы 13.4, доказательство теоремы Дюлака 13.3 кроме неизбежных вычислений требует также содержательного участия человека.§ 13.2. Условия Дюлака на центрДругое наблюдение Х. Жолондека состоит в том, что использование«комплексной формы записи» сильно упрощает вычисления. Если мы отождествляем точку (x, y) вещественной плоскости R2 с комплексным числомz = x + iy ∈ C, то любое квадратичное векторное поле с линейной частью Iможно записать в видеż = iz + A z 2 + B zz + C z2 ,(13.5)где A, B, C — комплексные коэффициенты.
Это наблюдение объясняется темфактом, что после комплексификации (когда мы разрешаем коэффициентам λ принимать комплексные значения) линейная часть диагонализируетсяпереходом к координатам z = x + iy, w = x − iy. Комплексное квадратичноевекторное поле F ∈ D[C2 ] принимает видż = iz + Az2 + Bzw + Cw 2 ,ẇ = −iw + C 0 z2 + B0 zw + A0 w 2 ,A, . . . , C 0 ∈ C.(13.6)Вещественные векторные поля (с вещественными значениями параметров λ)получаются из комплексных полей вида (13.6), комплексные параметры258Глава 13. Квадратичные векторные поля и теорема БаутинаA, .
. . , C 0 которых удовлетворяют условиямA0 = A,B0 = B,C0 = C(13.7)при ограничении на вещественное подпространство R ' {w = z} ⊆ C . Очевидно, что решать факторсистему (12.19) для векторного поля F с диагональной линейной частью гораздо проще; см. п. 12.7.2.Первые несколько шагов формального решения факторуравнения, соответствующего уравнению (13.6), приводят к следующим выражениям длякоэффициентов ряда g(u) = g1 u + g2 u2 + . . . :22g1 = 0,g2 = c2 (AB − A0 B0 ),g3 = c3 (2A + B0 )(A − 2B0 )CB0 − (2A0 + B)(A0 − 2B)C 0 B ,2g4 = c4 (BB0 − CC 0 ) (2A + B0 )B0 C − (2A0 + B)B2 C 0 ,(13.8)где c 6= 0 — ненулевые константы, i = 2, 3, 4. При предположении «вещественности» (13.7) эти условия принимают видg1 = 0,g2 = c2 Im (AB),g3 = c3 Im (2A + B)(A − 2B)BC ,g4 = c4 Im (|B|2 − |C|2 )(2A + B)B2 C .(13.9)В таком виде их можно найти в [83]. Очевидно, что сокращение на ненулевыеконстанты не изменяет цепочки идеалов, поэтому далее мы будем опускатьэти константы.В п.
12.7.2 мы объяснили, как вычислять многочлены g2,3,4 ; описанныйтам алгоритм легко преобразовать в код для любой системы компьютернойалгебры, например Maxima, SageMath или Mathematica.Замечание 13.5. Вычисление коэффициентов отображения первого возвращения требует гораздо больше ресурсов, чем вычисление коэффициентовфакторуравнения. Баутин в [97] приводил не промежуточные вычисления,а только окончательные результаты. Эти вычисления были воспроизведеныпри помощи компьютеров (см.
[22]) и подтвердили формулы Баутина, кромеодной несущественной ошибки в численном коэффициенте c4 . Жолондекв [83] перепроверил часть результатов, используя технику возмущений. Всесуществующие методы приводят к формулам (13.9).§ 13.3. Неприводимые компонентымногообразия ДюлакаМногообразие Дюлака X4 = {g2 = g3 = g4 = 0} ⊆ C6 приводимо и состоитиз четырёх неприводимых компонент (их названия мы объясним позже; онисвязаны с различными механизмами интегрируемости):§ 13.4. Доказательство теоремы Дюлака 13.3V4 = {B = B0 = 0}0259(интегрируемые по Дарбу),0V = {2A + B = 2A + B = 0}(гамильтоновы),V = {AB − A0 B0 = B0 C − B3 C 0 = 0}(симметричные),VÇ = {A − 2B0 = A0 − 2B = BB0 − CC 0 = 0}(мероморфные).3(13.10)Действительно, множество B = B0 = 0 коразмерности 2 удовлетворяет всемуравнениям g1 = g2 = g3 = g4 = 0, поэтому задаёт компоненту многообразия X4 .Эта компонента обозначается V4 .
Вне компоненты V4 уравнение g2 = 0 влечётA/B0 = A0/B; обозначая это частное через R, мы преобразуем оставшиесяуравнения g3 = 0, g4 = 0 соответственно в(2R + 1)(R − 2)(B0 C − B3 C 0 ) = 0,3(BB0 − CC 0 )(2R + 1)(B0 C − B3 C 0 ) = 0.3V — вторая компонента X4 — задаётся уравнением 2R + 1 = 0, а третья ком3понента V — уравнением B0 C − B3 C = 0. Вне всех этих компонент последняякомпонента VÇ определяется уравнениями R = 2, BB0 − CC 0 = 0.§ 13.4. Доказательство теоремы Дюлака 13.3Заметим сначала, что линейная часть нормальной формы (13.6) инвариантна относительно диагональных отображений (z, w) 7→ (γz, γ0 w), γ, γ0 ∈∈ C\{0}. В частности, она инвариантна относительно отображений (z, w) 7→7→ (γz, γ−1 w).
Эти отображения изменяют коэффициенты A, . . . , C 0 векторногополя следующим образом:(z, w) 7→ (γz, γ−1 w),(A, B, C, A0 , B0 , C 0 ) 7→ (γA, γ−1 B, γ−3 C, γ3 A0 , γB0 , γ−1 C 0 ).(13.11)Эти формулы задают действие группы C\{0} на пространстве всех коэффициентов; все компоненты (13.10) множества X4 инвариантны относительноэтого действия.Замечание 13.6. Действия групп (C\{0})2 и C\{0} не сохраняют подмножество вещественных систем (13.7), но ограничение этих действий на окружность S1 = {|γ| = 1, γ0 = γ−1 = γ}, соответствующее чистым вращениям вещественной плоскости z 7→ γz, задаёт действие окружности на пространствевещественных квадратичных векторных полей с эллиптической особой точкой в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
