Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 66
Текст из файла (страница 66)
. . , m } должна быть хотя бы одна точка Кано.Итак, в обоих случаях получено противоречие, что завершает доказательство леммы.§ 14.6. Доказательство теоремы Камачо — СадаРассмотрим слоение с особенностями F вблизи изолированной особойточки. В силу теоремы 8.14, существует последовательность раздутий, композиция которых разрешает все особенности слоения F. Точнее, существуютпоследовательность многообразий M0 = M, M1 , .
. . , M и последовательностьпростых схлопываний π : M → M−1 , такие что прообраз начала координат при любой композиции π1 ◦ . . . ◦ π — исчезающий дивизор D ⊂ M —является дивизором с нормальными пересечениями.Исходное слоение F = F0 естественным образом поднимается на каждоеиз многообразий M : F = (π1 ◦ .
. . ◦ π )∗ F0 ; при этом на многообразии M возникает слоение F = π∗ F — поднятие F при композиции π = π1 ◦ . . . ◦ π , —имеющее только элементарные особенности на D = π−1 (0).Если одно из раздутий π дикритическое, то существует бесконечномного листов слоения F , трансверсальных D . Образ каждого из этих листовпри схлопывании π1 ◦ . . . ◦ π является комплексной сепаратрисой исходнойособой точки слоения F.Таким образом, можно считать, что все раздутия π недикритические.В этом случае индукцией по k несложно доказать, что хотя бы одна особаяточка каждого слоения F является точкой Кано.
Шаг индукции немедленноследует из леммы 14.14, поэтому достаточно доказать базу индукции. Поскольку первый исчезающий дивизор D1 = E гладкий, все особые точки слоения F1неугловые. Если ни одна из них не является точкой Кано, то отрицаниесоотношения (14.13) приводит к неравенству i(a, E) ¾ 0Pдля каждой точкиa ∈ Sing F1 . Складывая эти неравенства, мы видим, что ∈ E i(a, E, F1 ) ¾ 0,что противоречит следствию 14.10.
База индукции доказана.Пусть a — особая точка Кано слоения F . Так как слоение F имееттолько элементарные особенности, точка a элементарна. Согласно предложению 14.13, элементарная точка Кано имеет комплексную сепаратрису,не содержащуюся в D . Её схлопывание является комплексной сепаратрисойисходной особенности. Доказательство теоремы завершено.§ 14.7. Локальная проблема ПуанкареВ предыдущих параграфах этой главы мы доказали, что у особой точкислоения всегда есть хотя бы одна комплексная сепаратриса. После этого естественно исследовать, сколько «различных» комплексных сепаратрис может§ 14.7. Локальная проблема Пуанкаре275проходить через особую точку слоения F, порождённого голоморфным векторным полем F ∈ D(C2 , 0).Заметим, что если C1 , . .
. , C — различные неприводимые аналитическиесепаратрисы слоения F, заданные локально приведёнными (свободными2от кратныхS множителей) уравнениями { f = 0}, f ∈ O (C , 0), то их объединение C = C — приводимая аналитическая сепаратрисаQ слоения F, задаваемая уравнением без кратных множителей { f = 0}, f = f . Таким образом,вопрос «подсчёта» различных сепаратрис можно переформулировать следующим образом: среди ростков f без кратных множителей, таких что производная Ли Ff делится на f в O (C2 , 0): Ff = 0 mod 〈 f 〉, найти «максимальный».В некоторых случаях эта задача очевидно не допускает осмысленногорешения.
Например, для дикритического слоения F существует континуумгладких неприводимых аналитических сепаратрис, а следовательно, любоеих конечное объединение также является аналитической сепаратрисой, но ниодно из этих объединений не максимально.Определение 14.15. Особая точка голоморфного слоения называетсяобобщённо дикритической, если она имеет бесконечно много аналитическихсепаратрис.Несложно показать, что особенность является обобщённо дикритическойтогда и только тогда, когда хотя бы одно из раздутий, участвующих в полномразрешении особенностей (см.
главу 8), дикритическое или одна из получающихся в результате элементарных особых точек — рациональный узел. Действительно, во всех остальных случаях множество гладких сепаратрис слоенияпосле, а значит, и до разрешения особенностей конечно. С другой стороны,если одно из раздутий — дикритическое, то у получающегося слоения бесконечно много листов трансверсальны исключительному дивизору, и все эти листы при схлопывании становятся сепаратрисами. Случай рационального узласводится к этому случаю одним дополнительным раздутием, см. задачу 8.7.Однако более подходящей характеристикой является не количество сепаратрис, а скорее порядок «максимальной» инвариантной кривой.
Оказывается, для слоения с особенностями, не являющегося обобщённо дикритическим,этот порядок можно оценить сверху в терминах порядка слоения с особенностями.Замечание 14.16 (ссылка вперёд). Схожая задача возникает, когда F — полиномиальное векторное поле на плоскости C2 и C = { f = 0} — инвариантная алгебраическаякривая. В этом случае Ff = fg, где алгебраическое дополнение g ∈ C[x, y] также полиномиально, и возникает вопрос, называемый обычно проблемой Пуанкаре: оценитьстепень deg f в терминах deg F.
Мы подробно обсудим эту проблему во втором томе.Определение 14.17. Порядок ord0 C аналитической кривой C ⊂ (C2 , 0)на плоскости в точке 0 ∈ C — это степень главного однородного члена рядаТейлора любой приведённой (свободной от кратных множителей) функции f,задающей росток (C, 0).Хотя локальное уравнение кривой определено неоднозначно, порядоккривой однозначно определён (см.
задачи 14.1 и 14.3). Порядок кривой276Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийв гладкой точке равен 1. Кривые порядка ¾ 2 имеют особую точку: в общемслучае кривая порядка 2 — это трансверсальное пересечение двух гладкихветвей.Причина, по которой порядок удобен для подсчёта аналитических кривых,заключается в его аддитивности.Предложение 14.18. Порядок конечногообъединения ростков попарноSразличных аналитических кривых C = C с изолированными попарнымипересечениями, C ∩ C = {0} при j 6= k, равен сумме соответствующих порядков.Похожим образом можно определить порядок слоения с особенностями.Определение 14.19. Порядком голоморфного слоения F в изолированной особой точке (C2 , 0) называется порядок любой голоморфной 1-формы ωс изолированной особой точкой, задающей F,ord0 F = ord0 ω,ω ∈ Λ1 (C2 , 0),(14.18)где порядок ord0 ω — это степень ν первой ненулевой однородной компонентытейлоровского разложения ω = ων + ων+1 + . .
.Такое определение порядка слоения также не зависит от выбора локальных координат и пфаффовой формы; он также может быть определён какпорядок голоморфного векторного поля, локально задающего F.Следующий результат Ц. Камачо, А. Линса Нето и П. Сада в [8] показывает существенное различие между порядками слоения и его максимальнойаналитической инвариантной кривой.Теорема 14.20. Предположим, что голоморфное слоение с особенностями F на (C2 , 0) не является обобщённо дикритическим, т. е. имеет не болеечем конечное число сепаратрис.Тогда для любой локальной сепаратрисы C ⊂ (C2 , 0)ord0 C ¶ ord0 F + 1.(14.19)Если полное разрешение особенностей слоения F не имеет седлоузлови C — объединение всех сепаратрис, проходящих через особую точку, то неравенство превращается в равенство:ord0 C = ord0 F + 1.Доказательство теоремы 14.20 основано на тщательном исследованиипроцесса разрешения особенностей.§ 14.8.
Вес компоненты исчезающего дивизораПусть, как обычно, π: (M, S) → (C2 , 0) — голоморфное отображение, обратимое вне начала координат, причём исчезающий дивизор S = π−1 (0) являетсяSобъединением попарно трансверсальных проективных прямых: S =L ,L ô L для i 6= j.§ 14.8. Вес компоненты исчезающего дивизора277В этом параграфе мы сопоставим каждой компоненте L её вес — натуральное число, измеряющее топологическую сложность отображения πвблизи L .
Построение понятия веса начинается со следующего наблюдения.Лемма 14.21. Для любой голоморфной трансверсали τ: (C1 , 0) → (M, a)к исключительному дивизору S в неугловой точке a∈ L компоненты L ⊆ S порядок кривой γ=π◦τ: (C1 ,0)→(C2 ,0), получающейся в результате схлопываниядивизора, не зависит от выбора трансверсали.Корректность следующего определения вытекает из только что приведённой леммы.Определение 14.22. Весом w(L) компоненты L ⊆ S = π−1 (0) дивизора Sотносительно раздутия π: (M, S) → (C2 , 0) называется порядок схлопыванияπ ◦ τ: (C1 , 0) → (C2 , 0) произвольной трансверсали τ: (C1 , 0) → (M, a) к Lв неугловой точке a ∈ L.Доказательство леммы 14.21.
Пусть τ, τ0 — две трансверсали к одной итой же компоненте L ⊂ S в неособых точках a, a0 ; пусть w, w 0 ∈ N — порядкисоответствующих схлопнутых кривых:w = ord0 γ,w 0 = ord0 γ0 ,γ = π ◦ τ,γ0 = π ◦ τ0 .Для линейной функции l : C2 → C общего положения и любого достаточномалого 0 6= " ∈ (C, 0) эти порядки совпадают с количествами пересеченийкривых γ, γ0 с аффинной прямой `" = {l = "} (см. задачу 14.3).Фиксируем одну из таких линейных функций l и рассмотрим слоение безособенностей G на (C2 , 0), слои которого — прямые `" .
Слоение G интегрируемо и не является обобщённо дикритическим: существует только один лист `0 ,замыкание которого проходит через «особую» точку в начале координат.Раздутие G 0 = π∗ G этого слоения является слоением с особенностями на M.Множество особых точек этого слоения легко описать: после первогопростого раздутия мы получаем единственную гиперболическую особуюточку s ∈ E. Накладывая на выбор l дополнительные требования общностиположения, можно считать, что ни одно из дальнейших раздутий не происходит в точке s (будем говорить, что направление l неисключительное для π).Таким образом, множество Sing G 0 кроме s содержит только угловые особыеточки — пересечения гладких компонент исключительного дивизора.Заметим, что обе кривые τ и τ0 трансверсальны одному и тому же листу Lслоения G 0.
Следовательно, корректно определено отображение голономиимежду этими трансверсалями вдоль листов слоения G 0. В частности, любойдругой лист G 0, пересекающий τ вблизи L, пересекает также и τ0, и наоборот,а значит, для достаточно малых " 6= 0 поднятие C" = π−1 (`" ) прямой `"пересекает трансверсаль τ по такому же количеству точек, что и τ0.Замечание 14.23.
Из леммы 14.21 следует, что вес w(L) компонентыL ⊂ π−1 (0) может быть также определён как порядок ограничения π∗ l линейной функции l : C2 → C общего положения на трансверсаль к L в любой неугловой точке a ∈ L. Условия общности положения такие же, как в доказательствелеммы 14.21: направление {l = 0} должно быть неисключительным для π.278Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийЕсли отображение π представлено в виде композиции простых раздутий,веса компонент можно вычислить последовательно.
Пусть S — дивизор с нормальными пересечениями на голоморфной поверхности M, a ∈ S — гладкаяили угловая точка.После дополнительного раздутия σ с центром в точке a мы получаемдругое многообразие M 0 с новым исчезающим дивизором S0 ⊂ M 0 и цепочкуотображенийσπ(M 0, S0 , E) −→ (M, S, a) −→ (C2 , 0, 0).Исключительный дивизор E ⊂ M 0 — это «только что созданная» компонента S0, тогда как все другие компоненты S0 являются раздутиями «старых»гладких компонент S.Композиция π0 = σ ◦ π: (M 0, S0 ) → (C2 , 0) является раздутием. Обозначимчерез w 0 (L0 ) веса гладких компонент нового исчезающего дивизора S0, чтобыотличать их от весов, вычисленных по отображению раздутия π: (M, S)→(C2 ,0).Центр раздутия a может быть как неугловой, так и угловой точкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
