Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Эта цепочка идеалов «универсальна» в том смысле, что она «обслуживает» все деформацииполиномиального векторного поля данной степени d на плоскости.Вычисление конечного числа идеалов цепочки Дюлака D не толькотеоретически осуществимо, но и может быть выполнено в одной из многихсуществующих программ для символьных вычислений. Однако на этом путиневозможно вычислить индекс (или глубину) цепочки Баутина, даже еслизабыть о реальных ограничениях на память и время вычислений. Действительно, даже если компьютерный эксперимент покажет, что цепочка D перестаётрасти на некотором шаге µ, необходимо ещё доказать, что бесконечно многооставшихся коэффициентов ряда g(u, λ) принадлежат идеалу, порождённомупервыми µ коэффициентами.Единственный случай, в котором конструкция идеала Дюлака и вычислениеего глубины полностью реализовано на практике, — случай квадратичныхвекторных полей, соответствующий d = 2. Эти результаты описаны в главе 13.12.7.2.
Практическое вычисление цепочки ДюлакаНаиболее важное преимущество идеала (а также цепочки) Дюлака передидеалом Баутина заключается в том, что с ним проще работать: вычислениеидеала D не требует решения дифференциальных уравнений, в то время253§ 12.7. Универсальные полиномиальные семействакак при вычислении отображения первого возвращения без этого не обойтись. Мы можем с самого начала работать с приведённым универсальным∂∂полиномиальным семейством (12.28) с линейной частью I = y − x .∂x∂yПредположим, что многочлены Тейлора U−1 и G[(−1)/2] степеней p − 1и [(p − 1)/2] для соответствующих рядов u ∈ R[λ][[x, y]] и g ∈ R[λ][[u]]уже найдены (для чётного p мы берём целую часть отношения (p − 1)/2).Напомним, что для приведённого семейства g1 = 0.Однородная компонента u и следующий коэффициент g/2 ряда g будутрешениями уравненияI u = v + g/2 r ,v = члены степени p ряда G[(−1)/2] (U−1 )−NU−1 , (12.29)где N = F 0 − I — нелинейная часть векторного поля F 0, рассматриваемая какдифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами, полиномиально зависящий от параметров λ.
Член g/2 r отсутствует в случаенечётного p.Это уравнение всегда разрешимо. Если p нечётно, то любой однородныйполином, встречающийся в правой части уравнения (12.29), имеет нулевоесреднее на любой окружности r = const, а значит, имеет единственнуюоднородную первообразную u = I−1 v .Если p чётно, то средние значения v на окружностях могут быть ненулевыми, но они всегда будут иметь вид cr для некоторой константы c ∈ R.Положим g/2 = −c, тогда правая часть будет иметь нулевые средние, а значит,имеет полиномиальную первообразную u = I−1 (v + g/2 r ), которая определена однозначно с точностью до прибавления c0 r (эта неоднозначностьприводит к неединственности решения факторуравнений).В обоих случаях мы однозначно определили следующие коэффициентыu и g/2 ряда Тейлора, и далее процесс продолжается по индукции.
Изучениеэтого процесса даёт независимое доказательство полиномиальной зависимости всех коэффициентов от параметров λ — нелинейных коэффициентовуниверсального полиномиального семейства.12.7.3. Идеал Дюлака и константы Пуанкаре — ЛяпуноваКроме факторуравнения (12.19) есть и другие конструкции, позволяющиепостроить полуформальный ряд от одной формальной переменной по эллиптическому семейству. Например, в [58] и некоторых других источникахвозникают следующие уравнения:XFv = b(r 2 , λ), b(r 2 , λ) =b (λ) r 2 ,(12.30)¾1где v ∈ A[[x, y]] — полуформальный ряд от двух переменных, а F — эллиптическое семейство с фиксированной линейной частью I.
Уравнение (12.30)также всегда имеет формальное решение (v, b) по причинам, изложеннымв п. 12.7.2. Коэффициенты b ∈ A называют по-разному: константы Пуанкаре — Ляпунова, числа Ляпунова, фокусные величины, и т. д. По ряду b мы254Глава 12. Параметрические семейства аналитических функцийстандартным образом строим возрастающую цепочку идеалов〈b1 〉 ⊆ 〈b1 , b2 〉 ⊆ 〈b1 , b2 , b3 〉 ⊆ .
. .(12.31)в кольце многочленов R[λ].Конструкция констант Пуанкаре — Ляпунова и цепочки идеалов (12.31)имеют неинвариантную природу (в отличие от определения идеала Дюлака).Тем не менее множество общих нулей первых k многочленов {b1 =. . .=b =0}∈∈ R соответствует множеству значений параметров, для которых эллиптическое поле интегрируемо на уровне 2k-струй. Это же условие в терминахидеала Дюлака означает, что первые k коэффициентов векторных полей Gобращаются в нуль.
Значит, по крайней мере до тех пор, пока идеал Дюлакарадикальный, цепочки идеалов D и (12.31) совпадают. Мы не будем далееуглубляться в эти вопросы.Упражнения и задачиУпражнение 12.1. Пусть A = O (C , 0), Pm ⊆ A — максимальный идеал и∞коэффициенты полуформального ряда f = 1 a x обладают следующимисвойствами:1) первые m коэффициентов a1 , . . .
, a принадлежат m2 ,2) следующие n коэффициентов a+1 , . . . , a+ порождают линейное пространство m/m2 ' C .Вычислите индекс соответствующей цепочки Баутина.Упражнение 12.2. Пусть X — множество нулей k-го идеала Баутинаполуформального векторного поля (или сохраняющего нуль отображения).Докажите напрямую, что это множество нулей одинаково для любых двухформально эквивалентных векторных полей (соответственно отображений).Задача 12.3. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение длямножества нулей идеалов Баутина и Дюлака эллиптического семействавекторных полей на плоскости.Упражнение 12.4.
Вычислите формальное отображение голономии дляполуформального эллиптического поля (12.17) в нормальной форме Пуанкаре — Дюлака.Упражнение 12.5. Рассмотрим семейство эллиптических векторных полей на плоскости, заданное в комплексной форме записи дифференциальнымуравнением ż = z(i + λz z ), λ ∈ R, p ¾ 1. Вычислите идеалы Баутина и Дюлака,а также числа Ляпунова для этого семейства.Упражнение 12.6. Пусть f — комплексное аналитическое семейство, удовлетворяющее условиям примера 12.1. Докажите, что глубина сдвинутогоидеала B( f (x + t)) одинакова для всех достаточно малых t ∈ (C1 , 0), кроме,быть может, значений t из некоторого дискретного множества.Глава 13Квадратичные векторные поляи теорема Баутина§ 13.1. Квадратичные векторные поляЕдинственное универсальное семейство, для которого известна глубинаидеала Баутина, — это семейство квадратичных векторных полей. В этойглаве мы докажем следующую известную теорему.Теорема 13.1 (Н.
Баутин [97]). Цикличность эллиптической особой точкив семействе квадратичных векторных полей равна 3.Когда теорема Баутина была доказана, возникла гипотеза, что количество всех предельных циклов квадратичного векторного поля на плоскостине больше трёх. В эту гипотезу верили вплоть до 1980 года, когда Ши Сонглинг(Shi Songling) нашёл пример квадратичного векторного поля, имеющего трималеньких предельных цикла и один «большой» предельный цикл, расположенный далеко от эллиптической особой точки [62].Рассмотрим приведённое семейство F 0 квадратичных векторных полейс фиксированной линейной частью. Элементы этого семейства мы будемзаписывать как системы дифференциальных уравнений:ẋ = y + λ1 x 2 + λ2 xy + λ3 y 2 ,ẏ = −x + λ4 x 2 + λ5 xy + λ6 y 2 .(13.1)В силу следствия 12.36 и предложения 12.37, теорема Баутина следуетиз следующего чисто алгебраического факта.Теорема 13.2.
Приведённая цепочка идеалов Баутина B0 = {B0 } для семейства (13.1) квадратичных векторных полей, линейная часть которых —поворот I, имеет глубину 2, а именно,0 6= B02 ( B03 ( B04 = B05 = B06 = . . .(13.2)Доказательство теоремы 13.2 занимает остаток § 13.1 и весь § 13.2.Как мы уже отмечали несколько раз, многие утверждения об идеалахБаутина имеют аналоги, относящиеся к алгебраическим множествам в пространстве параметров, и почти всегда эти утверждения гораздо проще.Теорема Баутина не исключение: её доказательство основано на не менеезамечательной теореме, доказанной А. Дюлаком в 1908.256Глава 13. Квадратичные векторные поля и теорема БаутинаВместе с цепочкой вещественных полиномиальных идеалов B0 ⊆ R[λ]рассмотрим цепочку их множеств нулей в комплексном пространствеC6 ⊇ X2 ⊇ X3 ⊇ X4 ⊇ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
