Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Инвариантные кривыеРассмотрим росток голоморфного слоения F в (C2 , 0), заданного пфаффовым уравнением {ω = 0}, такой что начало координат — изолированнаяособая точка кратности µ и порядка n.Напомним (см. определение 2.27), что комплексная сепаратриса слоения F — это лист L ∈ F, замыкание которого L ∪ {0} — аналитическая криваяγ = { f = 0} ⊂ (C2 , 0).Для любой элементарной особой точки существует хотя бы одна гладкаякомплексная сепаратриса.
Точнее, две гладкие комплексные сепаратрисы,если особая точка не является седлоузлом или резонансным узлом, и одна илидве гладкие сепаратрисы, если является. Вопрос о существовании комплексных сепаратрис для более вырожденных особых точек впервые обсуждалсяС. Брио и Ж. Буке в 1856 году. Однако полное решение было получено тольков 1982 году Ц. Камачо и П. Садом [9].Теорема 14.1 (Ц.
Камачо — П. Сад, 1982). Любая изолированная особаяточка голоморфного векторного поля на плоскости имеет комплекснуюсепаратрису.Замечание 14.2. Если F — вещественно-аналитическое слоение на (R2 , 0), то вещественные сепаратрисы, если они существуют, обязательно являются характеристическими траекториями. Следовательно, невырожденные фокусы и центры не имеютвещественных сепаратрис, хотя они имеют по две комплексные сепаратрисы.
Обратное утверждение ложно: характеристическая траектория не обязательно является266Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийсепаратрисой. Например, для нерезонансного узла с иррациональным характеристическим числом только две из его вещественных траекторий являются сепаратрисами,поскольку остальные не аналитичны в начале координат.Идея доказательства теоремы 14.1 состоит в том, чтобы применять раздутие к слоению, пока все особенности не станут элементарными. У каждойиз этих особенностей есть хотя бы одна комплексная сепаратриса.
Еслиэта сепаратриса не содержится в особом дивизоре D (прообразе особойточки), то образ этой сепаратрисы при схлопывании — непостоянная аналитическая кривая, а значит, комплексная сепаратриса. Чтобы доказатьтеорему, надо показать, что после полного разрешения особенностей хотябы у одной элементарной особой точки всегда есть инвариантная кривая(это всегда будет гиперболическая инвариантная кривая), трансверсальная D.Это получается в результате тщательного изучения характеристических чисел гиперболических особенностей, появляющихся при раздутии. Наиболеесложная комбинаторная часть оригинального доказательства из [9] недавнобыла упрощена Х.
Кано [11], чьему доказательству мы в основном и следуем.§ 14.2. Линеаризация вдоль инвариантных кривыхи индекс комплексной сепаратрисыВ этом параграфе мы обобщим понятие характеристического числа невырожденной особой точки на более общий случай — построим индекс Камачо —Сада (или просто индекс) гладкой комплексной сепаратрисы слоения с особенностями. Этот индекс определяется как вычет линеаризации слоения вдольэтой сепаратрисы.Конструкция линеаризации слоения вдоль гладкой инвариантной кривой S (слоя или сепаратрисы) интуитивно достаточно понятна.
Выберемсистему координат так, чтобы S локально задавалась уравнением { y = 0}.Пусть голоморфная пфаффова формаω = f dx + g dy ∈ Λ1 (C2 , 0)с изолированными особенностями обращается в нуль на касательном расслоении к S, т. е. f (x, 0) ≡ 0. Оставляя только члены первого порядка по y и dy,получаемf (x, y) = a(x) y + O( y 2 ), g(x, y) = b(x) + O( y),так что «линеаризация» пфаффова уравнения (округление до членов, линейных по y и dy) имеет видy a(x) dx + b(x) dy = 0.(14.1)Обозначим через θ мероморфную 1-форму на кривой S, заданную формулойθ =−a(x)dx,b(x)θ ∈ Λ1 (S) ⊗ M (S).(14.2)По причинам, которые мы объясним в части III, полностью посвящённойлинейным системам, форма θ называется формой связности слоения F вдоль§ 14.2.
Линеаризация вдоль инвариантных кривых и индекс комплексной сепаратрисы267гладкой инвариантной кривой S. Используя форму связности, мы можемпереписать линеаризованное уравнение (14.1) в следующем виде:dy = yθ ,y ∈ C, θ ∈ Λ1 (S) ⊗ M (S);ср. с нелинейными уравнениями (10.6).Форма θ мероморфна на S: действительно, из её определения немедленноследует, что она голоморфна во всех неособых точках S. Особенности слоения,соответствующие изолированным нулям голоморфной функции b ∈ O (S),являются полюсами формы связности.Определение 14.3.
Индексом i(p, S, F ) гладкой аналитической инвариантной кривой (сепаратрисы) S, проходящей через особую точку p∈S слоенияс особенностями F, называется вычет res θ формы связности (14.2), определённой на S.Далее мы иногда будем опускать один или более аргументов из спискаi(p, S, F ), если они однозначно определяются из контекста.Вообще говоря, описанная выше конструкция зависит как от выбора формы ω, задающей наше слоение, так и от выбора координат (x, y) при построении линеаризации слоения вдоль кривой S. Докажем, что индекс кривой Sтем не менее не меняется ни при выборе другой формы ω0 = uω, u ∈ O (C2 , 0),u 6= 0, ни при выборе других координат (x 0 , y 0 ) при построении линеаризации.Для этого мы перескажем ту же конструкцию в инвариантных терминах.Предложение 14.4.
Пусть U ' (C2 , 0) — малая окрестность нуля, S ⊂ U —проходящая через нуль гладкая кривая, заданная уравнением h = 0, где h ∈∈ O (C2 , 0) — голоморфная функция, дифференциал которой не обращаетсяв нуль на S.Тогда любая голоморфная1-форма ω, обращающаяся в нуль на касательSном расслоении TS = ∈ T S, представима в видеω = g(dh − h θ ),(14.3)где g — голоморфная функция, а θ — мероморфная 1-форма, полюсы котороймогут быть только в особых точках формы ω. Ограничения функции g на Sи формы θ на TS однозначно определяются формой ω и функцией h.Несложно проверить, что в случае h(x, y) = y ограничение формы θ —мероморфная 1-форма θ ∈ Λ1 (S, 0) ⊗ M (S, 0) — совпадает с 1-формой, заданной формулой (14.2), а ограничение g| совпадает с функцией b(x) из той жеформулы.Доказательство. Поскольку форма ω обращается в нуль на TS, для всех точекx ∈ S имеем ω(x) = g(x) dh(x): две 1-формы с общим ядром пропорциональны.
Голоморфную функцию g : (S, 0) → C, изначально определённую лишь на S, можнопродолжить в окрестность кривой S в (C2 , 0); это продолжение, которое мы тожебудем обозначать g, обращается в нуль только в особых точках формы ω на кривой S.Разность ω − g dh обращается в нуль во всех точках кривой S, поэтому она делитсяна h: ω − g dh = hϑ, где ϑ — голоморфная 1-форма. Обозначим через θ мероморфную1-форму θ = g −1 ϑ, в результате получим представление формы ω в виде (14.3).268Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийПродолжение функции g с кривой S на M можно выбирать по-разному, в результате будут получаться разные формы θ .
Докажем, что тем не менее ограничениефункции g на S и формы θ на TS определены однозначно. Действительно, пустьω = g 0 (dh − h θ 0 ) — другое представление. Ограничивая равенствоg(dh − h θ ) = g 0 (dh − h θ 0 )(14.4)на поверхность S, получаем g| dh = g 0 | dh, откуда g| = g 0 | . Следовательно, разностьэтих функций g − g0 делится на h: g 0 = g + uh. Подставляя выражение для g0 в (14.4),получаем равенство g(dh − h θ ) = (g + uh)(dh − h θ 0 ), откуда g(θ 0 − θ ) = u(dh − hθ 0 ).Обе формы dh и hθ 0 обращаются в нуль на TS, поэтому ограничения форм θ и θ 0на TS совпадают.Следующее утверждение легко проверить прямыми вычислениями.Предложение 14.5. Форма связности θ не меняется при замене формы ω на пропорциональную форму uω, где u| 6= 0.
Если функцию h заменить на пропорциональнуюфункцию h0 = vh, v| 6= 0, то форма θ заменится на формуθ 0 = θ + v −1 dv,v| 6= 0.(14.5)Следовательно, вычет res θ формы (14.3) не зависит ни от выбора формы ω,ни от выбора голоморфной функции h, задающей локально кривую S.Для удобства будем считать, что индекс голоморфной кривой в неособойточке слоения всегда равен нулю.Следующее предложение объясняет, почему индекс Камачо — Сада действительно обобщает понятие характеристического числа.Предложение 14.6.
Пусть S = S1 — гладкая инвариантная кривая, проходящая через элементарную особую точку слоения F на плоскости.Если собственное значение λ1 матрицы линеаризации, отвечающее собственному вектору, касательному к S, не равно нулю, то индекс особойточки равен характеристическому числу λ2 /λ1 , где λ2 — второе собственноезначение, нулевое или ненулевое: i(0, S1 , F ) = λ2 /λ1 .Доказательство. Для доказательства этого предложения достаточно вычислить индекс Камачо — Сада в системе координат, в которой 2-струя поляимеет вид, приведённый в табл. 4.1 (с.
79).В качестве немедленного следствия мы заключаем, что для слоения,имеющего две трансверсальные гладкие сепаратрисы S1 , S2 в элементарнойособой точке, соответствующие индексы взаимно обратны:i(0, S1 , F ) =λ2= [i(0, S2 , F )]−1 .λ1(14.6)Индекс гиперболической инвариантной кривой седлоузла равен нулю.Заметим, однако, что если седлоузел имеет голоморфное центральное многообразие, то его индекс вполне может быть ненулевым: для нормальной формыω = y dx − (x + ax 2−1 ) dy индекс центрального многообразия в точке 0 равенres=0dx= res0 [x − (1 − ax −1 + . . .)] = −a.x + ax 2−1§ 14.3.
Суммарный индекс вдоль гладкой компактной инвариантной кривой269§ 14.3. Суммарный индекс вдоль гладкойкомпактной инвариантной кривойЭтот параграф посвящён глобальному аналогу локальной конструкции,описанной в предыдущем параграфе.Рассмотрим слоение с особенностями F, заданное на голоморфномдвумерном многообразии M. Допустим, F имеет гладкую сепаратрису — глобальную голоморфную кривую S ⊂ M. Фиксируем атлас {Uα } на M. В каждойкарте Uα слоение задаётся пфаффовым уравнением {ωα = 0}, а сепаратриса —голоморфным уравнением {hα = 0}, дифференциал которого dhα не обращается в нуль на S. На попарных пересечениях Uαβ = Uα ∩ Uβ координатныхокрестностей соответствующие формы и функции отличаются на обратимыеголоморфные множители:ωα = uαβ ωβ , hα = vαβ hβ ,(14.7)11uβα =, vβα =, uαβ , vαβ ∈ O (Uαβ ).uαβvαβВ силу предложения 14.4, если окрестности Uα достаточно малы, тоформы ωα можно выбирать в виде ωα = dhα − hα θα .
При этом ограничение 1-формы θα на S однозначно определено. Предложение 14.5 позволяетпереписать (14.7) в терминах форм θα :hα = vαβ hβ ,θα = θβ +hα , vαβ ∈ O (Uαβ ),dvαβ,vαβθα ∈ Λ1 (S ∩ Uα ) ⊗ M (S ∩ Uα ).(14.8)Этот набор форм будет позже отождествлён в главе 17 с мероморфной связностью на нормальном линейном расслоении над S.Теорема 14.7. Пусть S — гладкая компактная голоморфная кривая накомплексном двумерном многообразии M. Тогда для всех слоений F на M,касающихся кривой S, сумма индексов слоения F во всех особых точкахSing F ∩ S одна и та же и зависит только от S и M:Xi(a, S, F ) = c(S, M).(14.9)∈Доказательство. Пусть F и F 0 — два слоения, касательные к S. Фиксируем атлас {Uα } на M и набор локальных уравнений {hα = 0}, задающихкривую S в картах этого атласа.Конструкция, описанная в начале этого параграфа, даёт два наборамероморфных 1-форм, которые мы обозначим через θα и θα0 соответственно,причём ограничения этих форм на S определены однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
