Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Именно это действие окружности использовалЖолондек в [83] для упрощения доказательства радикальности.Для доказательства теоремы 13.3 мы докажем по очереди, что каждая изчетырёх компонент (13.10) соответствует интегрируемым системам.Случай 1. V : Гамильтоновы системы.
Дивергенция векторного поля (13.6)равнаi + 2Az + Bw + (−i) + B0 z + 2A0 w = z(2A + B0 ) + w(2A0 + B)260Глава 13. Квадратичные векторные поля и теорема Баутинаи тождественно обращается в нуль на компоненте V . Значит, векторныеполя из V гамильтоновы, и их гамильтониан — это кубический многочлен1zw + . . .2При доказательстве интегрируемости векторных полей, принадлежащихтрём оставшимся компонентам множества (13.10), мы сначала будем проверять интегрируемость специальных наборов параметров из соответствующихкомпонент, а затем покажем, что подходящим действием (13.11) любую другуюточку этой компоненты можно привести к этому специальному виду.Случай 2. V : Симметрические, или обратимые системы.
Компонента Vпараметризует системы, чьи фазовые портреты симметричны относительнопрямой, проходящей через начало координат.Действительно, еслиA0 = −A,B0 = −B,C 0 = −C,(13.12)то поле (13.6) антиинвариантно относительно симметрии σ : (z, w) 7→ (w, z),т. е. эта симметрия сохраняет поле с точностью до умножения на константу −1: σ∗ F = −F.
Поэтому его фазовый портрет — комплексное голоморфноеслоение F — симметрично (отображение σ переводит слои в слои). Мыутверждаем, что из этой симметрии следует интегрируемость.Действительно, рассмотрим раздутие F 0 слоения F и обозначим через ∆Rотображение голономии (полумонодромии) слоения F 0, соответствующеесимметричной трансверсали τ = {z + w = 0}; см. определение 10.11. Симметрия σ меняет ориентацию цикла (экватора) R ⊂ E на исключительномдивизоре E.
С другой стороны, она не меняет точки пересечения листовс трансверсалью. Поэтому ∆−1R = ∆σ(R) = ∆R , т. е. отображение ∆R — инво2люция: ∆R = id, и особая точка поля F является центром.Теперь мы утверждаем, что любую комбинацию параметров на компонентеV можно привести к специальному виду (13.12) подходящим действием (13.11).Действительно, уравнения, задающие компоненту V , можно свести к виду 0 3AB0BC0,(13.13)= .0 =ABBCПодходящим выбором числа γ можно сделать отношение A/A0 равным −1.Тогда из уравнений (13.13) следует, что остальные два отношения B0/B и C 0/Cтоже равны −1, т. е. условия (13.12) выполнены. Таким образом, любая комбинация параметров на V соответствует полю, симметричному относительнонекоторой оси, а значит, интегрируемому.Случаи Дарбу.
В двух оставшихся случаях векторное поле имеет несколько(вещественно-алгебраических) инвариантных кривыхQp (z, w) = 0. По функαциям p можно построить интегралы Дарбу вида Φ =p с подходящими(вообще говоря, нецелыми или даже невещественными) показателями экспонент α ∈ C.Случай 3. V4 : Треугольник Дарбу. Компонента V4 задана уравнениямиB = B0 = 0, соответствует векторным полям, имеющим (в случае общего положения) три инвариантные прямые. Чтобы их найти, заметим, что прямая{w −z =α}, α ∈ C, инвариантна относительно поля (13.6) с B =0 тогда и только§ 13.4.
Доказательство теоремы Дюлака 13.3261тогда, когдаC 0 + A0 = C + A,2α(C − A0 ) + 2i = 0,α2 (C − A0 ) + iα = 0.(13.14)Чтобы это проверить, достаточно продифференцировать функцию z − w + αвдоль поля (13.6) и ограничить полученное выражение iz + Az2 + Cw 2 ++ iw − C 0 z2 − A0 w 2 на прямую w = z + α; соответствующий квадратныймногочлен должен быть тождественно равен нулю, откуда получаются триуравнения (13.14).Система (13.14) имеет решение только в случаеC 0 + A0 = C + A;(13.15)более того, если C 6= A0 (т.
е. в ситуации общего положения), это решениедействительно существует. Для произвольной комбинации A, C, A0 , C 0 условие(13.15) можно обеспечить, сделав подходящее отображение вида (13.11): дляэтого достаточно решить уравнениеγ−3 C + γA = γ3 C 0 + γ−1 A0(13.16)относительно γ ∈ C\{0}. Это уравнение шестой степени, кубическое относительно γ2 , в ситуации общего положения имеет три пары корней. Корнив каждой паре отличаются знаком; каждая пара корней соответствует инвариантной прямой.Следовательно, для типичных наборов значений параметров из компоненты V4 векторное поле F имеет три инвариантные прямые p = 0, i = 1, 2, 3.Иногда какие-нибудь две из этих прямых совпадают.
Инвариантность этихпрямых означает, что производные Fp делятся на p в кольце многочленовот z, w. Пусть q — соответствующие кофакторы, т. е. такие многочлены, чтоFp = q p ,deg q = 1,i = 1, 2, 3.Так как p (0, 0) 6= 0 и F(0, 0) = 0, то q (0, 0) = 0.
Поскольку любые три однородные линейные формы на C2 линейноPзависимы, существуют ненулевыекомплексные числа α1 , α2 , α3 , такие чтоα q = 0. Следовательно,XX FpXFα ln p =α =α q = 0.pПоэтому функция Φ =Q31αp — первый интеграл:FΦ = Φ ·3αXFp 1αp =Φ·3Xα q = 0.1Поскольку p (0, 0) 6= 0, каждая ветвь Φ аналитична в особой точке.
Следовательно, компонента V4 соответствует векторным полям, интегрируемымпо Дарбу и имеющим инвариантный треугольник p1 p2 p3 = 0.Поэтому векторное поле общего положения, соответствующее компоненте V4 , является центром. Поскольку свойство быть центром замкнуто, всякомпонента V4 состоит из центров.262Глава 13. Квадратичные векторные поля и теорема БаутинаСлучай 4. VÇ : Мероморфно интегрируемые системы. В последнем оставшемся случае, когда параметры принадлежат компоненте VÇ , мы покажем,что существует мероморфный (рациональный) первый интеграл, равныйотношению двух многочленов степени 6, каждый из которых не равен нулюв особой точке.Подходящим действием (z, w) 7→ (γz, γ0 w), умножающим B на γ и B0 на γ0,векторное поле можно привести к виду B= B0 =1.
Из уравнений, задающих VÇ ,следует, чтоB = B0 = 1, A = A0 = 2, CC 0 = 1,(13.17)т. е. поле имеет видż = iz + 2z2 + zw + Cw 2 ,ẇ = −iw +1 2z + zw + 2w 2 .C(13.18)Мы покажем, что это векторное поле имеет две инвариантные кривые: квадратичную {p2 (z, w) = 0} и кубическую {p3 (z, w) = 0}, причём соответствующиекофакторы совпадают с точностью до умножения на рациональное число:Fp2 = 2(z + w)p2 ,Fp3 = 3(z + w)p3 .(13.19)Поэтому поле F имеет рациональный первый интеграл вида Φ = p23 p3−2 . МногочленыXXp2 (z, w) =(P2 ) z−1 w −1 и p3 (z, w) =(P3 ) z−1 w −1+¶3+¶4имеют следующие матрицы коэффициентов: 2i1+C−1 −2 i C 2 i −2 0 P2 = ,100C 61 + CP3 = −3 i C−1C2−61+C3 i (1 + C)C3C0−3 i C−300,000и выполнение условий (13.19) можно проверить прямым (хотя и трудоёмким)вычислением. Эти матрицы можно получить, решив уравнение (13.19) методом неопределённых коэффициентов.
Для этого удобно использовать системукомпьютерной алгебры, например Mathematica [77] или Maxima [46].Итак, все четыре компоненты (13.10) соответствуют центрам, что завершает доказательство теоремы 13.3.§ 13.5. Символьные вычисленияи «доказательство» теоремы Жолондека 13.4Нам надо доказать, что идеал, порождённый в кольце многочленов от шести переменных C[A, B, C, A0 , B0 , C 0 ] тремя многочленами g2 , g3 , g4 из (13.8), —радикальный.
Для проверки радикальности идеала разработаны хорошо работающие алгоритмы. Например, система компьютерной алгебры CoCoA имеет§ 13.6. Завершающие замечания263стандартные функции как для вычисления комплексного радикала, так и дляпроверки совпадения двух радикалов, заданных своими образующими, см. [12].␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣Use␣R::=Q[a,x,b,y,c,z];␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣G2:=ab-xy;␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣G3:=(2a+y)(a-2y)cy-(2x+b)(x-2b)zb;␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣G4:=(by-cz)((2a+y)y^2c-(2x+b)b^2z);␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣D:=Ideal(G2,G3,G4);␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣D=Radical(D);␣␣Рис.
13.1. Код для CoCoA, проверяющий радикальность идеала БаутинаКод, проверяющий радикальность идеала Баутина, приведён на рис. 13.1.Из-за технических ограничений языка (независимые переменные обязательно обозначать строчными буквами) мы обозначили переменные A, B, C, A0 ,B0 , C 0 через a,b,c,x,y,z соответственно. Первая строка сообщает компьютеру,что действия выполняются в кольце многочленов от шести переменных надполем нулевой характеристики. Далее вводятся многочлены G2, G3 и G4 и определяется идеал D, порождённый этими многочленами. Наконец, в последнейстроке проверяется равенство идеала D и его радикала Radical(D). После2–3 секунд вычислений на ноутбуке программа печатает TRUE. Это доказываеттеорему Жолондека.§ 13.6. Завершающие замечанияМы завершим доказательство теоремы Баутина двумя техническими замечаниями.Замечание 13.7.
«Комплексные обозначения» (т. е. запись квадратичных векторных полей в виде, в котором их линейные части диагонализируются) упрощаютвычисления не только для человека, но и для компьютера. Попытки вычислить радикалидеала Баутина B04 , записанного для вещественной системы (13.1), не увенчаласьуспехом, — возможно, потому что соответствующие многочлены g имеют слишкоммного мономов, и стандартные алгоритмы не работают (напомним, что мы работаемс многочленами степени 6 от 6 независимых переменных!).ÆЗамечание 13.8.
Для упрощения вычисления радикала B04 можно использоватьинформацию, содержащуюся в уравнениях четырёх компонент множества нулейидеала Дюлака (13.10). Действительно, этот радикал — пересечение четырёх идеаловJ4 , J , J и JÇ в C[A, . . . , C 0 ], состоящих из многочленов, обращающихся в нуль насоответствующих компонентах.Однако следует помнить, что в то время как три из наших идеаловJ4 = 〈B, B0 〉,J = 〈2A + B0, 2A0 + B〉,JÇ = 〈A − 2B0, A0 − 2B, BB0 − CC 0 〉радикальны, полиномиальные уравнения, задающие V в (13.10), порождают нерадикальный идеал, радикал которого имеет следующий вид:qp322J = 〈AB − A0 B0, B0 3 C − B3 C 0 〉= AB− A0 B0, B0 C −B3 C 0, AB0 C − A0 B2 C 0, A2 B0 C − A0 BC 0 .264Глава 13.
Квадратичные векторные поля и теорема БаутинаВ любом случае вычисление пересечения идеалов (т. е. нахождение базиса их пересечения), вообще говоря, задача стандартная, но утомительная; она сводитсяк многократному вычислению результантов и исключению переменных. После этогонадо решить задачу принадлежности — проверить, что все элементы построенногобазиса принадлежат B04 . Чтобы перепроверить описанное выше доказательство теоремы 13.4 на CoCoA, был написан другой скрипт на CoCoA, реализующий эти вычисления.Эти вычисления привели к тому же результату, что уменьшает вероятность человеческой или компьютерной ошибки.Упражнения и задачиКаждая прямая на плоскости имеет не более двух изолированных точеккасания с квадратичным векторным полем.
Из этого простого наблюдениянемедленно следует множество простых геометрических свойств вещественных квадратичных слоений. Все задачи, приведённые ниже, касаются квадратичных слоений (векторных полей).Задача 13.1. Докажите, что любая периодическая орбита выпукла.Задача 13.2. Докажите, что предельный цикл обязательно имеет внутриособую точку.
Докажите, что эта точка не может быть ни седлом, ни узлом.Докажите, что эта точка единственна и обязана быть фокусом.Задача 13.3. Система Лотки — Вольтерры — это квадратичное векторноеполе, касающееся координатных осей и имеющее седло в начале координат.Выпишите явно это векторное поле и докажите, что оно имеет единственную особую точку в положительном квадранте {x, y > 0}. Найдите условия,гарантирующие, что одна из особых точек системы Лотки — Вольтерры является центром. Перечислите компоненты Дюлака, которым может принадлежатьсистема Лотки — Вольтерры.Задача 13.4.
Найдите цикличность особой точки 0 для аналитическоговозмущения квадратичного центра ż = iz + z 2 + zz + iz2 в классе квадратичныхвекторных полей.Глава 14Комплексные сепаратрисыголоморфных слоенийВ этой главе мы обобщим результаты § 7.1 о существовании голоморфныхинвариантных кривых со случая гиперболических или полугиперболическихособых точек на случай произвольных изолированных особых точек на комплексной плоскости C2 . Инвариантные кривые будут аналитическими, но,вообще говоря, особыми. Во многих случаях порядок такой кривой в особойточке оценивается сверху порядком векторного поля, порождающего слоение.Соответствующий результат в некотором смысле решает локальный вариантпроблемы Пуанкаре о степени алгебраических решений полиномиальныхдифференциальных уравнений.§ 14.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
