Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Действительно, форма θ1 не имеет особенностей в точке z3 , и поэтомуэто изменение не влияет на результат интегрирования вдоль `1 и `2 : ветвь y1на этих отрезках остаётся одной и той же. Поскольку θ3 зависит от µ линейно,а от λ — рационально, элементы матрицы β (λ, µ), i = 1, 2, тоже однозначныефункции от параметров λ, µ, линейные по µ.Обратно, если особая точка z3 = iλ делает полный оборот вдоль замкнутой кривой, вокруг, скажем, точки z2 = 2i, тогда соответствующий путь γ3e3 = γ2 γ3 γ−1заменяется на сопряжённый путь γ2 в фундаментальной группе(это называется действием группы кос на фундаментальную группу).
Следовательно, интегралZZy1 θ3 = 2πi ey1 (z3 ) res3 θ3 = iπ ey1 (z3 ) = α−1y1 θ3γ3e3γотличается от начального значения на множитель α , как результат переносана другую ветвь функции ey1 = α−1 y1 (первой компоненты). Точно так жерезультат обхода точки z1 = i состоит в умножении β3 на α.Другими словами, если α не корень из единицы, т. е.
если A — иррациональное число, то элементы матрицы β3 = β3 (λ) имеют точки логарифмического ветвления при λ = 1 и λ = 2 в полуплоскости {Re λ > 0}: когда λ обходит−1§ 10.7. Неразрешимость проблемы устойчивости для слабого фокуса205вокруг этих точек, значение β3 (λ) умножается на α или на α−1 соответственно.Поэтому для A ∈/ Q функция β3 (λ) является неалгебраической функцией от λ.Оператор голономии системы (10.17) вдоль пути Γ — это линейный оператор, представляемый в виде произведения трёх верхнетреугольных матрицM = M2 M3 M1 . Поэтому он сам является верхнетреугольной (2 × 2)-матрицейс единицами на диагонали.
Из анализа, проведённого выше, следует, чтоненулевой внедиагональный элемент β∗ = β∗ (µ, λ) произведения M равенсумме линейной формы µ, рациональной (однозначной) функции от λ итрансцендентной функции с нетривиальными логарифмическими точкамиветвления в λ = 1, 2.Мы покажем, что функция β∗ зависит от µ нетривиально. Для тогочтобы показать это, мы зафиксируем λ и устремим |µ| к бесконечности.Внедиагональный элемент оператора ∆Γ равен интегралуIIZy1 θ3 = µΓy1 dz + O(1) = µΓy1 dz + O(1)при |µ| → ∞.RОднако вдоль вещественного экватора R функция y1 однозначна и вездеположительна, как решение первого уравнения (10.17) с вещественной на Rформой θ1 и положительным начальным условием y1 (z0 ) = 1.
Поэтому получаем, что β∗ (µ, λ) = Cµ + L(λ), где C > 0, а функция L имеет логарифмическиеособые точки при λ = 1, 2.Поэтому условие тривиальности голономии M2 M3 M1 = E выполняется нанеалгебраической кривой {µ = −L(λ)/C} (графике трансцендентной функции) на плоскости (µ, λ) параметров.Замечание 10.22. Неалгебраичность условия {a3 (ω) = 0} в действительности не означает, что проблема различения центра и фокуса неразрешимав смысле определения 10.2.
Действительно, множество центров задаётся бесконечным числом уравнений {a (ω) = 0}, j = 2, 3, . . . , налагаемых на все коэффициенты Тейлора квадрата отображения монодромии ∆R ◦ ∆R . Хотя коэффициенты неалгебраические, соответствующее множество N , на котором исчезаютпервые k коэффициентов, может быть аналитическим подмножеством большего, но алгебраического многообразия N0 ⊂ J .
Если коразмерность N0 стремитсяк бесконечности вместе с k, то альтернатива центр–фокус разрешима.Что действительно следует из теоремы 10.21, так это алгебраическаянеразрешимость устойчивости по Ляпунову для обобщённых эллиптическихособенностей. Действительно, устойчивые фокусы соответствуют областямS+ ={a3 >0}, тогда как неустойчивые определяются неравенством S− ={a3 <0}.Эти множества открыты в области {a1 = 0} любого пространства струй J ,и гиперповерхность, отделяющая их, вещественно-аналитическая, но не алгебраическая. Очевидно, эта ситуация несовместима с алгебраической разрешимостью вплоть до любой коразмерности.Возникает естественный вопрос: является ли проблема различения центраи фокуса аналитически разрешимой? (Определение аналитической разрешимости получается из определения алгебраической, если всюду алгебраичностьзаменить на аналитичность.) Оказывается, аналитическая разрешимость206Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачимеет место в некотором обобщённом смысле и не имеет места в смыслеисходного определения.Множество монодромных ростков разбивается на счётное множество«регулярных монодромных классов».
Внутри каждого класса схема раздутия(правда, по диаграмме Ньютона, а не с помощью σ-процесса) одна и та жедля всех ростков. Задача о разбиении на монодромные классы аналитическиразрешима. Проблема различения центра и фокуса в каждом таком классетоже аналитически разрешима, как доказала Н. Б. Медведева, см. [117].Однако граница устойчивости в монодромном классе может подходитьк границе самого класса неаналитически. Поэтому проблема различенияцентра и фокуса в классическом смысле аналитически неразрешима (Н.
Медведева, 2012; результат основан на совместной работе [105]).Упражнения и задачиУпражнение 10.1. Докажите, что никакая конечная струя вещественноаналитического векторного поля не может быть достаточной для центра.Указание. Рассмотрите вместе с полем F(z) (в комплексной записи) егомалое возмущение F(z) + i f (z)F(z), где скалярная функция f (z) быстро убывает в нуле и неотрицательна.Упражнение 10.2. Докажите, что свойство иметь локальный (строгий)минимум вполне алгебраически разрешимо для ростков вещественно-аналитических функций одной переменной.Изолированная особенность векторного поля (соответственно неподвижная точка отображения в себя) называется устойчивой по Ляпунову, если длялюбой открытой окрестности U этой точки найдётся (меньшая) окрестность V,такую что любая траектория этого поля (соответственно орбита отображенияв себя), начавшись в V, никогда не покинет U.Упражнение 10.3.
Докажите, что устойчивость по Ляпунову алгебраически разрешима для ростков вещественно-аналитических векторных полейна вещественной прямой.Задача 10.4. Докажите, что вопрос, является ли росток периодическимс периодом 2, алгебраически разрешим для ростков вещественно-аналитических отображений в себя с линейной частью x 7→ −x.Задача 10.5. Докажите, что проблема различения периодических и непериодических голоморфных отображений (C, 0) в себя алгебраически неразрешима.Указание. Докажите что эта проблема неразрешима для линейных отображений в себя.Упражнение 10.6.
Докажите, что эллиптическая особая точка (в смыслеопределения 4.28) является обобщённой эллиптической.Упражнение 10.7. Докажите утверждения, сформулированные в замечании 10.14.Задача 10.8. Пусть F, F 0 — два формально орбитально эквивалентныхобобщённых эллиптических формальных векторных поля. Докажите, чтоУпражнения и задачи207их формальные отображения монодромии, определённые согласно замечанию 10.17, формально сопряжены в группе Diff[[R1 , 0]].Задача 10.9. Рассмотрим множество B ростков голоморфных 1-форм,не имеющих особенностей на вещественной оси после первого раздутия(аналог условия обобщённой эллиптичности).
Будем называть форму ω ∈ Bпсевдоцентром, если оператор голономии ∆R вдоль петли RP 1 ⊂ P1 раздутогослоения 2-периодичен. В противном случае назовём росток псевдофокусом.Докажите, что множество B полуалгебраическое, но альтернатива псевдоцентр–псевдофокус в множестве B не является алгебраически разрешимойдо коразмерности 1.Упражнение 10.10.
Определите, для каких значений вещественных параметров a, b аналитическая особенностьẋ = −x 2 + axy + . . . ,ẏ = − y + bx 2 + . . .(многоточия заменяют члены степени не ниже 3) устойчива по Ляпунову.Задача 10.11. Дайте необходимое и достаточное условие устойчивостипо Ляпунову для немонодромных особых точек, имеющих недикритическоеполное разрешение особенностей.Задача 10.12. Докажите, что слабый фокус с отображением полумонодромии ∆R (x) = −x + ax 3 + . . . устойчив при a > 0 и неустойчив при a < 0.Задача 10.13. Каков порядок особой точки, получающейся при раздутиислоения F, определяемого пфаффовым уравнением (10.15) в окрестностиисключительного дивизора E?Задача 10.14.
Докажите, что проблема устойчивости по Ляпунову дляростков векторных полей на плоскости алгебраически разрешима до коразмерности 11, но не разрешима до коразмерности 12.Глава 11Голономия и первые интегралыВ этом параграфе мы изучим, как аналитические свойства слоений с особенностями связаны с их топологическими свойствами. Основным инструментом будет изучение конечно порождённых подгрупп группы Diff(C, 0),построенных по слоению. Следуя [48], мы с помощью одной из таких групп —группы исчезающей голономии — докажем теорему Пуанкаре — Ляпунова: эллиптическая особая точка вещественно-аналитического слоения является(топологическим) центром тогда и только тогда, когда слоение интегрируемо, т.
е. имеет нетривиальный аналитический первый интеграл. При этомдля обобщённых эллиптических слоений с вырожденной линейной частьюаналогичное утверждение неверно: слоение в окрестности центра можетне иметь аналитического первого интеграла.Вторая часть главы посвящена обобщению теоремы Пуанкаре — Ляпунована случай произвольных изолированных особенностей голоморфных (невещественных) слоений на (C2 , 0). Следуя замечательной статье Ж.-Ф. Маттеии Р. Муссю [45], мы введём класс (топологически) простых слоений и покажем, что простота голоморфного слоения необходима и достаточна для егоаналитической интегрируемости.§ 11.1.
Проблема интегрируемости и её разрешимостьДо сих пор мы встречались с тремя значениями термина «интегрируемость»:для распределений: существование слоения, касательного к распределению;для дифференциальных уравнений: разрешимость в квадратурах;для групп конформных ростков: существование функции, постояннойвдоль орбит.Сейчас мы определим понятие интегрируемого слоения, близкое к понятию интегрируемой группы конформных ростков.Определение 11.1. Говорят, что слоение (с особенностями или без)F = {ω = 0} на (C2 , 0) интегрируемо вблизи нуля, если существует ростокнепостоянной голоморфной функции u ∈ O (C2 , 0), такой что ω ∧ du = 0.Функция u называется первым интегралом или просто интегралом слоения.Если слоение задано ростком векторного поля F ∈ D(C2 , 0), условие нафункцию u принимает вид Fu = 0.§ 11.1. Проблема интегрируемости и её разрешимость209Замечание 11.2.
Любое слоение интегрируемо вблизи неособой точки.Действительно, в этом случае существуют координаты (u, v), в которыхдиски слоения задаются равенством u = const, значит, u является первыминтегралом слоения.Каждый слой интегрируемого слоения полностью принадлежит линииуровня {u = const} и поэтому является аналитической кривой в (C2 , 0).Первый интеграл, если и существует, никоим образом не является единственным: если u ∈ O (C2 , 0), u(0) = 0, — первый интеграл слоения, то любаяфункция v = f ◦ u, зависящая только от u, тоже является первым интеграломэтого слоения. Если росток f ∈ O (C, 0) обратим в Diff(C, 0), эти два интеграла могут поменяться ролями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
