Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Во-первых, мы утверждаем, что все струи из этого дополнения топологически достаточны.Лемма 10.7. Струи из множества S топологически достаточны. Болееточно, ростки с k-струями в S = B\N имеют один из трёх «изолированных»топологических типов, ( j )−1 (S ) ⊆ M t M t M .Набросок доказательства. Эта лемма является уточнением теоремы 9.1.
Мыкратко наметим аргументы, которые могут быть преобразованы в строгое доказательство.Если j ω ∈/ N , то 1-форма ω с помощью формального орбитального преобразования может быть приведена к полиномиальному видуω = (±x + a x 2−1 ) dy + y dx,2 ¶ m ¶ k.Мы утверждаем, что ω является седлоузлом, седлом или узлом в зависимостиот чётности m и знака старшего коэффициента.
То, что эти данные однозначноопределяются k-струёй, доказывает достаточность последней.По теореме о центральном многообразии [37], существует инвариантная кривая C,касающаяся оси y = 0 (вообще, это центральное многообразие лишь конечно гладкое,но в случае плоскости можно доказать его C ∞ -гладкость, см. [111]). Кривая C имеетплоское касание с осью y = 0 в начале координат.§ 10.2.
Топологическая классификация вырожденных элементарных особенностей193Рассмотрим вещественно-аналитическое векторное поле на плоскостиF = (±x + . . .)∂∂−y ,∂x∂yпорождающее распределение {ω = 0}. Его ограничение на центральное многообразие C есть гладкое векторное поле, чей топологический тип определяется порядком mи знаком главного коэффициента. Это ограничение топологически эквивалентно полю∂±x . Соответствующий сопрягающий гомеоморфизм оси x сохраняет ориентацию.∂xПо принципу сведения Пью — Шуба — Шошитайшвили ([53, 125, 124], см.
также [67]),векторное поле F топологически орбитально эквивалентно гиперболической надстройке над его ограничением на центральное многообразие. В нашем случае этоозначает, что росток F топологически орбитально эквивалентен векторному полюF0 = − y∂∂± x .∂y∂xТопологическая классификация этих полей очевидна.Замечание 10.8. Описание множеств струй S и N может быть переформулировано в терминах кратностей. А именно, k-струя ростка ω ∈ Bтопологически достаточна тогда и только тогда, когда кратность µ0 (ω) непревышает k.Доказательство теоремы 10.6.
Покажем, во-первых, что для любого kэлементы множества S , соответствующие струям, топологически достаточным для сёдел, узлов и седлоузлов, — полуалгебраические. Полуалгебраичность множества N следует из его определения.Действительно, рассмотрим действие всех k-струй отображений (R2 , 0)в себя H ∈ Diff[[R2 , 0]], касательных к тождественному, на линейной 1-формеy dx, т. е. всех 1-форм ω0 = f (X , Y ) · Y dX , с X , Y, f ∈ R[X , Y ], f (0, 0) = 1,X = x + . .
. , Y = y + . . . , после усечения на уровне k-струй. По определению,орбита этого действия совпадает с N . Без потери общности мы можем предположить, что deg X , Y, f ¶ k (члены высших порядков в этом случае можноотбросить). С другой стороны, коэффициенты ω0 являются полиномиальными функциями от коэффициентов полиномов X , Y, f, которые могут бытьпроизвольными. Таким образом, множество N есть полиномиальный образконечномерного аффинного пространства. По теореме Тарского — Зайденберга этот образ полуалгебраический в J (Λ1 ).
Очевидно, N также замкнутои коразмерность этого множества стремится к бесконечности при k → ∞.Поэтому множества достаточных струй S — полуалгебраические какдополнения к полуалгебраическим множествам N . Каждое достаточное множество состоит из трёх частей (достаточных компонент) S = S, t S, t S, .В принципе можно доказать полуалгебраичность каждой компоненты отдельно, используя этот же метод. Однако в нашем случае этот шаг может бытьзаменён общими рассуждениями.Различные достаточные компоненты принадлежат разным компонентамсвязности множества S , поскольку невозможно непрерывно продеформировать седло в узел или в седлоузел.
Но, как известно [15], компонентасвязности полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством. Поэтому разбиение на топологические достаточные компоненты194Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачна уровне струй произвольного порядка полуалгебраично и коразмерностьмножеств нейтральных струй стремится к бесконечности. Алгебраическаяразрешимость топологической классификации, таким образом, доказана.Для того чтобы доказать полную разрешимость, мы воспользуемся замечанием 10.8. Согласно этом замечанию, ростки с нейтральными k-струямидолжны иметь кратность не менее k.
Поэтому вещественные аналитическиеростки, чьи струи любого порядка недостаточны, имеют бесконечную кратность, т. е. представляют неизолированную особенность в начале координат.По определению, эти ростки образуют отдельный класс M .§ 10.3. Обобщённые эллиптические точкии проблема различения центра и фокусаПолная разрешимость проблемы топологической классификации элементарных особых точек — это простой результат, доказательство которогоиспользует ряд важных понятий и инструментов.
Родственная проблема различения центра и фокуса, изучаемая со времён Пуанкаре, — одна из наиболеесложных задач в качественной теории обыкновенных дифференциальныхуравнений на плоскости. Мы обсудим алгебраическую разрешимость этойпроблемы для обобщённых эллиптических особенностей, для которых главныеоднородные члены гарантируют отсутствие характеристических траекторий;тем самым, обобщённые эллиптические особенности всегда монодромные.Для этих особенностей легко доказать, что альтернатива центр–фокус имеетместо (т. е. накопление периодических орбит к особой точке возможнотолько в случае центра). В этом параграфе мы покажем, что альтернативацентр–фокус для обобщённых эллиптических особенностей вполне алгебраически разрешима, если старшая однородная часть фиксирована.
Однакоесли старшие однородные члены рассматривать как переменные параметры,граница между устойчивым и неустойчивым фокусами окажется неалгебраической, как будет показано в § 10.7. Эта неразрешимость предсказанаА. Брюно и доказана в [110]. Здесь мы несколько упрощаем оригинальноедоказательство.Всюду в этом параграфе мы используем пфаффовы формы. Рассмотрим вещественное слоение с особенностями ω = 0, определяемое вещественно-аналитической пфаффовой формой, чьё разложение на однородные компонентыначинается с членов порядка n,ω = ω + ω+1 + .
. . ,p , q ∈ R[x, y],ω = p (x, y) dx + q (x, y) dy,deg p = deg q = k,n ¾ 1,k = n, n + 1, . . .(10.3)Определение 10.9. Особая точка называется обобщённой эллиптической,если вещественный однородный полиномh+1 = yp + xq ∈ R[x, y]не обращается в нуль ни в одной точке, кроме начала координат:h+1 (x, y) ≡ xp (x, y) + yq (x, y) 6= 0для (x, y) ∈ R2 \(0, 0).(10.4)§ 10.3.
Обобщённые эллиптические точки и проблема различения центра и фокуса195Рассмотрим комплексификацию особенности (10.3) и её последующеераздутие. По определению, это голоморфное слоение с особенностями F 0,определяемое малой комплексной окрестностью исключительного дивизораE = P1 на комплексной 2-мерной поверхности M (комплексная лента Мёбиуса). Эта поверхность покрыта двумя картами (x, z), z = y/x, и ( y, w), w = x/ y,соответственно. В карте (x, z) слоение F 0 определяется пфаффовой формойω0 = h+1 (1, z) + xh+2 (1, z) + x 2 h+3 (1, z) + .
. . dx ++ x q (1, z) + xq+1 (1, z) + x 2 q+2 (1, z) + . . . dz.(10.5)Здесь h+1 = xp + yq — однородные полиномы степени k + 1 от двух переменных, см. § 8.5, в частности (8.8).Особые точки F 0 на исключительном дивизоре являются корнями полиномаp (1, z) + zq (1, z) = x −(+1) h+1 (x, xz).Для обобщённой эллиптической особенности этот полином не тождественныйнуль, поэтому раздутие всегда недикритическое в смысле определения 8.12.Определение 10.9 гарантирует, что не существует особых точек слоения F 0на действительной прямой R ⊂ E в карте (x, z).
По схожим причинам точкаz = ∞ (образ которой — w = 0 во второй карте) тоже неособая.Таким образом, мы получаем инвариантное описание обобщённых эллиптических особенностей.Следствие 10.10 (инвариантное определение обобщённых эллиптическихособенностей). Вещественная аналитическая особенность называется обобщённой эллиптической тогда и только тогда, когда она недикритическаяи после раздутия все её особенности на исключительном дивизоре находятсявне вещественной проективной прямой (экватора) RP 1 ⊂ E ⊂ M.01Эллиптическая особенность с матрицей линеаризации −1 0 послераздутия имеет две особенности в точках z = ±i.Вещественный экватор RP 1 ' S1 — это замкнутая петля на римановойсфере S2 ' E, которая «выглядит» на аффинной карте C ⊂ E как вещественнаялиния R.
Поэтому легко определить отображение голономии ∆R вдоль этойпетли для F 0, т. е. для трансверсали τ = {z = 0} с координатной осью x, как локальную карту на ней. Поскольку форма ω была вещественно-аналитической,раздутие определяет вещественное слоение с особенностями ленты Мёбиуса, которая является окрестностью своей центральной петли. Отображениеголономии ∆R поэтому является вещественным аналитическим.Заметим, однако, что эта петля не принадлежит целиком ни одной канонической карте: для вычисления голономии приходится «продолжить» слоение вдоль z = ∞, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
