Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Схлопывая соответствующие двумерные поверхностисо слоениями на них, можно получить описание фазовых портретов вырожденных особых точек в терминах секторов, которые были введеныИ. Бендиксоном (1901), смотри также [30, гл. VII, § 8] и [51, § 2.11].Определение 9.2. «Стандартным сектором» (параболическим, гиперболическим или эллиптическим, см. рис. 9.2) называется росток стандартного ориентированного слоения F , Fℎ или F , определённого в квадранте{x ¾ 0, y ¾ 0}\{0} ⊆ (R2 , 0) векторным полем∂∂+y(параболический),∂x∂y∂∂(ii) Fℎ = x − y(гиперболический),∂x∂y∂(iii) F = z 4 , z = x + iy (эллиптический).∂z(i) F = xПоскольку ограничивающие лучи сектора являются листами стандартныхслоений, стандартные секторы разных типов могут быть занумерованы циклически и склеены друг с другом так, что образуется ориентированное слоениена (R2 , 0)\{0} (эта конструкция может быть реализована в любой гладкости,но в общем случая не в вещественно-аналитическом классе).
Если слоениев окрестности неэлементарной особой точки векторного поля на плоскоститопологически эквивалентно слоению, полученному описанной хирургией,причём границы секторов являются характеристическими траекториямиРис. 9.2. Гиперболический, параболический и эллиптический секторы174Глава 9. Векторные поля на плоскости(входят в 0 с определённой касательной), будем говорить, что в окрестностиособой точки произведено секториальное разбиение.Замечание 9.3 (предупреждение). Границы между секторами в секториальном разбиении определены неоднозначно, см.
упражнение 9.9.§ 9.3. Монодромные особые точки,характеристические орбиты, предельные циклыНе все особые точки, однако, допускают секториальное разбиение (например, центры). Для описания достаточных условий наличия секториальногоразбиения нам понадобятся следующие определения, которые принимаютнаиболее простую форму после применения раздутия.Пусть F — слоение, задаваемое вещественным аналитическим полемна (R2 , 0), и F 0 — его раздутие, слоение на (вещественном, стандартном)листе Мёбиуса M = R M, как описано в замечании 8.5.Определение 9.4. Лист L слоения F, заданный как параметризованная кривая γ: (−T , +∞) → (R2 , 0), t 7→ γ(t), называется характеристическойтраекторией (или характеристической кривой), если lim →+∞ γ(t) = 0 и проe(t) = σ−1 (γ(t)) имеет корректно определённый предел a = lim →+∞ γe(t)образ γна исключительном дивизоре C ⊂ M.Другими словами, характеристическая орбита является полубесконечнойтраекторией, которая стремится в соответствующем пределе (когда времястремится к плюс или минус бесконечности) к особой точке вдоль некоторогонаправления.Предел a ∈ C соответствует предельному угловому коэффициенту, с которым лист L исходного слоения F стремится к особой точке в началекоординат.Замечание 9.5 (предупреждение).
Раздутием σ вещественно-аналитического ориентированного слоения F является также вещественно-аналитическое ориентированное слоение F 0, однако ориентация листа прообразаL0 = σ−1 (L) ∈ F 0 может отличаться от индуцированной листом исходного слоения L ∈ F (достаточно рассмотреть стандартный узел, заданный эйлеровымполем и его невырожденное дикритическое раздутие).Пусть слоение F недикритическое и a ∈ M — неособая точка F 0 на центральной окружности C = σ−1 (0) ⊂ M. Рассмотрим трансверсальное сечениеτ: (R1 , 0) → (M, a) слоения F 0 в точке a.
Если на C есть особые точки,то стандартное отображение монодромии, получаемое при таком выборетрансверсали, может быть не определено. Однако для некоторых типовособых точек всё же можно определить отображение монодромии, не уходяв комплексную область.Определение 9.6. Слоение F называется монодромным, если все неособые листы L 6⊆ C, пересекающие трансверсаль τ достаточно близко к a,пересекают его как минимум один раз в прямом и обратном времени.§ 9.3.
Монодромные особые точки, характеристические орбиты, предельные циклы175Рис. 9.3. Отображения первого и второго возвращениядля слоений на вещественной ленте МёбиусаПример 9.7. Среди слоений, задаваемых линейными векторными полямина плоскости, только центры и фокусы являются монодромными.Для монодромных слоений можно определить росток отображения монодромии ∆=∆τ : (τ, a)→(τ, a) как отображение первого возвращения, соответствующее трансверсали τ. Однако (в основном по причинам историческогохарактера) монодромия определяется как отображение второго возвращения.Действительно, в силу топологии вещественной ленты Мёбиуса, любаятраектория (лист), близкая к центральной окружности C, пересекает трансверсаль τ: (R, 0) → (C, a) с двух сторон так, что знаки локальных координатпоследовательных пересечений чередуются. После двух оборотов вдоль лентылюбой лист монодромной особой точки снова пересекает трансверсаль τс той же стороны, см.
рис. 9.3.Определение 9.8. Отображением монодромии монодромной особойточки называется отображение первого возвращения для положительнойполутрансверсали τ+ : (R+ , 0) → (C, a), исходящей из неособой точки центральной окружности.Это отображение совпадает с квадратом (второй итерацией) голономиивещественного исключительного дивизора C ⊂ M, если на дивизоре нетвещественных особых точек слоения.Замечание 9.9. Свойство монодромности не является топологически инвариантным: фокус является монодромным, а узел, который топологическиэквивалентен фокусу, таковым не является.В качестве простого упражнения читателю предлагается доказать, чтоизолированная особая точка вещественно-аналитического слоения является центром, т.
е. топологически эквивалентна соответствующему полюиз табл. 9.1, тогда и только тогда, когда все неособые слои замкнуты (компактны, гомеоморфны окружности).Определение 9.10. Особая точка является фокусом, если она являетсямонодромным топологическим узлом.176Глава 9. Векторные поля на плоскостиМонодромная особая точка является фокусом тогда и только тогда, когдав некоторой её окрестности нет периодических орбит (см.
задачу 9.3).И в заключение мы определим один из наиболее трудно уловимых объектов в аналитической теории аналитических дифференциальных уравнений.Определение 9.11. Предельным циклом векторного поля на плоскостиназывается изолированная периодическая траектория (изолированный компактный слой соответствующего слоения).Периодическая траектория, имеющая кольцевую окрестность, сплошьзаполненную периодическими траекториями, называется тождественнымциклом.Другими словами, периодическая траектория является предельным циклом, если у неё имеется кольцевая окрестность, свободная от других периодических траекторий.
Тождественные циклы тесно связаны с центрами:действительно, каждая периодическая орбита, достаточно близкая к центру,является тождественным циклом.Для циклов вещественно-аналитических векторных полей на плоскоститретьего варианта не существует.Теорема 9.12. Периодическая орбита вещественно-аналитического векторного поля является либо предельным циклом, либо тождественным циклом.Доказательство. Поскольку любой цикл является неодносвязным листомсоответствующего слоения, на произвольной трансверсали можно определитьотображение голономии ∆ ∈ Diff(R1 , 0). Это отображение будет вещественно-аналитичным по построению, и любая периодическая орбита, близкаяк исходной, соответствует неподвижной точке ∆.
Однако вещественно-аналитическое отображение на себя, не совпадающее с тождественным, можетиметь только изолированные особые точки, что следует из теоремы единственности.§ 9.4. Основная альтернатива и топологическаяклассификация особых точекс характеристическими орбитамиОчевидно, что монодромные особые точки не могут иметь характеристических орбит, поскольку последние создали бы барьер, препятствующийнаматыванию по спирали вдоль центральной окружности C. Поскольку обратное утверждение также верно, имеется следующая основная альтернатива.Теорема 9.13 (основная альтернатива).
Изолированная особая точкавещественно-аналитического слоения на плоскости либо является монодромной, либо имеет характеристическую траекторию.Слоение является монодромным, если и только если после полного разрешения особенностей в угловых точках исключительного дивизора (см. определение 8.16) появляются лишь топологические сёдла (вырожденные илигиперболические) и все раздутия, выполненные в ходе этого разрешенияособенностей, являются недикритическими.§ 9.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
