Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. они переносятся такими отображениями с одного многообразия на другое. Пусть π: M 0 → M — непостоянное голоморфноеотображениеP между двумя связными многообразиями одинаковой размерности и D = kγ γ — дивизор на M, определённый мероморфной коцепью { fα }.Определение 8.21. Прообразом π−1 (D) дивизора D ∈ Div(M) называетсятакой дивизор на многообразии M 0, который в открытых областях (картах)Uα0 = π−1 (Uα ) определяется мероморфной коцепью fα0 = π∗ fα = fα ◦ π ∈ M (Uα0 ).Так как π∗ является гомоморфизмом колец, операция взятия прообразакоммутирует со сложением и вычитанием дивизоров: для любых двух дивизоров D, D 0 на многообразии Mπ−1 (D ± D 0 ) = π−1 (D) ± π−1 (D 0 ).Другими словами, π−1 : Div(M) → Div(M 0 ) является гомоморфизмом абелевыхгрупп.PПримерn различных прямых 1 ` соответствует функцияQ 8.22.
Суммеf (x, y) =l ∈ O (C2 , 0) (произведение n различных линейных множителей). Прообразом этой суммы относительномоноидального отображенияPσ : M → C2 является дивизор nE + 1 è , где E — исключительный дивизор,а è — раздутия прямых ` .§ 8.7. Кратность пересечения и индекс пересеченияВ этом параграфе мы определим кратность пересечения двух дивизоров(кривых) в изолированной точке, а также глобальный индекс пересечениядивизоров. Более подробное изложение можно найти в [21, 45, 121].
Теорему152Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиоб эквивалентности различных определений можно найти в [95, § 5], а теорияпересечений в алгебраическом контексте излагается, например, в [123, гл. IV].Мы начнём с частного случая эффективных дивизоров и сначала определим локальную кратность их пересечения в общей точке, скажем началекоординат плоскости C2 . Пусть f, g ∈ O (C2 , 0) — два голоморфных росткаи D , D — соответствующие эффективные дивизоры в окрестности (C2 , 0).Мы называем пересечение дивизоров D и D в начале координат изолированным, если |D | ∩ |D | ∩ (C2 , 0) = {0} (на уровне ростков аналитическихмножеств).
Пересечение дивизоров изолировано тогда и только тогда, когдани одна неприводимая компонента не входит в оба дивизора с положительными коэффициентами, т. е. когда у ростков f, g нет общих неприводимыхмножителей в кольце O (C2 , 0). В этом случае мы можем дать несколькоэквивалентных определений кратности пересечения µ = D .0 D дивизоров Dи D в начале координат a = 0.8.7.1.
Алгебраическая конструкцияРассмотрим идеал I, = 〈 f, g〉 ⊂ O (C2 , 0), порождённый ростками f, g в локальном кольце ростков, а также локальную факторалгебру Q, = O (C2 ,0)/I,как линейные пространства над C. Алгебраическая кратность пересеченияопределяется как размерность локальной алгебры (коразмерность идеала):D .0 D = dimC Q, = codimO (C2 ,0) I, ,I, = 〈 f, g〉 ⊂ O (C , 0),2гдеQ, = O (C , 0)/I, .2(8.11)По определению, равенство dim Q, = µ < +∞ означает, что существуютростки e1 , . .
. , eµ , являющиеся базисом локальной алгебры: любой ростокu ∈ O (C2 , 0) представим в видеu=µXc e + af + bg,c1 , . . . , cµ ∈ C,a, b ∈ O (C2 , 0),(8.12)1и постоянные коэффициенты c определены однозначно. Согласно этомуопределению, кратность пересечения зависит только от идеала 〈 f, g〉.8.7.2. Геометрическая конструкцияЕсли пару аналитических функций ( f, g), рассматривать как координатные функции, то они определяют голоморфное отображение P = P, : (C2 , 0) →→ (C2 , 0). Если пересечение дивизоров D и D изолировано, то прообразомP −1 (0, 0) = (0, 0) является единственная точка. У отображений с такими свойствами существует целочисленный топологический инвариант — степень.Рассмотрим «нормализацию» отображения P — отображениеP(x, y)Pb = Pb, : (x, y) 7→.|P(x, y)|Нормализованное отображение Pb не является аналитическим — только дифференцируемым, и его область значений содержится в единичной сфереS31 = {|z|2 + |w|2 = 1}.§ 8.7.
Кратность пересечения и индекс пересечения153Геометрическая кратность пересечения дивизоров D и D в начале координат определяется как топологическая степень отображения Pb в ограничении на маленькую трёхмерную вещественную сферу S3ρ = {|x|2 + | y|2 = ρ} ⊂⊂ C 2 ' R4 :D .0 D = top deg0 Pb, , Pb, : S3ρ → S31 ,(8.13)( f (x, y), g(x, y)).Pb, : (x, y) 7→22| f (x, y)| + |g(x, y)|Напомним, что топологическая степень — это топологический инвариант,равный количеству прообразов типичной точки образа (с учётом знака,который определяется ориентацией). Из свойств топологической степениследует, что так определённая кратность не зависит от параметра ρ > 0.8.7.3. Деформационная конструкцияПусть положительное число ρ > 0 будет настолько маленьким, что у системы уравнений { f = 0, g = 0} существует единственное решение {x = y = 0}внутри шара Bρ = {|x|2 + | y|2 < ρ} (как и раньше, f, g ∈ A (Bρ ) — голоморфныепредставители исходных ростков).
Тогда для почти всех достаточно малых(по сравнению с ρ) комплексных значений a, b ∈ C, |a|, |b| < ", голоморфные линии уровня { f = a} и {g = b} являются гладкими внутри шара Bρи пересекаются трансверсально. Это следует из леммы Сарда: достаточнопотребовать, чтобы a было регулярным значением для функции f, а b —регулярным значением для функции g, ограниченной на неособую кривую{ f = a}.
Из трансверсальности следует, что пересечение { f = a} ∩ {g = b} ∩ Bρсостоит из изолированных точек. Деформационной кратностью пересечениядивизоров D и D в начале координат называется количество этих точек:D .0 D = #{ f = a} ∩ {g = b} ∩ Bρ для типичной точки (a, b) ∈ (C2 , 0). (8.14)Априори неясно, почему это определение имеет смысл и почему определённоевыше число одинаково для всех типичных комбинаций (a, b).8.7.4. Определение кратностиОдин из центральных результатов теории особенностей утверждает, чтоэти три определения кратности эквивалентны.Теорема 8.23. Для любой пары ростков f, g ∈ O (C2 , 0), в разложениикоторых на неприводимые множители нет общих множителей, все три определения (8.11), (8.13) и (8.14) задают одно и то же конечное число µ=µ, ∈Z+ .
Доказательство этой теоремы можно найти в [95, § 5].Определение 8.24. Число µ, из теоремы 8.23 называется кратностьюпересечения дивизоров D и D в начале координат.Замечание 8.25. Идеи доказательства теоремы 8.23 довольно естественны и могутбыть описаны следующим образом.Совпадение геометрического и деформационного определений на самом делеследует из теоремы о сумме индексов особых точек векторного поля, которую следуетприменить к векторному полю P−, − ∈ D(Bρ ), заданному координатами ( f − a, g − b),154Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостив шаре Bρ . Эта сумма равна степени векторного поля на границе шара. Здесь важно,что каждое трансверсальное пересечение в комплексном случае соответствует особойточке поля с индексом +1 (в отличие от вещественного случая, где индекс может бытькак положителен, так и отрицателен). Степень векторного поля P−, − на границе шара — это непрерывная целочисленная функция от точек a, b, следовательно, она должна быть константой, равной своему пределу — степени поля P−0, −0 , а последняя совпадает с геометрической кратностью (8.13).
Эта идея может быть превращена в строгоедоказательство того, что геометрическая и деформационная кратности совпадают.В определении алгебраической кратности заменим ростки f, g голоморфнымифункциями f − a и g − b из кольца A (Bρ ) для некоторого положительного значения ρ.Тогда факторалгебра A (Bρ )/〈 f − a, g − b〉 изоморфна алгебре функций на µ различныхточках, где µ — это деформационная кратность, заданная формулой (8.14). Далее необходимы некоторые усилия для доказательства того, что размерность факторалгебрыостаётся неизменной при переходе к пределу при (a, b) → 0 ∈ C2 и при ρ → 0+ .
Послеэтих предельных переходов как раз и получается алгебраическая кратность.Удобным инструментом для подсчёта кратности пересечения являетсяследующая лемма. Допустим, что дивизор D является неприводимым (т. е.росток f неприводим в локальном кольце O (C2 , 0)). В таком случае на дивизоре D можно ввести (локальную) параметризацию с помощью инъективного отображения τ: (C1 , 0) → (C2 , 0) такого, что 0 ≡ f ◦ τ ∈ O (C1 , 0)(см. теорему 2.26).Лемма 8.26. Пересечение неприводимого локального дивизора D с другимэффективным локальным дивизором D изолировано тогда и только тогда,когда росток g ◦ τ не равен тождественно нулю, и кратность пересеченияD .0 D равна порядку нуля ord0 (g ◦ τ).Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
