Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Естественные голоморфные отображенияπ: Uα0 → Uα совпадают с моноидальным отображением σ, если карта Uα — специальная,и являются тождественными в противном случае. Очевидно, что эти отображениясогласуются с отношениями эквивалентности ∼, ∼0 и, следовательно, определяютголоморфное отображение π: M 0 → M с требуемыми локальными свойствами.§ 8.3. Раздутие аналитических кривыхи слоений с особенностямиКак и любое другое голоморфное отображение, σ : (M, E) → (C2 , 0) задаёт перенос голоморфных функций, форм и аналитических подмножествс (C2 , 0) на поверхность M.
Однако на исключительном дивизоре E результатполучается весьма вырожденным.144Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиАльтернативным вариантом является перенос объектов с проколотойплоскости C2 \{0} на дополнение M\E к исключительному дивизору, а затем —их продолжение тем или иным способом на исключительный дивизор E.Результат этой операции называется раздутием (разрешением) изначальногообъекта.Более подробное описание конструкции получается немного разным дляаналитических кривых и для голоморфных слоений с особенностями.8.3.1. Раздутие аналитических кривыхНапомним, что обратное отображение σ−1 является биголоморфизмоммежду C2 \{0} и M\E.Определение 8.9.
Раздутием аналитической кривой γ ⊆ (C2 , 0) являетсязамыкание (в M) прообраза проколотой кривой γ\{0}:e = σ−1 (γ\{0}).γ(8.4)e аналитическая в M. ЭтоМы должны проверить, что полученная кривая γможно доказать, вычислив раздутие кривой в явном виде.Предложение 8.10. Раздутие любой аналитической кривой снова является аналитической кривой на (M, E), пересекающей исключительный дивизор Eтолько в изолированных точках.Доказательство. Уравнение раздутой кривой в M получается переносомуравнения кривой γ на поверхность M и сокращением членов, тождественнообращающихся в нуль на исключительном дивизоре E.
Однако, в силу специальных свойств кривой E в M (см. замечание 8.6), эту операцию можноосуществить лишь локально.Рассмотрим произвольный голоморфный росток f, определяющий кривую γ, а также его перенос f 0 = σ∗ f = f ◦ σ ∈ O (M). Для каждой точки a ∈ Eросток отображения f 0 ∈ O (M, a) в локальном кольце O (M, a) тождественнообращается в нуль на кривой E, поэтому его можно разделить на максимальную степень g ν , ν ¾ 1, где g ∈ O (M, a) — любой неприводимый росток,локально задающий кривую E = {g = 0} в окрестности точки a.
После делениямы получаем росток fe = g −ν f ∈ O (M, a) со следующими свойствами:1) вне кривой E ростки (в точке a) множеств σ−1 (γ) = { f 0 = 0} совпадают;2) fe|E ≡6 0.e — кривая, которая в окрестностях точек a∈E задана уравнением { fe= 0},Пусть γeа в других точках — уравнением {σ∗ f = 0}. Если fe(a) 6= 0, то ростки кривых γee локальнои γ в точке a пустые. Если же f (a) = 0, то аналитическая кривая γсовпадает с одноточечным замыканием прообраза множества γ\{0}.С другой стороны, раздутие кривой может быть определено как миниe ⊂ M, такая что σ(eмальная аналитическая кривая γγ) = γ.
Заметим, чтов общем случае эта кривая может оказаться несвязной.§ 8.4. Теорема о разрешении особенностей1458.3.2. Раздутие слоенийПусть F — голоморфное слоение (C2 , 0) (с особенностью в нуле), заданное голоморфной пфаффовой формой ω ∈ Λ1 (C2 , 0). По определениюэто означает, что F является слоением без особенностей на проколотойокрестности (C2 , 0)\{0}. Его прообраз σ−1 (F ) является слоением M\E безособенностей, заданным 1-формой σ∗ ω. Однако, поскольку codim E = 1, потеореме 2.20 этот прообраз может быть продолжен до голоморфного слоенияσ∗ F с изолированными особенностями на кривой E.Определение 8.11.
Раздутием слоения F на (C2 , 0) с особенностьюв нуле называется голоморфное слоение Fe = σ∗ F пространства M, являющееся продолжением слоения σ−1 (F ) пространства M\E.Априори существуют две возможности для слоения Fe: либо исключиe либо различные точкительный дивизор E является сепаратрисой слоения F,e В последнем случаекривой E принадлежат разным листам слоения F.eлисты слоения F пересекают кривую E трансверсально почти во всех еёточках, за исключением конечного числа точек касания и изолированныхeособенностей слоения F.Определение 8.12. Особая точка голоморфного слоения F пространства (C2 , 0) называется недикритической, если исключительный дивизорE = σ−1 (0) является сепаратрисой раздутого слоения σ∗ F, полученногос помощью простого моноидального отображения σ.В противном случае особая точка называется дикритической.Далее будет показано, что «типичные» особенности заданного порядкаявляются недикритическими, а дикритические особенности соответствуютвырождениям старшего однородного члена векторного поля, задающегослоение.Замечание 8.13.
Те же соображения можно перенести дословно на случайпроизвольного голоморфного непостоянного отображения π: (M, D)→(C2 , 0),схлопывающего голоморфную кривую D = π−1 (0) (в частности, приводимуюили имеющую особенности) в точку в начале координат и задающего биекцию между M\D и (C2 , 0)\{0}. Любое голоморфное слоение F пространства(C2 , 0) можно перенести на M\D и затем продолжить на всю кривую D, кромеконечного числа точек. Полученное слоение пространства M с особенностямимы будем обозначать через π∗ F и называть разрешением или раздутиемслоения F при помощи отображения π.§ 8.4.
Теорема о разрешении особенностейОказывается, особые точки любого голоморфного слоения можно свестик элементарным, применив раздутие несколько раз. Следующий результат былвпервые получен Иваром Бендиксоном (Ivar Bendixson) [4] в 1901 году и обобщён С. Лефшецем [41, 42], А. Ф. Андреевым [87, 88, 86] и А.
Зайденбергом [60].Ван ден Эссен значительно упростил доказательство в [21]; см. также [45].146Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиВ [17] Ф. Дюмортье получил обобщение этой теоремы на случай гладкихслоений и показал, что в этом случае можно избавиться и от касаний междуслоением и возникшими исключительными дивизорами. Недавно О. Клебанв [39] посчитал количество простых раздутий, необходимых для полногоразрешения изолированной особенности голоморфного слоения.Напомним (см.
определение 4.27), что особенность слоения F, определённого пфаффовым уравнением ω = 0, ω = f dx + g dy с коэффициентамиf, g ∈ O (C2 , 0) без общих множителей, называется элементарной, если матрица линеаризацииA=∂F(0, 0)∂(x, y)двойственного векторного поляF = −g∂∂+f∂x∂yимеет хотя бы одно ненулевое собственное число.Теорема 8.14 (И.
Бендиксон, А. Андреев, А. Зайденберг, С. Лефшец, Ф. Дюмортье). Для любой особенности голоморфного слоения F можно построитьголоморфную поверхность M, содержащую аналитическую кривую D, и голоморфное отображение π: (M, D) → (C2 , 0), задающее биекцию между множествами M\D и (C2 , 0)\{0}, такие что у раздутого слоения π∗ F имеютсятолько элементарные особенности на кривой D.Более точно, в качестве отображения π, разрешающего особенность,можно взять композицию конечного числа простых схлопываний.Исчезающий дивизор D = π−1 (0) является объединением конечногочислаSпроективных прямых, пересекающихся трансверсально: D = D , D ' P1 ,D ô D .Определение 8.15. Отображение π, удовлетворяющее теореме 8.14, называется хорошим раздутием особой точки слоения F.Определение 8.16.
Особая точка x ∈ D слоения π∗ F называется угловой, если она принадлежит пересечению двух прямых D ∩ D , и неугловойв противном случае.В этой главе мы приводим конструктивное доказательство теоремы 8.14,основанное на идее ван ден Эссена [21, 45]. Эта идея основана на понятиикратности изолированных особенностей голоморфных слоений, котороебудет введено в § 8.7–8.9, и на том, что для слоений с нулевой линейнойчастью в особой точке кратность уменьшается при раздутиях.Детальный анализ этого алгоритма приводит к следующей оценке сложности хорошего раздутия.Теорема 8.17. Количество простых раздутий, необходимое для разрешения изолированной особенности кратности µ, не превосходит 2µ + 1.Более сильный результат был получен О.
Клебаном в [39]. Он показал,что не более чем за µ + 2 шага можно не только превратить все особенностив элементарные, но и избавиться от всех точек касания между слоениемπ∗ F и исчезающим дивизором D (теорема 8.39).147§ 8.5. Раздутие в аффинной карте: вычисления§ 8.5. Раздутие в аффинной карте: вычисленияПусть ω = f dx + g dy ∈ Λ1 (C2 , 0) — голоморфная 1-форма с изолированнойособенностью порядка n. По определению это означает, что разложениекоэффициентов f, g этой формы в ряд Тейлора начинается с однородныхмногочленов f , g степени n и хотя бы один из этих двух многочленов неравен тождественно нулю:n = ord0 ω = min{ord0 f , ord0 g}.Рассмотрим форму σ∗ ω на комплексной ленте Мёбиуса M в координатах(x, z) карты U1 . В этой карте исключительный дивизор E определён уравнением {x = 0}, отображение σ принимает вид σ1 : (x, z) 7→ (x, xz) и переводитформу ω в форму ω1 = σ1∗ ω:ω1 = [ f (x, xz) + zg(x, xz)] dx + xg(x, xz) dz = x −1 [(σ1∗ h) dx + (σ1∗ g 0 ) dz],гдеh = x f + yg,g 0 = x 2 g,h, g 0 ∈ O (C2 , 0).(8.5)Оба коэффициента формы ω1 можно поделить как минимум на x .
Однако второй коэффициент делится даже на x +1 . С другой стороны, первыйкоэффициент тоже может иногда содержать множитель x +1 , если однородныймногочлен h+1 = x f + yg тождественно обращается в нуль.Для того чтобы продолжить слоение Fe = σ1−1 (F ) на прямую E = {x = 0}в карте U1 , мы должны разделить коэффициенты формы (8.5) на максимальную возможную степень x так, чтобы результат не был тождественнымнулём на E. Таким образом, мы получаем два случая, которые соответствуютдикритической и недикритической особенностям; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
