Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 35
Текст из файла (страница 35)
определение 8.12.Предложение 8.18. Особенность является недикритической, еслиord0 (x f + yg) = 1 + ord0 ω,(8.6)ord0 (x f + yg) > 1 + ord0 ω.(8.7)и дикритической, еслиВажную роль в вычислениях, относящихся к недикритическому случаю,будет играть однородный многочлен h+1 = x f + yg степени n + 1. Мыбудем называть его угловой формой за отсутствием более удачного названия.Множество нулей однородного многочлена h+1 можно рассматривать какподмножество проективной прямой P; эта прямая глобально изоморфнаисключительному дивизору E.Доказательство предложения 8.18.
Случай 1. Недикритическая особенность (8.6). В этом случае раздутие слоения F в карте U1 задаётся пфаффовымуравнением с изолированными особенностямиe 1 = 0,ωe 1 = [h+1 (1, z) + x(. . .)] dx + x[g (1, z) + x(. . .)] dz,ω(8.8)где f , g и h+1 = x f + yg являются однородными многочленами из пространства C[x, y], а многоточия обозначают некоторые голоморфные функции отпеременных x и z.148Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиe 1 = 0,Прямая E = {x = 0} является интегральной для поля направлений ωтаким образом, исключительный дивизор E в недикритическом случае окаe Особые точки Σ = Sing(σ∗ F )зывается сепаратрисой раздутого слоения F.eслоения F — это изолированные корни уравненияΣ = {x = 0, z = z },h+1 (1, z ) = 0.(8.9)Их количество (учитывая кратность) равно deg h+1 (1, z), что может бытьменьше, чем n + 1, если однородный многочлен h+1 (x, y) делится на x.В последнем случае точка z = ∞ ∈ P1 является особой и её нужно изучатьво второй аффинной карте U2 пространства M.
Множество особенностейΣ ⊂ P1 задаётся глобальным уравнением(x : y) ∈ P1 : h+1 (x, y) = 0 ,т. е. является множеством нулей проективизации угловой формы h+1 . Существует простое достаточное условие, гарантирующее элементарность особенности a ∈ Σ (см. предложение 8.20 ниже).Случай 2. Дикритическая особенность (8.7). В этом случае угловая форматождественно обращается в нуль, h+1 ≡ 0, и пфаффова форма с изолированными особенностями, определяющая раздутое слоение в аффинной карте U1 ,принимает видe 1 = 0,ωe 1 = [h+2 (1, z) + x(. .
.)] dx + [g (1, z) + x(. . .)] dz.ω(8.10)e 1 голоморфна на кривой E и трансверсальна к E вне множестваФорма ωT = {g (1, z) = 0} ⊂ E. Это означает, что листы раздутого слоения вне множества T пересекают исключительный дивизор E трансверсально. Заметим,что g 6≡ 0; в противном случае условие h+1 ≡ 0 означало бы, что f ≡ 0, а этопротиворечит предположению, что порядок формы ω в точности равен n.Точки множества T могут соответствовать либо точкам касания, еслиh+2 (1, z) не обращается в нуль (и следовательно, точка не является особой), либо настоящим особенностям слоения, если оба многочлена g (1, z)и h+2 (1, z) обращаются в нуль одновременно.Замечание 8.19. Если особенность недикритическая и угловая формаh+1 (1, z) является многочленом степени n + 1, все корни которого простые,то на исключительном дивизоре E лежит в точности n + 1 особая точкаe Фундаментальная группа дополнения E\Σ порождается маленьслоения F.кими петлями вокруг этих особенностей.
Следовательно, группа голономиислоения Fe вдоль листа E\Σ порождается n + 1 ростками g0 , . . . , g ∈ Diff(C1 , 0),удовлетворяющими единственному условию g0 ◦. . .◦ g =id. Эту группу иногданазывают группой исчезающей голономии исходной особенности слоения F.Далее, в приложении к части IV второго тома, мы обсудим необходимыеи достаточные условия того, что группа, порождённая n + 1 конформнымиростками, реализуется как группа исчезающей голономии какого-нибудьслоения, удовлетворяющего описанным выше предположениям.Следующее вычисление будет нужно для доказательства теоремы о разрешении особенностей.§ 8.6. Дивизоры149Предложение 8.20. Каждый простой (некратный) линейный множительax + by угловой формы h+1 = x f + yg соответствует элементарной особенности z = −a/b (соответственно w = −b/a) раздутого слоения.Доказательство. Согласно условию предложения, особенность являетсянедикритической.
Без потери общности мы можем предположить, что линейный множитель угловой формы — просто y: h+1 (1, z) = zu(z) и u(0) = 1.Форма (8.8) задаёт векторное поле видаż = z + kx + m2 ,ẋ = −lx + m2 ,2где k, l — некоторые комплексные числа, а m обозначает функции порядка∗¾ 2.
Матрица линеаризации 10 ∗ этого поля в точке (0, 0) имеет ненулевоесобственное значение 1, соответствующее собственному вектору, касательному к E. Значит, начало координат — элементарная особенность раздутогослоения.§ 8.6. ДивизорыПрежде чем продолжить обсуждение теоремы о разрешении особенностей, мы вводим удобный алгебраический формализм, использующийсядля подсчёта количества алгебраических подмногообразий (точек и аналитических гиперповерхностей) с учётом их целочисленной кратности(положительной или отрицательной).
Несмотря на то, что этот формализмнельзя легко продолжить на случай многообразий промежуточных размерностей, для двух экстремальных размерностей (нулевой и максимальной, т. е.коразмерности 1) данная теория является полной, насколько это возможно.Аналитическому подмногообразию коразмерности один можно легкосопоставить его целочисленную кратность, так как в кольце ростков аналитических функций разложение на неприводимые множители единственно. Этаконструкция приводит к понятию дивизора, которое мы вводим и обсуждаемв этой главе. Кратность множеств нулевой размерности (изолированныхточек) можно определить другим способом — через коразмерность соответствующих идеалов, как описано в § 8.7, или как кратность пересечения двуханалитических кривых (в случае подмножеств плоскости C2 ).
Поведениекратностей при раздутии будет изучено в § 8.8–8.9.8.6.1. ОпределенияДивизором на комплексном многообразии M называется конечное числонеприводимых аналитических гиперповерхностей (аналитических подмножеств коразмерности 1) с заданными целочисленными кратностями (коэффициентами).По определению, каждый дивизор D является формальной суммойPkγ,гдесуммирование проводится формально по всем неприводимымγγподмножествам коразмерности 1, но на самом деле только конечное количество коэффициентов kγ ∈ Z может быть ненулевыми. Множество дивизоров150Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостиобразует абелеву группу относительно операцииX X Xkγ γ +kγ0 γ =(kγ + kγ0 ) γ;эту группу мы будем обозначать Div(M). Дивизор называется эффективным,если все коэффициенты kγ неотрицательны; любой дивизор можно представить в виде формальной разности двух эффективных дивизоров.
Носителемдивизора называется объединение всех подмножеств, входящих в D с ненулевым коэффициентом:X[|D| =γ'γ.γ 6= 0γ 6= 0Носитель можно рассматривать как подмножество многообразия M, а можно — как эффективный дивизор, у которого все коэффициенты kγ — нули илиединицы.Если многообразие M одномерно, то дивизор на нём — это конечноемножество точек, каждой из которых приписана своя кратность.
Нас здесьбудет интересовать двумерный случай, когда M является голоморфной поверхностью, а дивизоры — объединениями неприводимых кривых с кратностями.Начиная с этого момента и до конца главы многообразие M двумерно.8.6.2. Дивизоры и мероморфные функцииКаждая голоморфная функция f ∈ O (M) определяет эффективный дивизор D, называемый дивизором нулей функции f. Дивизор нулей D задаётся следующим образом: его носителем |D | является множество нулейZ = { f = 0} ⊆ M, и если росток функции f Qв некоторой точке a ∈ M раскладыνвается на неприводимые множители f =f в локальном кольце O (M, a),то компонента D = D входит в дивизор D с кратностью ν ¾ 0:Xν D , D = D = { f = 0}.D =Это определение позволяет задать кратность ν каждой неприводимой компоненты D ⊆ D лишь в окрестности точки a, однако результат, очевидно,локально постоянен для всех точек a из компоненты D .
Так как гиперповерхность D связна, кратность не зависит от точки a, более того, в качестве aможно выбрать точку гладкости поверхности D .Для мероморфной функции h = f /g дивизор Dℎ определяется как формальная разность:D/ = D − D .Очевидно, что он не зависит от выбора представления h.С другой стороны, любому дивизору можно Pсопоставить мероморфнуюфункцию, хотя и только локально. Пусть D =kγ γ является дивизоромна многообразии M. Тогда многообразие M можно покрыть объединением открытых областей {Uα } так, что в каждой области Uα каждая гиперповерхностьγ ⊆ |D| задаётся голоморфным уравнением { fα,γ = 0}, причём дифференциал§ 8.7. Кратность пересечения и индекс пересечения151этого уравнения dfα,γ в ограничении на гиперповерхность γ обращается в нульна множестве коразмерности не меньше 2.
Дивизор D локально в области Uαопределён мероморфной функциейY fα =fα,γγ ∈ M (Uα ).γСемейство { fα } называется мероморфной 1-коцепью, определяющей дивизор D.Рассмотрим попарные пересечения Uαβ = Uα ∩ Uβ и отношения gαβ = fα / fβв этих пересечениях. Эти отношения голоморфны и не обращаются в нуль,так как функции fα и fβ определяют один и тот же дивизор в пересечении Uαβ .Семейство голоморфных обратимых функций gαβ называется голоморфнойкоцепью (более точно, голоморфной 2-коцепью), задающей дивизор D. Суммадивизоров соответствует произведению голоморфных коцепей: если диви0зорам D, D 0 соответствуют голоморфные коцепи {gαβ } и {gαβ}, то дивизору00D + D соответствует коцепь {gαβ gαβ }.Заметим, что некоторые дивизоры невозможно задать одним глобальнымуравнением на M, например исключительный дивизор E на комплекснойленте Мёбиуса M; см. замечание 8.6.По отношению к голоморфным отображениям дивизоры ведут себя каканалитические функции, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
