Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Многообразие W = graph ϕ инвариантно под действиембиголоморфизма H вида (7.7), если функция ϕ удовлетворяет функциональному уравнениюϕ µx + g(x, ϕ(x)) = ϕ(x) + ϕ 2 (x) + h(x, ϕ(x)).(7.8)Это уравнение можно представить в виде уравнения на неподвижную точкуH ϕ = ϕ, где оператор H определяется как(H ϕ)(x) = ϕ µx + g(x, ϕ(x)) − ϕ 2 (x) − h(x, ϕ(x)).(7.9)Этот оператор не является сжимающим: его линеаризация в точке ϕ = 0 —это оператор ϕ(x) 7→ ϕ(µx), который переводит любую постоянную функциюв себя.
Чтобы он стал сжимающим, ограничим его на пространство функций,обращающихся в нуль в начале координат, с нормойkϕk0 = sup 6= 0|ϕ(x)|.|x|Технически проще сделать замену ϕ(x) = xψ(x) в исходном функциональномуравнении (7.8) и привести его опять к виду условия неподвижности точки.В результате мы получаем уравнениеµx + g(x, xψ(x)) ·ψ µx + g(x, xψ(x)) = xψ(x)+ x 2 ψ2 (x)+ h(x, xψ(x)),из которого извлекаем определение нелинейного оператора H 0 :(H 0 ψ)(x) = µ+ g0 (x,ψ(x)) ·ψ µx + g(x, xψ(x)) − xψ2 (x)− h0 (x,ψ). (7.10)Здесь голоморфные функцииg 0 (x, y) =g(x, xy),xh0 (x, y) =h(x, xy)xимеют в нуле порядок 2 или выше.Доказательство леммы 7.5 почти дословно переносится на оператор H 0вида (7.10).
Таким образом, H 0 при достаточно малом " является сжимающимна пространстве функций вида ψ: {|x| < "} → {| y| < "} с обычной равномернойнормой.136Глава 7. Голоморфные инвариантные многообразияСовершенно аналогично выводу теоремы 7.1 из теоремы 7.4 в гиперболическом случае, теорема 7.8 влечёт следующий результат об инвариантноммногообразии для голоморфного седлоузла.Теорема 7.9.
Голоморфное векторное поле на плоскости (C2 , 0) с седлоузловой особенностью (одно собственное значение равно нулю, другое — нет)имеет единственную голоморфную неособую инвариантную кривую, проходящую через нуль и касающуюся гиперболического направления.Эта кривая называется гиперболическим инвариантным многообразиемседлоузла.В завершение этой главы приведём важный явный пример, показывающий, что другое инвариантное многообразие — центральное многообразие,касающееся центрального направления, — может не существовать в аналитической категории.
Отметим, однако, что формальное инвариантное многообразие всегда существует и единственно; это следует из формальной орбитальной классификации седлоузлов (предложение 4.29).Пример 7.10 (Л. Эйлер). Векторное полеx2∂∂+ ( y − x)∂x∂yимеет вертикальное гиперболическое направлениеправление(7.11)∂и центральное на∂y∂∂+ . Центральное многообразие, если бы оно существовало,∂x∂yдолжно было бы представляться как график функцииXy = ϕ(x), ϕ(x) = x +c x .¾2Однако, как было замечено ещё Л. Эйлером, этот ряд расходится. Действительно, функция ϕ должна быть решением дифференциального уравненияϕ(x) − xdϕ,=dxx2из которого получаются следующие рекуррентные формулы для коэффициентов:kc = c+1 , k = 1, 2, .
. . ,c1 = 1.PНо степенной ряд x + ¾2 (k − 1)!x имеет нулевой радиус сходимости, поэтому аналитического центрального многообразия не существует.Тем не менее можно доказать, что существуют достаточно большие«куски» центрального многообразия; см. главу 22 второго тома.Упражнения и задачиУпражнение 7.1. Докажите, что нерезонансный гиперболический биголоморфизм аналитически линеаризуем на своих голоморфных инвариантныхмногообразиях W + и W − .Упражнения и задачи137Задача 7.2. Докажите, что если гиперболический биголоморфизм аналитически зависит от дополнительных параметров (и остаётся гиперболическимпри всех значениях этих параметров), то инвариантные многообразия W ±также аналитически зависят от параметров.Задача 7.3. Сформулируйте и докажите аналог предыдущего утверждения для седлоузлов.Упражнение 7.4. Опишите возможное число и взаимное расположениеаналитических сепаратрис для элементарных особых точек голоморфныхвекторных полей на плоскости.Задача 7.5.
Пусть первые k собственных значений λ1 , . . . , λ из спектраголоморфного векторного поля F ∈ D(C , 0), k ¶ n, являются вещественными,а остальные — нет. Докажите, что поле F имеет голоморфное k-мерное инвариантное многообразие, касающееся плоскости, порождённой первыми kсобственными векторами.Глава 8Разрешение особенностей на плоскостиПолностью изучить особые точки голоморфных векторных полей на языкеголоморфных нормальных форм удаётся только в том случае, когда линейная часть векторного поля в особой точке не сильно вырождена.
В вырожденном случае приходится применять преобразования, которые могутизменять линейную часть. Такие — не обязательно голоморфно обратимые —преобразования носят название разрешение особенностей, сигма-процесс илираздутие. Идея разрешения особенностей, грубо говоря, заключается в том,чтобы рассмотреть голоморфное отображение π: M → (C2 , 0) голоморфнойповерхности (двумерного многообразия) M, схлопывающее одномернуюкомплексную кривую D ⊂ M в точку 0 ∈ C2 и задающее биекцию междуM\D и (C2 , 0)\{0}. Последнее свойство позволяет переносить локальныеобъекты (функции, кривые, слоения, 1-формы и т.
д.) из (C2 , 0) на M и затемпродолжать их на D. Такие переносы называются разрешением особенностей или раздутием изначальных объектов; иногда само многообразие Mназывают раздутием (окрестности) точки 0 ∈ C2 .В этой главе мы приводим некоторые сведения из элементарной алгебраической геометрии, необходимые для работы с разрешением особенностей,и вводим понятие кратности изолированной особой точки слоения.С помощью разрешения особенностей можно существенно упростить особенности голоморфных слоений в размерности 2.
Основной результат этойглавы — фундаментальная теорема о разрешении особенностей 8.14 — утверждает, что подходящим раздутием любое голоморфное слоение в окрестностисвоей особой точкиS можно превратить в слоение, определённое в окрестностиобъединения D = D одной или нескольких трансверсально пересекающихсяголоморфных кривых D и имеющее только элементарные особые точки на D.§ 8.1. Полярное раздутиеМы начнём с трансцендентной, но геометрически более прозрачнойконструкции в вещественной области.Определение 8.1. Полярным схлопыванием называется отображение Pвещественного цилиндра C = R × S1 → R2 на плоскость R2 :P : (r, ϕ) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ).(8.1)Это отображение является аналитическим диффеоморфизмом междуоткрытым полуцилиндром C+ = {r > 0} ⊂ C и проколотой плоскостью R2 \{0}.139§ 8.1.
Полярное раздутиеУзкая цилиндрическая полоска C = (R, 0) × S1 двулистно накрывает малуюокрестность нуля {|x| < "}, если удалить из этой полоски центральный экваторS = {r = 0} ⊂ C, который схлопывается в точку — начало координат 0 ∈ R2 .Этот экватор ещё называют исключительным дивизором.Отображение P задаёт перенос функций и дифференциальных 1-формс (R2 , 0) на C. Этот перенос отличается от перехода к полярным координатамтем, что мы игнорируем неравенство r > 0. Однако результат переносаP ∗ ω ∈ Λ1 (C) любой 1-формы ω ∈ Λ1 (R2 , 0) всегда имеет неизолированнуюособенность на S. В вещественно-аналитическом случае 1-форму P ∗ ω всегдаможно разделить на подходящую натуральную степень r ν так, что 1-формаe = r −ν P ∗ ω ∈ Λ1 (C) останется вещественно-аналитической, но будет иметьωтолько изолированные особенности на S.Теперь рассмотрим слоение с особенностями F, определённое пфаффовым уравнением {ω = 0} на (R2 , 0)\{0}.
Так как отображение P биективно вненачала координат, P −1 (F ) является слоением многообразия C\S, заданнымпфаффовым уравнением {P ∗ ω = 0}. Это же слоение можно задать уравнениемe = 0}, ωe = r −ν P ∗ ω ∈ Λ1 (C), которое имеет лишь изолированные особенности{ωна S и тем самым задаёт продолжение слоения P −1 (F ) до слоения Fe всегоцилиндра C.Определение 8.2. Уравнение r −ν P ∗ ω = 0 и соответствующее слоение Feна C называются тригонометрическим раздутием уравнения ω = 0 и слоения F соответственно.На интуитивном уровне, особая точка слоения «раздувается», превращаясь в целую окружность. Таким образом, сложное расположение листовв окрестности особенности можно изучать «по частям» на разных участкахэтой окружности.
Простейшие примеры показывают, что иногда особенностьможет и вовсе исчезнуть.Пример 8.3 (см. рис. 8.1). (i) Форма dx, определяющая слоение без особенностей на R2 , после тригонометрического раздутия превращается в 1-форму cos ϕ dr − r sin ϕ dϕ с двумя изолированными особыми точками (0, π/2)(i)(ii)(iii)Рис. 8.1. Тригонометрические раздутия слоения безособенностей (i) и слоений с особенностями (ii), (iii)140Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостии (0, 3π/2) на R × S1 . Обе эти точки являются невырожденными сёдлами,а исключительная окружность без этих точек оказывается листом раздутогослоения.(ii) Форма ω = y dx − x dy определяет «радиальное» слоение с особенностями на R2 . При переносе формы ω на цилиндр C у новой формы P ∗ ω = −r 2 dϕпоявляется неизолированная особенность на центральной окружности r = 0,e=однако после деления на r 2 эта особенность исчезает, и новая форма ω= r −2 P ∗ ω = dϕ определяет «параллельное» слоение {ϕ = const}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
