Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рассмотрим экспоненциальное отображение exp 2πi : C → C∗ , λ 7→ exp(2πiλ), которое является топологическим разветвлённым накрытием, и конечно порождённую (мультипликативную) подгруппу G ⊆ C∗ . Прообраз G под действием этого отображения —это подгруппа L, Z-модуль в C ' R2 , который всегда содержит единицу(а следовательно, все целые числа Z): эта подгруппа порождается единицей1ln µ , j = 1, . . . , n, где µ1 , .
. . , µ — образующие G. Очевидно,и числами λ =2πiG плотна в C∗ тогда и только тогда, когда L плотна в C.Замкнутые подгруппы L в C, содержащие единицу, нетрудно описать:такая подгруппа либо дискретна (т. е. нуль является изолированной точкой L),тогда L = Z или L = Z + λ1 Z, либо является объединением параллельныхпереносов некоторой прямой: L = Z + λ1 R или L = R + λ1 Z, либо совпадает со всей плоскостью C. Последний случай является типичным, есличисло образующих подгруппы не меньше трёх (достаточно потребоватьнерезонансности образующих: n0 + n1 λ1 + n2 λ2 не равно нулю для любогонетривиального выбора коэффициентов n0 , n1 , n2 ). Следовательно, типичнаямультипликативная подгруппа с двумя образующими µ1 , µ2 ∈ C∗ плотна.Другие типы замкнутых подгрупп в C порождают следующие замкнутыеподгруппы в C∗ (для полноты включим в этот перечень и C∗ ):1) C∗ (вся группа);2) Z × R∗+ , 1 ¶ p < ∞ (конечное число логарифмических спиралей, которыемогут выродиться в конечное число лучей);3) 2Z ×T (бесконечное число окружностей, радиусы которых образуют геометрическую прогрессию);4) Z × 2Z (конечное число комплексных геометрических прогрессий).Здесь 2Z обозначает бесконечную циклическую мультипликативную подгруппу C∗ , T = {|µ| = 1} ' R/Z — единичная окружность (как мультипликативнаягруппа), а Z ⊂ T — группа корней степени p из единицы.§ 6.7.
Счётное число предельных циклов для типичных псевдогрупп123Пример 6.39 показывает, что условие плотности (6.16) типично: длялюбого n ¾ 2 набор ростков ( f1 , . . . , f ), f ∈ Diff(C, 0), такой что группа, порождённая f±1 , удовлетворяет (6.16), образуют счётное пересечение открытыхвсюду плотных подмножеств в пространстве всех наборов (Diff(C, 0)) .Следствие 6.40 (теорема о плотности для типичных псевдогрупп). Еслипсевдогруппа Γ удовлетворяет условию плотности (6.16), то существуеттакая окрестность нуля U, что орбита любого x ∈ U\{0} плотна в U.Доказательство. Рассмотрим карту, линеаризующую произвольный гиперболический росток из Γ.
По теореме 6.37 Γ содержит любое линейноеотображение Lµ : x 7→ µx, µ ∈ ΛΓ, определённое в круге радиуса C/max(1, |µ|),где C — константа. Приближая любое Lµ∗ , µ∗ ∈ C∗ , отображениями Lµ с µ ∈ ΛΓ,получим, что группа Γ содержит любое линейное отображение Lµ∗ , µ∗ ∈ C∗ ,но определённое на несколько меньшем круге D/2 max(1,|µ∗ |) .В силу предложения 6.36 для доказательства плотности орбиты поддействием исходной псевдогруппы Γ достаточно проверить её плотностьпод действием замыкания.Пусть U = D/2 .
Тогда Γ -орбита любой точки x ∈ U\{0} содержит U\{0}: дляпроизвольного y ∈ U\{0} отображение Lµ , где µ = y/x, переводит x в y. Какнетрудно проверить, область определения Lµ такова, что Lµ (x) определено.§ 6.7. Счётное число предельных цикловдля типичных псевдогруппПри наличии условия плотности можно доказать, что некоммутативнаяпсевдогруппа имеет бесконечно много различных комплексных предельныхциклов, накапливающихся к нулю.Теорема 6.41. Некоммутативная конечно порождённая псевдогруппаконформных отображений, удовлетворяющая условию плотности, имеетбесконечно много предельных циклов, накапливающихся к нулю.Оба предположения теоремы (условие плотности и некоммутативность),очевидно, типичны.Доказательство.
Рассмотрим отображения псевдогруппы Γ в канонической карте, которая линеаризует одно гиперболическое отображение α из неё.Поскольку Γ некоммутативна, в ней есть нетождественное отображение( f , U) с мультипликатором 1. Изменив масштаб в канонической карте, мыможем считать, что f и α определены в единичном диске D = {|z| ¶ 1} â U,f (0) = 0, f (z) − z 6≡ 0.Отношение f (z)/z является непостоянной голоморфной функцией, которая принимает по крайней мере два различных значения: 1 в нуле и µ 6= 1в некоторой точке a.
Без потери общности можно предполагать, что |µ| < 3/2,|a| < r < 1/3.По теореме 6.37, учитывая условие плотности (6.16), получим, что замыкание псевдогруппы содержит линейное отображение g(z) = µz, определённое124Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображений1в круге D, т. е. существует элемент h ∈ Γ, приближающий g сколь угодно31хорошо в D. Функция f (z) − g(z) имеет по меньшей мере два изолирован3ных нуля (z = 0 и z = a) в круге rD; по принципу аргумента, f (z) − h(z)имеет по меньшей мере столько же нулей в этом круге, если h достаточноблизко к g. Иными словами, отображение f −1 ◦ h имеет по меньшей мередве изолированные неподвижные точки в rD: одну в нуле, другую где-то ещё.Последняя точка и будет предельным циклом.Наконец заметим, что, повторяя эту конструкцию для всё более близкихк нулю значений r, мы получим стремящуюся к нулю последовательностьпредельных циклов.Замечание 6.42.
Теоретически все предельные циклы, построенные в доказательстве теоремы 6.41, могут принадлежать одной и той же орбитепсевдогруппы.§ 6.8. Жёсткость конечно порождённых группконформных ростковТермин «жёсткость» будет неоднократно появляться в книге в связис различными явлениями, имеющими ту общую черту, что «более слабаяэквивалентность влечёт более сильную эквивалентность».
Жёсткость возникает, когда мы рассматриваем объекты, для которых имеется иерархияотношений эквивалентностей различной силы (топологической, дифференцируемой, голоморфной). Объект жёсток, если наличие слабой эквивалентностимежду ним и другим объектом означает, что эти объекты эквивалентны ив более сильном смысле.Один результат такого типа уже был сформулирован в замечании 4.6,когда более слабая формальная эквивалентность влекла аналитическую.Обычно жёсткость проявляется во взаимосвязи между топологическойи некоторой более сильной (гладкой, аналитической, и т.
д.) структурой.В этом более узком смысле жёсткость означает, что нельзя изменить тонкуюструктуру объекта нетривиальным образом, не меняя его грубую (топологическую) структуру.Пример 6.43. Сфера является жёсткой в классе римановых поверхностей: любая риманова поверхность, топологически эквивалентная сфере,эквивалентная ей и конформно.В то же время комплексные торы не являются жёсткими: двумерный торT2 имеет конформный инвариант, см. упражнение 6.1 ниже.Простейшее свойство типа жёсткости можно продемонстрировать дляконечно порождённых групп конформных ростков.Определение 6.44. Конечно порождённая группа ростков G ⊂ Diff(C, 0)называется жёсткой, или топологически жёсткой, если любой сохраняющийориентацию росток гомеоморфизма h, топологически сопрягающий группу Gс другой группой G 0 ⊂ Diff(C, 0), является конформным: h ∈ Diff(C, 0).§ 6.8.
Жёсткость конечно порождённых групп конформных ростков125Достаточные условия для жёсткости такие же, как и в теореме 6.41о счётном числе предельных циклов.Теорема 6.45 (теорема о жёсткости для групп конформных ростков).Некоммутативная конечно порождённая псевдогруппа Γ конформных преобразований, удовлетворяющая условию плотности, является жёсткой.Более того, если Γ0 — семейство псевдогрупп, аналитически зависящихот комплексного параметра t ∈ U ⊂ C и топологически эквивалентныхпсевдогруппе Γ, причём для всех t выполнены вышеуказанные свойства, то существует голоморфное сопряжение h : (C1 , 0) → (C1 , 0) между Γ0 и Γ, котороеаналитически зависит от t.Мы начнём доказательство этой теоремы с изучения топологическихсопряжений между плотными подгруппами мультипликативной группы C∗ .Предложение 6.46.
Пусть G, G 0 ⊆C∗ — две конечно порождённые плотныеподгруппы, топологически сопряжённые сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом h : (C, 0) → (C, 0).Тогда h(z) = cz |z|β для некоторых комплексных чисел c ∈ C∗ и β ∈ C.Доказательство. Топологическое сопряжение мультипликативных группозначает, что существует изоморфизм A : G→G 0 ⊆C∗ и гомеоморфизм h : (C,0)→→ (C,0) такие, чтоh(µz) = A(µ)h(z) ∀ z ∈ (C, 0), ∀ µ ∈ G.(6.17)Шаг 1. Покажем сначала, что A(µ) = µ |µ|β для некоторого комплексногочисла β ∈ C.Автоморфизм A удовлетворяет условию мультипликативностиA(µν) = A(µ)A(ν) ∀ µ, ν ∈ G,откудаA(1) = 1,(6.18)и из функционального уравнения (6.17) немедленно вытекает, что A и обратное к нему непрерывны как комплекснозначные функции от µ. Поэтому безпотери общности можно считать, что A (соответственно A−1 ) определенына замкнутых подгруппах G (соответственно G 0 ), т. е.
A : C∗ → C∗ являетсягомеоморфизмом.Шаг 2. Неформально говоря, функциональное уравнение (6.18) становится аддитивным после перехода к логарифмам. Однако логарифм многозначен,поэтому нужно действовать более аккуратно. В частном случае, когда G = C∗ ,можно выбрать непрерывную ветвь логарифма. Более точно, существует непреb : C → C, которая накрывает автоморфизмрывная комплексная функция AA : C∗ → C∗ при экспоненциальном отображении:bA(exp 2πiw) = exp 2πi A(w),w ∈ C.(6.19)bЕсли такую функцию нормализовать условием A(0)= 0, она становитсяопределённой однозначно и из мультипликативного тождества (6.18) следует,b аддитивна по модулю Z:что Ab + λ0 ) = A(λ)bb 0 ) mod ZA(λ+ A(λ∀ λ, λ0 ∈ C.126Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийb + λ0 ) − A(λ)bb 0 ) непрерывна,Целочисленная функция N(λ, λ0 ) = A(λ− A(λbа потому является постоянной; из нормировочного соотношения A(0)=0b аддитивна:получаем, что N(0, 0) = 0, поэтому Ab + λ0 ) = A(λ)bb 0 ) ∀ λ, λ0 ∈ C.A(λ+ A(λb 1 λ = A(λ)bИз этой аддитивности следует, что m · Aдля любого натуральноm 11b следует, что Abb являетсяbго m; из однозначности Aλ = A(λ),поэтому Ammb непрерывно, оноQ-линейным отображением C в себя. Наконец, так как Aявляется R-линейным автоморфизмом C ' R2 . Любой такой автоморфизмимеет видbA(λ)= aλ + bλ для некоторых a, b ∈ C, |a| =6 |b|.(6.20)Он сохраняет ориентацию, если |a| > |b|, и меняет её в противном случае.b накрывает мультипликативное отображение AR-Линейное отображение Abпри логарифмическом накрытии λ 7→ µ = exp 2πiλ, поэтому A(1)должно бытьцелым числом n ∈ Z.
Следовательно,1bA(λ)= nλ + β(λ − λ)(6.21)2для некоторого β ∈ C, а тогда§ªβln µ β ln µ ln µ A(µ) = exp 2πi n ·= µ exp [ln µ + ln µ] = µ |µ|β .+−2πi22πi2πi2Остаётся заметить, что по (6.17) отображение A должно быть сохраняющимориентацию гомеоморфизмом, что возможно в единственном случае n = 1.Тем самым доказано, что A(µ) = µ |µ|β .Шаг 3. Если гомеоморфизм h, являющийся решением функциональногоуравнения (6.17), представить в виде h(z) = z |z|β f (z) с тем же β, что и раньше, и некоторой комплекснозначной функцией f, непрерывной на (C∗ , 0),то после сокращений мы получим из функционального уравнения (6.17)тривиальное «функциональное уравнение» на f :f (µz) = f (z) ∀ µ ∈ G, z ∈ (C, 0).Поскольку G плотно в C∗ , отсюда следует, что f постоянна: f (z) ≡ c 6= 0.Предложение полностью доказано.Замечание 6.47.
Перейдя к другой карте в прообразе или в образе, всегдаможно предполагать, что c = 1.Замечание 6.48. Если h — гомеоморфизм, меняющий ориентацию и топологически сопрягающий G и G 0, т. е. выполнено (6.17), то A(µ) = µ |µ|βи h(z) = cz |z|β . В (6.21) этому соответствует n = −1. Для доказательствадостаточно рассмотреть отображение eh(z) = h(z), которое будет сохраняющимориентацию гомеоморфизмом, сопрягающим группу G ⊆ C∗ с группой G 0,полученной из G 0 комплексным сопряжением z 7→ z.§ 6.8. Жёсткость конечно порождённых групп конформных ростков127Замечание 6.49. Из доказательства предложения 6.46 следует, что двеплотные мультипликативные подгруппы 〈µ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
