Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийf периодично (порождает конечную группу). По теореме 6.7 такое f аналитически линеаризуемо.В теореме Бохнера о линеаризации требование конечности группы можноослабить до требования конечности порядка всех элементов группы.Теорема 6.9. Конечно порождённая подгруппа группы ростков G⊂Diff(C,0),все элементы которой имеют конечный порядок, аналитически линеаризуемаи конечна, а следовательно, является коммутативной (и даже циклической).Доказательство. Если группа некоммутативна, она содержит элементf ∈ Diff 1 (C, 0)\{id} (ср. с примером 6.6). Такой элемент обязательно имеетбесконечный порядок, что противоречит условиям теоремы:если f (z) = z + cz +1 + .
. . , c 6= 0,то f (z) = z + ncz +1 + . . . 6= id .Следовательно, G коммутативна.Коммутативная группа, порождённая конечным числом элементов конечного порядка, сама конечна. Тогда по теореме 6.7, группа G аналитическисопряжена с конечной мультипликативной подгруппой в C∗ . Но любая такая группа является циклической, порождённой некоторым первообразнымкорнем из единицы.§ 6.2. Первые шаги формальной классификацииВ этом параграфе мы изучим формальную классификацию конечно порождённых групп конформных ростков.6.2.1. Разрешимые и метабелевы группыНапомним, что коммутантом [G, G] (абстрактной) группы G называется её подгруппа, порождённая всеми коммутаторами пар её элементов:[ f, g] = f ◦ g ◦ f −1 ◦ g −1 . Если G ⊂ Diff(C, 0), то, поскольку T [ f, g] = 1, еёкоммутант [G, G] лежит в Diff 1 (C, 0).Группа называется разрешимой, если убывающая цепочка её кратныхкоммутантов стабилизируется на тривиальной группе:G 0 ⊇ G 1 ⊇ G 2 ⊇ .
. . ⊇ G `−1 ) G ` = {id},G 0 = G,G +1 = [G , G ],k = 0, 1, 2, . . .(6.5)Коммутативные (абелевы) группы — это в точности разрешимые группыс ` ¶ 1; разрешимые группы с ` ¶ 2 называют метабелевыми: их первыйкоммутант коммутативен.В то время как для абстрактных групп число ` может быть любым, дляконечно порождённых подгрупп группы ростков Diff(C, 0) возможны лишьслучаи ` = 0, 1 (абелевы группы), ` = 2 (метабелевы, но не абелевы) и ` = ∞(неразрешимые). Иными словами, имеется следующая альтернатива.Теорема 6.10 (альтернатива Титса для групп конформных ростков).
Конечно порождённая подгруппа группы ростков G ⊂ Diff(C, 0) является либометабелевой (коммутативной или нет), либо неразрешимой.109§ 6.2. Первые шаги формальной классификацииДоказательство этой теоремы начнём со следующего простого вычисления (которое, в частности, показывает, почему введённый нами порядокпараболического ростка удобнее, чем порядок касания с тождественнымотображением).Предложение 6.11. Коммутатор параболических ростков с различнымипорядками p 6= q имеет порядок p + q. Более точно, еслиf (z) = z + az+1 + . .
. ,g(z) = z + bz+1 + . . . ,p, q > 0,то[ f, g](z) = z + ab(p − q)z ++1 + . . .(6.6)Доказательство. Равенство (6.6) — это утверждение о главном членеростка голоморфной функции ϕ(z) = ( f ◦ g ◦ f −1 ◦ g −1 )(z) − z ∈ O (C, 0) в голоморфной карте z. Если вместо координаты z взять координату t = f −1 ◦ g −1 (z),dtглавный член не изменится, поскольку (0) = 1.
Таким образом, достаточноdzвычислить главный член функцииϕ(z(t)) = ( f ◦ g)(t) − (g ◦ f )(t).Пустьf (t) = t + f1 (t),g(t) = t + g1 (t) = t(1 + γ(t)).Тогдаf ◦ g(t) = g(t) + f1 (g(t)) = t + g1 (t) + f1 (t) + f1 (t + g1 (t)) − f1 (t) .Найдём асимптотику последнего члена. Пустьf1 (t) =Xa t ++1 + o(t ++1 ),=0тогдаf1 (t + g1 (t)) − f1 (t) =Xa t ++1 (1 + γ(t))++1 − 1 + o(t ++1 ).=0Разность в квадратных скобках есть O(γ(t)), так что при k ¾ 1 весь член естьO(t ++1+ ) = o(t ++1 ). Если же k = 0, то эта разность есть(p + 1)γ(t) + O(γ(t)2 ) = (p + 1)bt + o(t ).Тогда, учитывая, что a0 = a, получаем асимптотику для f ◦ g:f ◦ g(t) = t + g1 (t) + f1 (t) + ab(p + 1)t ++1 + o(t ++1 ).Вычитая аналогичное выражение для g ◦ f (t), получим (6.6).Замечание 6.12.
Аналогичное (даже более простое) вычисление в случаеq = 0 показывает, что если g(z) = bz + . . . , b 6= 1, а f такое же, как и выше, то[ f, g](z) = z + a(b − 1)z +1 + . . .(6.7)110Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийИз предложения 6.11 немедленно вытекает следующая альтернатива длягрупп параболических конформных ростков.Лемма 6.13. Конечно порождённая подгруппа G группы Diff 1 (C, 0) либокоммутативна, либо неразрешима.Доказательство. Если группа G = G 0 содержит два ростка f0 и g0 с различными положительными порядками p 6= q, p, q > 0, то она также содержити росток [ f0 , g0 ] порядка p + q (и этот порядок отличен и от p, и от q).
Тогда еёкоммутант G 1 = [G, G] содержит ростки [ f0 , g0 ] и [[ f0 , g0 ], g0 ] различных положительных порядков p + q и p + 2q. Продолжая, получим, что любой кратныйкоммутант G = [G −1 , G −1 ] содержит два ростка различных положительныхпорядков, а потому он нетривиален.Если же все ростки в G\{id} имеют одинаковый порядок p ¾ 1, то группакоммутативна. Действительно, пусть коммутатор ростков f и g из этойгруппы нетривиален.
Тогда, с одной стороны, он имеет тот же порядок p(как элемент G), а с другой стороны, по (6.6) его порядок строго больше 2p.Это противоречие показывает, что все коммутаторы равны тождественномуотображению, т. е. группа G коммутативна.Для доказательства теоремы 6.10 осталось сделать один шаг.Доказательство теоремы 6.10. Коммутант G 1 = [G, G] любой группыG ⊆ Diff(C, 0) лежит в группе Diff 1 (C, 0) = ker T.
По лемме 6.13, он либокоммутативен, и тогда G метабелева (при этом коммутативность G равносильна тривиальности коммутанта), либо неразрешим, и тогда G такженеразрешима.Замечание 6.14. Те же рассуждения показывают, что если G — подгруппав Diff(C, 0), не пересекающаяся с Diff 1 (C, 0) (за исключением тождественногоростка), то она обязательно коммутативна: её коммутант [G, G] ⊆ G лежитв Diff 1 (C, 0) ∩ G = {id}; ср. с примером 6.6.6.2.2.
Централизаторы и симметрииРазрешимые подгруппы группы ростков можно классифицировать с точностью до формальной эквивалентности следующим образом: если такаягруппа формально не линеаризуема, то она формально эквивалентна подгруппе (подкрученных) преобразований фазового потока некоторого вполне определённого негиперболического векторного поля. Для получения такой классификации нам понадобится описание симметрий параболических ростков.Централизатором элемента g в группе G называется множество Z(g) ⊆⊆ G всех элементов f ∈ G, коммутирующих с g: Z(g) = { f ∈ G : [ f, g] = 0}.Из определения видно, что централизатор является подгруппой в G; этаподгруппа, однако, не обязательно является коммутативной.Аналогом этого понятия для векторных полей является симметрия: росток g ∈ Diff(C, 0) называется симметрией векторного поля F ∈ D(C, 0), если gпереводит F в себя.
Мы будем называть (за неимением лучшего термина)росток g ∈ Diff(C, 0) орбитальной симметрией векторного поля F ∈ D(C, 0),если g сопрягает F с кратным ему полем λF, λ ∈ C∗ . То же построение§ 6.2. Первые шаги формальной классификации111можно провести и в формальном контексте (т. е. для формального ряда gи дифференцирования F в алгебре C[[z]]).Если g — симметрия поля F, то g коммутирует с любым отображениемпотока f = exp tF этого поля. Вообще говоря, неверно, что из коммутирования g и одного отображения потока (например, f = exp F) следует, что gявляется симметрией F. Это, однако, верно в случае параболического f.Напомним (см.
теорему 3.17), что любой параболический росток f ∈∈ Diff 1 (C, 0) является формально вложимым: существует формальное векторное поле F ∈ D[[C, 0]], такое что f = exp F. Без потери общности можносчитать, что F приведено к формальной нормальной форме:F = F, = z +1 (1 + az )∂,∂za ∈ C, p ∈ N,(6.8)где p — порядок f (теорема 4.24).Лемма 6.15. Если g ∈ Diff(C, 0) — симметрия параболического ростка илиформального ряда f = exp F ∈ Diff 1 (C, 0), то g является также симметриейполя F.Доказательство. Пусть A — алгебра аналитических ростков O (C, 0) либоалгебра формальных рядов C[[z]], в зависимости от того, работаем ли мыс ростками или с формальными рядами.Рассмотрим операторы (автоморфизмы) g, f ∈ Aut A, соответствующиеотображениям g и f, g: ϕ 7→ ϕ ◦ g, и обозначим через F ∈ Der A дифференцирование, отвечающее полю F ∈ D(C, 0).
Если g — симметрия поля F, то gкоммутирует с f.Дифференцирование F можно восстановить по изоморфизму f, используяформальный ряд для итерационного логарифма (3.12):1213F = (f − id) − (f − id)2 + (f − id)3 ∓ . . .В каждую струю конечного порядка вклад даёт только конечное число членов,поскольку разность f − id нильпотентна; ср. с теоремой 3.14.Если оператор g коммутирует с f, то, в силу вышеприведённого равенства,g коммутирует и с F, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
