Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Условия на скорость приближения к нулю малых знаменателей можно переформулировать в терминах скорости роста коэффициентовразложения в цепную дробь числа l ∈ R\Q. Такая формулировка условияБрюно более распространена в современной литературе.Если в случае Зигеля имеется резонанс, ситуация становится ещё болеесложной: резонансный конформный росток f ∈ Diff(C, 0) с мультипликаторомµ ∈ exp 2πiQ почти никогда не эквивалентен аналитически своей нормальнойформе Пуанкаре — Дюлака, описанной в теореме 4.26. Детальное изложениеэтого результата и его дальнейшее развитие приведено в главе 21.Двумерная аналитическая орбитальная классификация резонансных векторных полей из области Зигеля (седлоузлов и резонансных сёдел, указанныхв табл.
4.1) по крайней мере столь же сложна, сколь и аналитическая классификация резонансных ростков из Diff(C, 0). В главе 7 мы покажем, что§ 5.6. Гомотопический метод95соответствующие слоения имеют листы, фундаментальная группа которыхнетривиальна (является бесконечной циклической группой), а голономияпорождается резонансным ростком из Diff(C, 0), лежащим в области Зигеля.Подробности изложены в главе 22 второго тома.Неожиданным образом оказывается, что поведение каспидальных точек проще, чем у их менее вырожденных собратьев.
В [65] Х. Жолондеки Э. Строцина доказали, что всегда можно биголоморфным преобразованием привести векторное поле на плоскости около каспидальной особойточки к голоморфной нормальной форме (4.16) (т. е. со сходящимися рядами a(x), b(x) ∈ O (C, 0)). Помимо сложного прямого доказательства из [65],имеется полученное недавно Ф. Лоре [43] красивое геометрическое рассуждение, основанное на теореме об униформизации. Это доказательство будетпредставлено в виде серии задач к главе 23 второго тома.§ 5.6. Гомотопический методВ этом параграфе мы опишем другой мощный аналитический методприведения голоморфных векторных полей и отображений к их нормальной форме.
Он называется гомотопическим методом (методом путей, pathmethod, méthode de chemin) и состоит в соединении исходного объекта (поляили отображения) с его нормальной формой некоторым однопараметрическим семейством (путём), обычно отрезком прямой, и в последующемотыскании отображений потока неавтономного векторного поля, которыесопрягают друг с другом объекты этого параметрического семейства.Мы проиллюстрируем гомотопический метод доказательствами двух сравнительно простых результатов: аналитической приводимости к нормальнойформе одномерных голоморфных векторных полей (ср.
с теоремой 4.24) и одномерных гиперболических биголоморфизмов. Для обоих этих результатов,однако, можно получить и более короткие доказательства, см. задачи 5.5 и 5.6.Теорема 5.25. Любое аналитическое векторное полеF(x) = x +1 (1 + . . .)∂∈ D(C, 0)∂xаналитически сопряжено со своей полиномиальной формальной нормальнойформой∂F0 (x) = (x +1 + ax 2+1 ) .∂xДоказательство. Без потери общности мы можем предполагать, что струя Fлюбого заданного порядка уже приведена к нормальной форме.
Таким образом, мыможем предполагать, что поле F = F1 задано какF0 (x) + R(x)∂,∂xгде R настолько плоско в нуле, насколько необходимо. Нам будет достаточно потребовать, чтобы функция R(x) имела в начале координат нуль кратности 2k + 2:R(x) = x 2+2 S(x), S ∈ O (C, 0). Мы хотим доказать, что при всех значениях вспомогательного комплексного параметра z из некоторой области U ⊆ C, содержащей96Глава 5. Голоморфные нормальные формыотрезок [0, 1], векторные поляF (x) = F0 (x) + zR(x)∂∂xголоморфно эквивалентны друг другу. В частности, это будет означать, что поля F0и F1 голоморфно эквивалентны, что и составляет утверждение теоремы.Превратим семейство F в одно поле на произведении (C, 0) × U фазового пространства на пространство параметров:F = F0 + zR(x) ·∂∂+0· ,∂x∂zF0 = (x +1 + ax 2+1 )∂.∂x(5.18)Рассмотрим также другое векторное полеH ∈ Diff((C1 , 0) × U),имеющее видH = h(x, z)∂∂+1· ,∂x∂zU ⊆ C,h(0, z) ≡ 0.(5.19)Лемма 5.26 (гомотопический метод).
Если существует голоморфное векторноеполе H ∈ Diff((C1 , 0) × U) вида (5.19), которое коммутирует с F,[F, H] = 0,(5.20)то при всех z ∈ U ростки векторных полей F ∈ D(C , 0) голоморфно эквивалентныдруг другу.1Доказательство. Если векторные поля F и H коммутируют, то поток векторногополя H коммутирует с потоком поля F, а потому отображения потока поля H являютсясимметриями поля F.Так как поле H имеет вид (5.19), его поток переводит прямые {z = const} другв друга, оставляя на месте плоскость {x = 0}. Следовательно, преобразование потокаexp H отображает прямую {z = 0} в {z = 1}, определено в некоторой окрестностиначала координат и сопрягает F|=0 = F0 с F|=1 = F1 .Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 5.25, показав, что при указанных в ней предположениях векторное поле H из леммы 5.26 действительно существует.Гомологическое уравнение (5.20) эквивалентно следующему уравнению в частныхпроизводных на функцию h:f·∂f∂h−h·= −R,∂x∂xf (x, z) = x +1 + ax 2+1 + zR(x).(5.21)Однако в действительности можно рассматривать это уравнение как линейное неоднородное обыкновенное (относительно переменной x) дифференциальное уравнениепервого порядка, аналитически зависящее от параметра z ∈ U.
Решение соответствующего однородного уравнения очевидно, h0 (x, z) = f (x, z). Используя заменуh(x, z) = s(x, z)h0 (x, z), получим следующее уравнение (напомним, что R = x 2+2 S):f2 ·∂s= −R(x),∂zт. е.S(x)∂s=−2 .∂x1 + ax + x +1 S(x)(5.22)Интегрирование правой части с начальным условием s(0, z) = 1 даёт решение s = s(x, z),голоморфное в точке x = 0 при всех z ∈ U. Векторное полеH = s(x, z)F + 1 ·∂∂zудовлетворяет всем условиям леммы 5.26, а тогда его отображение потока за время 1голоморфно сопрягает F0 и F1 .97§ 5.6. Гомотопический методОчевидно, полиномиальную нормальную форму (4.20) можно заменить на рациональную нормальную форму (4.21).Замечание 5.27.
Наряду с голоморфными векторными полями можно рассмотретьмероморфные дифференциальные 1-формы на комплексной прямой (или, более точно, ихростки в начале координат): множество таких форм обозначается Λ1 (C, 0) ⊗ M (C, 0).Группа Diff(C, 0) действует на этом множестве, поэтому можно ввести нормальные формы для его элементов. Однако вместо построения параллельной теории можновоспользоваться двойственностью: 1-форма ω ∈ Λ1 (C, 0) и векторное поле F ∈ D(C, 0)двойственны, если ω(F) ≡ 1. Голоморфное преобразование переводит двойственнуюпару из поля и формы снова в двойственную пару.Мероморфные (т.
е. с полюсом в нуле) 1-формы имеют два очевидных инварианта,которые не меняются при голоморфном преобразовании: порядок полюса и вычетв нуле.dxdxФорма, двойственная к рациональному векторному полю (4.21), — это +1 − a ,xxа формальный инвариант a ∈ C является (с точностью до знака) вычетом этой формы.Это наблюдение объясняет роль формального инварианта.Как ещё одно приложение гомотопического метода мы дадим независимое доказательство теоремы Шрёдера — Кёнигса (теорема 5.18).Рассмотрим аналитическое отображение f ∈ Diff(C, 0), f (x) = µx + r(x), с мультипликатором µ ∈ C∗ , |µ| < 1, и аналитической нелинейностью r(x) = O(x 2 ).Как и выше, мы включим f в аналитическую однопараметрическую деформациюf (x) = µx + zr(x) с комплексным параметром z ∈ U ⊆ C, [0, 1] ⊆ U, и превратим еёв отображение плоскости f ∈ Diff(C2 , 0),f : (x, z) 7→ (µx + zr(x), z),(x, z) ∈ (C1 , 0) × U.(5.23)В этом случае лемма 5.26 о гомотопическом методе превращается в следующее утверждение.Лемма 5.28.
Если отображение f сохраняет векторное поле H вида (5.19), т. е.f∗ · H = H ◦ f,f∗ =∂f(x, z),∂(x, z)(5.24)то все отображения f при z ∈ U аналитически эквивалентны и, в частности, f1 = fаналитически эквивалентно линейному отображению f0 . Сопрягающие отображениястроятся как ограничения потока поля H на прямые {z = const}.Доказательство леммы 5.28 почти дословно воспроизводит доказательство леммы 5.26 и потому опущено.
Чтобы доказать теорему 5.18, нам остаётся только проверить, что гомологическое уравнение (5.24) имеет решение.Альтернативное доказательство теоремы 5.18. Равенство (5.24) сводится к одному скалярному линейному неоднородному функциональному уравнению∂ f (x)· h(x, z) − h( f (x), z) = r(x).∂x(5.25)Это уравнение можно решить в два шага, решая сначала соответствующее однородное∂f уравнениеu − u ◦ f = 0, а затем отыскивая решение уравнения (5.25) в виде∂xh = su, аналогично тому, как решалось уравнение (5.21).Однородное уравнение можно переписать в виде утверждения о неподвижнойточке: ∂ f −1h=· (h ◦ f ), f = f ∈ Diff(C, 0).(5.26)∂x98Глава 5. Голоморфные нормальные формыОно имеет тривиальное (нулевое) решение, однако мы можем ограничить оператор,стоящий в правой части, на пространство отображений, касающихся тождественного:h(x) = x + O(x 2 ).Без ограничения общности можно полагать (переходя к достаточно малой окрестности начала координат, которую затем надо перемасштабировать в единичный диск),что все отображения f удовлетворяют неравенствам ∂ f (5.27) ¾ µ− , | f (x)| < µ+ |x| ∀ x ∈ D1 = {|x| ¶ 1}, 0 < µ− < |µ| < µ+ < 1.∂xЗдесь µ± — две положительные константы, которые можно выбрать сколь угодноблизкими к |µ| < 1.Сначала мы покажем, что оператор ∂ f −1· (h ◦ f ),Φ: h 7→∂xограниченный на подпространствduM = u ∈ A (D1 ): u(0) = 0,=1dxголоморфных функций, касательных в нуле к тождественному отображению, являетсясжимающим относительно обычной нормы kuk = max ∈ 1 |u(x)|.
Ясно, что Φ(M ) ⊆ M .Действительно, поскольку Φ линеен, достаточно доказать, что kΦqk < λkqk длялюбой функции q ∈ A (D1 ), имеющей нуль второго порядка в начале координат,и некоторого λ ∈ (0, 1). Заметим, что для такой функции q имеет место неравенство|q(x)| ¶ kqk · |x|2 , которое следует из принципа максимума для голоморфной функцииq(x)/x 2 . Тогда из (5.27) немедленно следует, чтоkΦqk ¶ max||¶1µ2µ21kqk · | f (x)|2 ¶ + · max kqk · |x|2 ¶ + · kqk.µ−µ− ||¶1µ−Поскольку выбором µ± отношение µ2+ /µ− можно сделать сколь угодно близким к |µ| < 1,оператор Φ, ограниченный на M , является сжимающим, а следовательно, имеетголоморфную неподвижную точку u, аналитически зависящую от z и любых дополнительных параметров (если таковые имеются).Теперь решение неоднородного уравнения находится с помощью замены h = su.Подставляя её в уравнение (5.25), мы получаем уравнение Абеляs − s ◦ f = −R(x),r(x)R = R (x) = ∂f∂z,f = f (x).(5.28)· u(x, z)Функция R (x) голоморфна и обращается в нуль при x = 0 для любого z, поскольку fи u(x, z) имеют при x = 0 простой нуль, а r(x) — нуль порядка не ниже второго.Формальное решение уравнения (5.28) задаётся рядомs=−∞XR ◦ f ◦ ,s = s (·, z),f = f ,R = R ,(5.29)=0который корректно определён, поскольку f является сжимающим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
