Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это кажущееся противоречие легко объяснить: область аналитичности коэффициента высокой степени не может бытьслишком большой, так как не может содержать значения параметра, соответствующиерезонансу этого порядка. Заметим, что если матрица A(0) нерезонансная, то порядоквозможных резонансов A(λ) обязательно возрастает к бесконечности, когда λ → 0.§ 4.7. Формальная классификацияформальных отображенийФормальные автоморфизмы действуют сопряжением не только на векторных полях, но и на себе: если рядG(x) = Mx + V2 (x) + .
. . ∈ Diff[[C , 0]],det M 6= 0,(4.11)является формальным отображением, то другое формальное отображениеH ∈ Diff[[C , 0]] переводит G в G 0 = H ◦ G ◦ H −1 . Как и раньше, возникаетвопрос: все ли нелинейные члены V2 , V3 , . . . мы можем удалить из разложения,применяя подходящее формальное сопряжение.В этом случае можно снова воспользоваться стратегией, описанной в § 4.2.Рассмотрим полиномиальную замену координат H(x) = x + P (x), где P —векторный однородный многочлен степени m > 1. Такая замена сопрягаетотображение G(x) вида (4.11) с отображениемG 0 (x) = G(x) + R (x) + . . . ,где R — однородное векторное поле степени m, неявно определённое равенствомG(x) + P (G(x)) = G(x + P (x)) + R (x + P (x)) + . . .(4.12)После приведения подобных членов степени m получим уравнениеP(Mx) − MP(x) = R(x),P = P , R = R ,(4.13)которое можно пытаться решить относительно P. Это — мультипликативныйаналог гомологического уравнения (4.2).
ОператорS : D → D ,P(x) 7→ MP(x) − P(Mx),(4.14)можно изучать теми же методами, что и оператор ad . Если M — диагональная матрица с диагональными элементами µ1 , . . . , µ , то все мономы Fαстандартного базиса D — собственные векторы для оператора S с собственαными значениями µ − µα = µ − µ1 1 . . . µα . Если все эти выражения ненулевые,74Глава 4. Формальные нормальные формыто операторы S обязательно обратимы и, следовательно, формальное отображение G формально линеаризуемо.
Если же некоторые из выраженийµ − µα нулевые, то G можно привести к нелинейной нормальной форме.Все эти результаты могут быть получены таким же образом, как и в случаеформальных векторных полей.Определение 4.20. Мультипликативным резонансом набора ненулевыхкомплексных чисел µ = (µ1 , .
. . , µ ) ∈ (C∗ ) называется равенство видаµ − µα = 0,|α| ¾ 2,(4.15)где j — один из индексов 1, . . . , n. Невырожденная матрица M ∈ GL(n, C) и формальное отображение G(x) = Mx + . . . ∈ Diff[[C , 0]] нерезонансны, если междусобственными значениями M нет мультипликативных резонансов. Мультипликативным резонансным мономом, соответствующим резонансу (4.15),называется вектор, j-я компонента которого равна x α , а остальные компоненты — нулевые.Теорема 4.21 (теорема Пуанкаре — Дюлака для отображений). Каждоеобратимое формальное отображение формально эквивалентно формальномуотображению, линейная часть которого — жорданова нормальная форма,а нелинейная часть содержит только резонансные мономы с комплекснымикоэффициентами.
В частности, нерезонансное формальное отображениеформально сопряжено линейному отображению G 0 (x) = Mx.Понятно, что после доказательства теоремы 4.21 можно доказать и аналогтеоремы Белицкого 4.12. Однако мы не будем этим заниматься, а сосредоточимся сейчас на векторных полях и отображениях в малых размерностях —в размерности 2 для векторных полей и в размерности 1 для отображений. Мыполучим важные результаты, которые будут использоваться в дальнейшемизложении.§ 4.8.
Каспидальные точкиВажный случай, когда теорема 4.12 оказывается существенно сильнее, чемтеорема Пуанкаре — Дюлака 4.10, — это случай «наиболее недиагонализируемого» векторного поля, у которого линейная часть нильпотентна. В этомслучае все мономы резонансны и утверждение теоремы 4.10 тривиально.Мы рассмотрим только случай векторного поля на плоскости, линейная∂часть которого — векторное поле J = y ∈ Mat(2, R) (т.
е. матрица линейной∂xчасти — нильпотентная жорданова клетка размерности 2). Из теоремы 4.12мы немедленно получаем такое следствие.∂Теорема 4.22. Векторное поле на плоскости с линейной частью J = y∂xформально эквивалентно векторному полюJ + b(x)E + a(x)∂,∂ya, b ∈ C[[x]],E=x∂∂+y ,∂x∂y(4.16)где a, b ∈ C[[x]] — формальные ряды от одной переменной x, которые начинаются с членов степени 2 и 1 соответственно.75§ 4.8. Каспидальные точкиДоказательство. Для доказательства теоремы достаточно описать ядро∂∗оператора ad ∗ , где J = x ∂ y — «сопряжённое» векторное поле.
Ядро опера∂тора ad∗ = x , · в ограничении на D легко посчитать. Действительно,∂y∂∂∂∂∂x ,u +v= xu + (xv − u) ,∂y∂x∂y∂x∂yи коммутатор обращается в 0 только тогда, когда многочлен u (а значит,и v ) зависит только от x. Так как u, v должны быть однородными и иметьстепень m, получаем∂∂∂∂∂∂ker ad∗ |D = β x + x −1 y+ αx = β x x + y+ αx .∂x∂y∂y∂x∂y∂yКонстанты α = α и β = β и будут коэффициентами рядов a, b соответственно.Однако дополнительные пространства N можно выбирать по-разному,не обязательно так, как предписывает теорема 4.12. В некоторых случаяхдругой выбор N оказывается удобнее.Теорема 4.23.
Формальное векторное поле на плоскости с линейной∂частью J = yформально эквивалентно векторному полю∂xJ + [ yb(x) + a(x)]∂,∂y(4.17)где a(x) и b(x) — формальные ряды степени 2 и 1 соответственно.Доказательство. Это утверждение мы сведём непосредственно к парадигме Пуанкаре — Дюлака. Как было замечено в [91, § 35 D], в качествепространства, дополнительного к образу оператора ad в пространстве D ,∂можно взять 2-мерное пространство N0 векторных полей (αx + β x −1 y) .∂yДействительно, условие∂∂∂∂∂y ,f+g=u +v∂x∂x∂y∂x∂yимеет вид системы линейных уравнений в частных производныхy f − g = u,yg = v.Такая система может быть неразрешима для некоторых u, v, а системауравненийy f − g = u, yg + αx + β x −1 y = v(4.18)всегда разрешима для любых пар однородных многочленов u, v ∈ C[x, y]степени m при некоторых константах α, β. Чтобы это увидеть, применим∂yк первому уравнению:∂xy 2 f = yu + v − αx − β x −1 y.Уравнение y 2 f = w имеет единственное решение для любого монома w,делящегося на y 2 .
С другой стороны, можно подобрать константы α, β76Глава 4. Формальные нормальные формытаким образом, чтобы в правой части этого уравнения члены, пропорциональные x и x −1 y, уничтожились. При таком выборе констант мыавтоматически получаем, что второе уравнение в (4.18) также разрешимо.Константы, подобранные таким образом, будут коэффициентами рядов a, bсоответственно.§ 4.9. Векторные поля с нулевой линейной частьюПусть ряд для формального векторного поля F начинается с членовстепени k, F(x) = V (x) + V+1 (x) + . . . , k ¾ 2. Тогда, чтобы формальнаязамена координат H(x) = x + P2 (x) сопрягала поле F с векторным полем0F 0 (x) = V + V+1+ .
. . , имеющим такую же (нелинейную) главную часть V ,необходимо выполнение условия ∂P 20V (x) + V+1 (x) +V (x) + . . . = V (x + P2 (x)) + V+1(x + P2 (x)) + . . .∂x0После приведения подобных членов степени k+1 получаем [V , P2 ]= V+1 −V+1.0Это уравнение надо решить для правильно выбранного V+1 (например,равного нулю, если это возможно). Затем на следующем шаге мы избавимсяот членов степени k + 2 с помощью замены координат вида H(x) = x + P3 (x),которая не повлияет на члены V и V+1 , и т. д. Значит, для каждого m нужнорешить гомологическое уравнение0ad P = V+−1 − V+−1(4.19)относительно однородного векторного многочлена P степени m.
Как и раньше, мы можем полностью избавиться от всех членов степени k + 1 и вышетолько в том случае, когда оператор ad сюръективен. В противном случаепридётся вводить нормальные подпространства N+−1 ⊂ D+−1 , дополнительные к образу ad (D ) ⊆ D+−1 , и выбирать компоненты формальной0нормальной формы V+−1из этих подпространств.В отличие от случая k = 1, который мы обсудили выше, оператор adповышает степени, т.
е. действует между разными пространствами, и размерность пространства его значений, вообще говоря, выше, чем размерностьпространства определения. Значит, количество параметров в нормальнойформе будет бесконечным. Важным исключением является одномерныйслучай dim x = 1.Теорема 4.24. Ненулевое формальное векторное поле из D[[C, 0]] формально эквивалентно одному из векторных полей вида(x +1 + ax 2+1 )∂,∂xk ∈ N, a ∈ C.(4.20)Доказательство.
Ряд для любого ненулевого формального векторного∂поля на C1 начинается с члена a+1 x +1 , a+1 6= 0. Если мы работаем над∂xполем C, то коэффициент a+1 можно сделать равным 1 с помощью линейнойзамены координат x 7→ cx.§ 4.9. Векторные поля с нулевой линейной частью77∂Все пространства D одномерны, и коммутатор с главным членом x +1∂xлегко посчитать: ∂∂∂x +1 , x = (k − m + 1)x + .∂x∂x∂xЭтот оператор сюръективен для всех m 6= k + 1. Значит, из разложения∂векторного поля в ряд нельзя удалить только член x 2+1 .∂xЗаметим, что над полем действительных чисел R нормальная форма будетдругой: если k чётно, то с помощью вещественной гомотетии коэффициентпри главном члене можно сделать лишь равным ±1:(±x +1 + ax 2+1 )∂,∂xk ∈ N, a ∈ R.А для нечётных k векторные поля, отличающиеся знаком, эквивалентны(переводятся друг в друга симметрией x 7→ −x).Замечание 4.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
