Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если векторные рядыf, g ∈ C [[x]] c неотрицательными коэффициентами таковы, что каждыйкоэффициент ряда f не больше соответствующего коэффициента ряда g,будем писать f g. Аналогичным образом, для векторов x, y ∈ R записьx y будет обозначать, что каждая компонента у первого вектора не больше,чем у второго. Если f ∈ R [[x]] — (векторный) ряд с неотрицательнымикоэффициентами, то он -монотонен: если x y, то f (x) f ( y) (в частности,при k = 1 последнее неравенство приобретает вид f (x) ¶ f ( y)).Лемма 5.10. 1. Для любых рядов f, g ∈ C[[x]] и произвольного ρ выполненоdc fgdcρ ¶ dc f dcρ · dc gdcρ ,(5.3)если все указанные нормы конечны.2.
Если G G 0 — формальные ряды из R [[x]], а F — ряд с неотрицательными коэффициентами, то F ◦ G F ◦ G 0.3. Если F, G ∈ C [[z1 , . . . , z ]] — два формальных векторных ряда и F(0) == G(0) = 0, то имеет место оценкаdc F ◦ Gdcρ ¶ dc Fdcσ ,где σ = dcGdcρ .(5.4)Доказательство. Первые два утверждения очевидны: коэффициенты Тейлора произведения или композиции рядов выражаются через коэффициентыисходных рядов как многочлены, коэффициенты которых положительны (и даже натуральны: они равны 1 для произведения и некоторым биномиальнымкоэффициентам для композиции).
Поэтому в первом утверждении имеемоценку M( fg) M f · M g и, подставляя в обе части вектор ρ = (ρ, . . . , ρ),получаем требуемую оценку.В последнем утверждении неравенство можно доказывать по отдельностидля каждой компоненты векторного ряда F = (F1 , . . . , F ). Подставим в обечасти неравенства M(F ◦ G) (M F ) ◦ (M G) вектор ρ = (ρ, .
. . , ρ). ПосколькуM G(ρ) = y σ = (σ, . . . , σ), где σ = dcGdcρ , из монотонности получаемdc F ◦ Gdcρ = (M F ) ◦ (M G) (ρ) ¶ M F( y) ¶ M F(σ) = dc Fdcσ .Лемма 5.11. Если Λ ∈ Mat(n, C) — нерезонансная диагональная матрицасо спектром из области Пуанкаре, то оператор adΛ имеет ограниченныйобратный в пространстве векторных полей с мажорантной нормой.Доказательство. Формальный обратный оператор ad−1Λ имеет диагональный вид:XXcα∂∂ad−1cα x α7 −→xα.Λ :,α∂x,αλ − 〈α, λ〉∂xВ области Пуанкаре все знаменатели ограничены по модулю некоторойконстантой " > 0, поэтому любая мажорантная ρ-норма увеличивается опе-§ 5.2. Голоморфная классификация в области Пуанкаре87−1ратором ad−1раз:Λ не более чем в " −1< +∞.dcad−1Λ dcρ ¶ inf |λ − 〈α, λ〉|,αЗамечание 5.12. Диагональный оператор видаXXcα z α 7→µα c α x ααс ограниченными коэффициентами, supα |µα | < +∞, определён и ограниченв пространстве рядов с мажорантной нормой. Однако он может быть не определён или определён, но не ограничен в пространстве голоморфных функцийA (Dρ ); см.
замечание 5.9. «Вещественный» контрпример ещё проще: оператор, умножающий на −1 коэффициенты при x 4−2 , k = 1, 2, . . . , отображаетряд 1 − x 2 + x 4 − . . . , сходящийся к ограниченной функции на (−1; 1), в ряд,сходящийся к неограниченной функции.Пусть F =(F1 , . .
. , F )∈D(C , 0) — голоморфная вектор-функция, заданнаяв некотором полидиске, содержащем нуль. Оператор сдвига аргумента — этооператорS : h(x) 7→ F(x + h(x)),(5.5)действующий на множестве голоморфных векторных полей h ∈ D(C , 0),имеющих в нуле неподвижную точку: h(0) = 0. Мы хотим показать, чтооператор S в некотором смысле сильно сжимает. Формально говоря, этоозначает следующее.Рассмотрим однопараметрическое семейство банаховых пространств Bρс параметром ρ ∈ (R+ , 0), где Bρ — мажорантное пространство из определения 5.7. Будем считать, что Bρ0 является подпространством Bρ при всех0 < ρ < ρ 0 (естественное вложение idρ0, ρ : Bρ0 → Bρ непрерывно).Пусть оператор S определён на всех этих пространствах с достаточно малым ρ.
Мы будем рассматривать его как семейство операторов Sρ : Bρ → Bρ ,которые коммутируют с «операторами ограничения» idρ0, ρ для всех ρ < ρ 0 ;мы будем опускать индекс в обозначении: Sρ = S.Определение 5.13. Оператор S ' {Sρ } сильно сжимает, если выполненыследующие условия:1) dcS(0)dcρ = O(ρ 2 );2) S является липшицевым в шаре Bρ = {dchdcρ ¶ ρ} ⊂ Bρ относительно мажорантной ρ-нормы (с тем же ρ), причём константа Липшица есть O(ρ)при ρ → 0.Заметим, что сильно сжимающий оператор отображает шары Bρ строговнутрь себя: центр шара сдвигается на O(ρ 2 ), а диаметр его образа S(Bρ ) непревосходит 2ρ O(ρ) = O(ρ 2 ).Определение сильного сжатия позволяет просто сформулировать следующее утверждение.88Глава 5. Голоморфные нормальные формыЛемма 5.14.
Пусть F : (C , 0) → (C , 0) — голоморфный росток с нулевой∂Fлинейной частью:(0) = 0. Тогда оператор сдвига аргумента (5.5) сильно∂xсжимает.Доказательство. Вначале заметим, что S отображает h = 0 в функциюF(x), ρ-норма которой есть O(ρ 2 ) при малом ρ, поскольку разложение Fначинается с квадратичных членов.Теперь вычислим константу Липшица для S = S в шаре Bρ ⊆ Bρ . Пустьh, h0 ∈ C [[x1 , . . . , x ]] — два векторных поля, тогда разностьg = Sh − Sh0 = F ◦ (id + h) − F ◦ (id + h0 )можно представить в виде интеграла:g(x) =Z1∂F∂xx + τh(x) + (1 − τ)h0 (x) · (h(x) − h0 (x)) dτ.0По лемме 5.10, поскольку τ ∈ [0, 1], ∂F· dch − h0 dcρ , σ = x + τh(x) + (1 − τ)h0 (x) ρ .dc gdcρ ¶∂xσЕсли h и h лежат в ρ-шаре Bρ , то σ не превосходитdc xdcρ + max dchdcρ , dch0 dcρ = (n + 1)ρ.0С другой стороны, так как F — голоморфная функция без свободного и линейных членов, её матрица Якоби голоморфна и не имеет свободного члена,а потому её σ-норма не больше Cσ при всех достаточно малых σ > 0.
Объединяя эти оценки, мы получаем, что S является липшицевой в ρ-шаре Bρ ,с константой Липшица (коэффициентом сжатия), не превосходящей (n + 1)Cρ.Таким образом, S сильно сжимает.Доказательство теоремы 5.5 (нерезонансный случай). Теперь мы можем доказать, что голоморфное векторное поле с диагональной нерезонансной матрицей линеаризации Λ, спектр которой лежит в области Пуанкаре,можно линеаризовать голоморфным преобразованием в достаточно малойокрестности нуля. Это доказательство служит образцом при проведениидоказательства в технически более сложном резонансном случае.Голоморфное преобразование H = id + h сопрягает линейное векторноеполе Λx (нормальную форму) с исходным нелинейным полем Λx + F(x), еслии только если ∂hΛh(x) −Λx = F(x + h(x)).(5.6)∂xИспользуя ранее определённые операторы, это равенство можно переписатькакadΛ h = S h,S h = F ◦ (id + h), adΛ = [Λ, · ].(5.7)Далее мы покажем, что на пространстве Bρ оператор ad−1Λ ◦ S имеет неподвижную точку h, если ρ > 0 достаточно мало:h = (ad−1Λ ◦ S )(h),h ∈ Bρ .(5.8)89§ 5.3.
Резонансный случай: полиномиальная нормальная формаПрименяя к обеим частям равенства оператор adΛ , получаем, что h являетсярешением (5.7) и потому H = id + h сопрягает линейное поле Λx с нелинейнымполем Λx + F(x) в полидиске {|x| < ρ}.Итак, рассмотрим оператор ad−1Λ ◦ S в пространстве Bρ с достаточномалым ρ. Оператор ad−1ограниченпо лемме 5.11; его норма равна числу,Λобратному к наименьшему из знаменателей, и не зависит от ρ. С другойстороны, оператор сдвига аргумента S сильно сжимает с коэффициентомсжатия (константой Липшица) O(ρ) при ρ, стремящемся к нулю. Легковидеть, что тогда и композиция ad−1Λ ◦ S сильно сжимает (оценки на образнуля и константу Липшица увеличатся по сравнению с таковыми для Sв kad−1Λ k = O(1) раз).
Следовательно, при достаточно малом ρ этот операторотображает ρ-шар Bρ в ρ-мажорантной норме внутрь себя c константойЛипшица O(ρ), что меньше 1/2 при малом ρ. По принципу сжимающих отображений, это отображение имеет единственную неподвижную точку h ∈ Bρ . § 5.3. Резонансный случай:полиномиальная нормальная формаМы переходим к доказательству сопряжённости резонансного голоморфного векторного поля из области Пуанкаре со своей полиномиальной нормальной формой.
Это доказательство является модификацией предыдущегорассуждения.Пусть голоморфное векторное поле F(x) = Ax + V (x) имеет матрицу линеаризации A со спектром из области Пуанкаре, а его нелинейная часть V имеетпорядок не меньше 2 (т. е. является 1-плоской) в нуле. Без потери общности(переходя при необходимости к орбитально эквивалентному полю cF, 06= c ∈C)можно считать, что собственные значения матрицы A удовлетворяют условию1 < Re λ < r∀ j = 1, .
. . , n(5.9)при некотором r ∈ N.Теорема 5.15 (А. М. Ляпунов, А. Дюлак). Пусть спектр матрицы линеаризации A голоморфного векторного поля F(x) = Ax + V (x) удовлетворяетусловию (5.9) для натурального r ∈ N. Тогда голоморфное векторное поле F(x)локально голоморфно эквивалентно любому голоморфному векторному полюс той же r-струёй.Доказательство.
Голоморфное сопряжение H = id + h между полями Fи F + g удовлетворяет функциональному уравнению ∂HF = (F + g) ◦ H,∂xкоторое можно переписать как ∂h∂hAx − Ah = (V ◦ (id + h) − V ) + g ◦ (id + h) −V.∂xОпределим операторыT : h 7→ V ◦ (id + h) − V ,(5.10)∂xS : h 7→ g ◦ (id +h),Ψ : h 7→∂hV.∂x90Глава 5. Голоморфные нормальные формыС их использованием функциональное уравнение (5.10) записывается в видеad h = Th + Sh + Ψh,(5.11)где T = T, S = S и, как и выше в (5.7), ad — коммутатор с линейным полемA(x) = Ax. Имеется два существенных отличия от случая, рассмотренногов предыдущем параграфе. Во-первых, из-за наличия резонансов операторad уже не является обратимым, а во-вторых, поскольку поле F нелинейно, в правой части появляется дополнительный оператор Ψ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
