Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть иррациональное число l ∈ R приближается рациональными только с субэкспоненциальной точностью:1−"pдля некоторых C, " > 0,(5.37)l − > Ce−qи пусть µ = exp 2πil. Докажите, что для любой голоморфной правой части fгомологическое уравнениеh ◦ µ − µh = f ,f ∈ O (C, 0),имеет аналитическое (сходящееся) решение h ∈ O (C, 0).(5.38)104Глава 5. Голоморфные нормальные формыУпражнение 5.4. Пусть иррациональное число l имеет бесконечно многорациональных приближений экспоненциальной точности (т.
е. таких p/q, что|l − p/q| < e− ). Докажите, что для некоторых правых частей f гомологическоеуравнение (5.38) имеет только расходящиеся решения (ср. с замечанием 5.33).∂Задача 5.5. Пусть F = F(x) ∈ D(C1 , 0) — росток голоморфного вектор∂xного поля с особой точкой кратности k + 1 ¾ 2 в нуле, F(x) = x +1 (1 + o(1)),и F0 = F + o(x 2+1 ) ∈ D(C1 , 0) — другой росток с той же струёй порядка 2k + 1.Следуя приведённому ниже плану, докажите, что ростки F и F0 аналитическисопряжены.1. Докажите, что ростки F и F0 аналитически эквивалентны тогда и толькотогда, когда двойственные им мероморфные 1-формы, ω и ω0 соответственно,голоморфно эквивалентны (ср.
с замечанием 5.27).2. Докажите, что в указанных предположениях порядки полюсов и главные части рядов Лорана для форм ω и ω0 совпадают, так что их разностьω − ω0 голоморфна.3. Напишите условие того, что замена координат y = y(x) сопрягает ωс ω0. Интегрируя это условие, получите уравнение видаaaaa+ . . . + 1 + a0 ln y + O( y) = + . .
. + 1 + a0 ln x + O(x),yxyx(5.39)где O( y) и O(x) — голоморфные функции. Докажите, что такое уравнениевсегда имеет голоморфное решение y = y(x), касательное к тождественномуотображению.Указание. Подставьте y = ux в уравнение (5.39) и примените теоремуо неявной функции к функции u(x) с u(0) = 1.Задача 5.6 (ещё одно доказательство теоремы Шрёдера — Кёнигса; ср.с [13]). Пусть f ∈Diff(C,0) — сжимающее гиперболическое голоморфное отображение, f (z) = λz + . .
. , |λ| < 1, и g(z) = λz — его линеаризация (нормальнаяформа). Докажите, что последовательность итераций h = g −◦ ◦ f ◦ определена и сходится в некотором малом диске с центром в нуле и что пределh = lim h сопрягает f и g.Задача 5.7. Докажите сходными рассуждениями теорему 5.5 (Вилларини).Глава 6Конечно порождённые группы ростковконформных отображенийДо сих пор мы занимались задачей о классификации и некоторыми динамическими свойствами для одного ростка векторного поля или биголоморфизма.
Однако в § 2.3 был введён важный инвариант слоения — группаголономии листа L ∈ F с нетривиальной фундаментальной группой π1 (L, a),a ∈ L. По построению, голономия — это представление группы π1 (L, a) в группе конформных ростков Diff(τ, a), где τ — трансверсаль к L в точке a; группойголономии G называют образ этого представления. Мы будем рассматриватьголоморфные слоения на комплексной проективной плоскости, для которыхбесконечно удалённая прямая с конечным числом выколотых особых точекслоения является листом этого слоения. Фундаментальная группа этоголиста конечно порождена.
Поэтому нас будут интересовать только конечнопорождённые подгруппы группы конформных ростков Diff(C, 0).В этой главе мы займёмся задачами классификации и динамическимисвойствами таких групп, концентрируясь на тех свойствах, которые будутнам нужны далее, в главе 11, а также во втором томе. Значительно болееподробное изложение этой теории можно найти в недавней монографии [44].§ 6.1. Эквивалентность конечно порождённых группростков конформных отображенийПредложение 2.15 оправдывает следующее определение.Определение 6.1. Конечно порождённые подгруппы G, G 0 ⊆ Diff(C, 0)группы конформных ростков называются аналитически (топологически,формально) эквивалентными, если в этих группах можно так выбрать системы образующих: G = 〈 f1 , . .
. , f 〉, G 0 = 〈 f10 , . . . , f0 〉, что существует ростокбиголоморфного отображения (росток гомеоморфизма, формальный ряд) h,который одновременно сопрягает все образующие этих подгрупп: h ◦ f = f0 ◦ hпри j = 1, . . . , n.Замечание 6.2. Если образующие двух групп одновременно сопряженыкак указано выше, то эти группы изоморфны в теоретико-групповом смысле.Действительно, любое соотношение между образующими первой группыавтоматически выполнено и для образующих второй группы, и наоборот,поскольку росток тождественного отображения id ∈ Diff(C, 0) нельзя сопрячьни с каким другим ростком. Следовательно, обе группы изоморфны фактору106Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийсвободной группы c n образующими по некоторому (одинаковому для обеихгрупп) набору соотношений.Пример 6.3. Конформные ростки f и g из Diff(C, 0) аналитически, топологически или формально эквивалентны, если и только если порождённыеими циклические (коммутативные) подгруппы { f ◦Z } и {g ◦Z } группы Diff(C, 0)эквивалентны в вышеуказанном смысле, причём сопряжение переводит fв g. В частности, такие группы должны быть либо обе конечными, либо обебесконечными.Оказывается, важные свойства аналитической структуры группы можновыразить в чисто алгебраических терминах.Пример 6.4.
Один типичный конформный росток можно линеаризовать. Однако одновременная линеаризация (аналитическая, формальная илитопологическая) двух и более ростков возможна только тогда, когда группа, порождённая ими, коммутативна. Действительно, группа, порождённаялюбым числом линейных ростков f : z 7→ µ z из Diff(C, 0), коммутативна.«Производное отображение»T : Diff(C, 0) → C∗ ,Tg =dg(0) ∈ C∗ ,dz(6.1)сопоставляющее каждому ростку g его мультипликатор в нуле, являетсягомоморфизмом групп: по правилу дифференцирования композиции,T (g ◦ f ) = Tg · Tf = Tf · Tg.Его ядром является нормальная подгруппа в Diff(C, 0), состоящая из ростков,касающихся тождественного отображения в нуле, и обозначаемая Diff 1 (C, 0):Ker T = Diff 1 (C, 0) = g ∈ Diff(C, 0): g(z) = z + O(z2 ) .(6.2)Определение 6.5.
Элементы группы Diff 1 (C, 0) ростков, касающихсятождественного, называются параболическими ростками.На параболической подгруппе Diff 1 (C, 0) задана фильтрация по порядкукасания с тождественным отображением:Diff 1 (C, 0)\{id} = A1 t A2 t A3 t . . . ,A = g ∈ Diff 1 (C, 0): g(z) = z · (1 + az + . . .), a 6= 0 .(6.3)Натуральное число p в этой формуле называется порядком конформногоростка g ∈ A : этот параметр несколько удобнее порядка касания между gи тождественным ростком, который равен p + 1.
Легко убедиться, что порядокростка инвариантен (не меняется при сопряжении g 7→ h ◦ g ◦ h−1 , где h ∈∈ Diff(C, 0)).Пример 6.6. Если в группе G нет нетривиальных параболических ростков,т. е. G ∩ Diff 1 (C, 0) = {id}, то отображение T инъективно, а потому группа Gкоммутативна как изоморфная подгруппе коммутативной группы C∗ . Болеетого, если G аналитически или формально линеаризуема, то каждый элемент g может сопрягаться только с линейным ростком x 7→ ν x, ν = Tg ∈ C∗ ,§ 6.1. Эквивалентность конечно порождённых групп107поскольку мультипликаторы g и h ◦ g ◦ h−1 совпадают.
Следует подчеркнуть,что для подгруппы группы ростков алгебраическая изоморфность подгруппев C∗ (например, бесконечной циклической подгруппе) недостаточна длялинеаризуемости, даже формальной, этой подгруппы.Простым достаточным условием одновременной линеаризуемости (и потому коммутативности) конечно порождённой группы является её конечность.Теорема 6.7 (теорема Бохнера (Bochner) о линеаризации). Любую конечную подгруппу G ⊆ Diff(C, 0) можно линеаризовать: существует такойбиголоморфизм h ∈ Diff(C, 0), что все ростки h ◦ g ◦ h−1 линейны:∀g∈Gh ◦ g ◦ h−1 (x) = ν x,ν = Tg ∈ C∗ .(6.4)Доказательство.
Определим росток аналитической функции h ∈ O (C, 0)формулойXh=(Tg)−1 · g∈в любой карте на (C, 0) (отметим особо, что сложение имеет смыслP только вO (C, 0), но не в Diff(C, 0)). Росток h имеет линейную часть Th = 1 = |G| 6= 0и потому обратим.По теореме о производной сложной функции, для любого ростка f ∈ GимеемXX(Tg)−1 · (g ◦ f ) = Tf ·h◦ f =∈(T (g ◦ f ))−1 · (g ◦ f ) =∈= Tf ·X(Tg0 )−1 · g 0 = Tf · h,0 ∈ т. е. h сопрягает f с умножением на ν = Tf.Эта линеаризационная теорема имеет следующее простое, но полезноеследствие.
Напомним, что для негиперболических ростков с мультипликаторами на единичной окружности вопрос о сходимости линеаризующихпреобразований, вообще говоря, весьма сложен в нерезонансном случае,см. § 5.5. Резонансный случай оказывается неожиданно простым.Теорема 6.8. Резонансный конформный росток f : z 7→ µz + . . . ∈ Diff(C, 0),где µ ∈ exp 2πiQ, аналитически линеаризуем тогда и только тогда, когда онлинеаризуем формально.Доказательство.
Утверждение «только тогда» тривиально. Докажем утверждение «тогда». Пусть h — формальный росток, линеаризующий росток f.Поскольку мультипликатор µ является корнем из единицы,(h ◦ f ◦ h−1 )◦ = h ◦ f ◦ ◦ h−1 = idдля некоторого натурального n. Это значит, что формальный ряд h сопрягаетголоморфный росток f ◦ с тождественным отображением. Однако единственное голоморфное отображение, формально эквивалентное тождественному, — это само тождественное отображение, поэтому f ◦ =id, а следовательно,108Глава 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
