Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Более того, поскольку R обращается в нуль в начале координат, |R (x)| < C|x| для некоторого C < ∞и всех x ∈ D1 . Объединяя это неравенство с равномерными оценками | f ◦ (x)| ¶ µ+ |x|,вытекающими из (5.27), получаем, что ряд (5.29) сходится равномерно в D1 и потомуего сумма является голоморфной функцией, обращающейся в нуль при x = 0.§ 5.7.
Альтернатива для расходимости нормализующего ряда99Итак, мы построили голоморфное векторное полеH = s(x, z) u(x, z)∂∂+1· ,∂x∂zявляющееся решением уравнения (5.24), и тем самым завершили альтернативноедоказательство теоремы 5.18.§ 5.7. Альтернатива для расходимостинормализующего рядаКак видно из теорем Пуанкаре, Зигеля и Брюно, для большинства линейных частей линеаризующий ряд сходится, а в остальных случаях он можетрасходиться. С другой стороны, независимо от того, насколько «плохой» является линеаризация и её собственные значения, всегда найдутся нелинейныесистемы с такой линеаризацией, которые линеаризовать можно (например,таковы линейные системы, переписанные в нелинейных координатах).
Оказывается, в некотором точном смысле для заданной линейной части сходимостьлибо расходимость имеет место для большинства нелинейных добавок.Рассмотрим зависящую от параметра нелинейную системуẋ = Ax + z f (x),x ∈ C , z ∈ C,(5.30)голоморфную в некоторой окрестности начала координат с нерезонанснойматрицей линеаризации A и нелинейной частью, линейно зависящей от дополнительного комплексного параметра z ∈ C. Для такой системы для каждогозначения параметра z ∈ C существует единственный (по замечанию 4.6)формальный ряд H (x) = x + h (x) ∈ Diff[[x, z]], линеаризующий (5.30). Этотряд может сходиться при некоторых значениях параметра z и расходиться придругих.
Оказывается, существует следующая альтернатива: либо нормализующий ряд сходится при всех значениях z без исключения, либо, напротив, ряд Hрасходится при всех z, кроме малого исключительного множества K â C.Исключительное множество мало в том смысле, что его (электростатическая) ёмкость равна нулю. Понятие ёмкости формально введено ниже в § 5.8,где представлены также некоторые основные его свойства. Упомянем здесьтолько, что любое компактное множество нулевой ёмкости имеет нулевуюмеру Лебега.Теорема 5.29 (альтернатива для расходимости линеаризации, Ю. Ильяшенко [112], Р.
Перес Марко [50]). Для любого нерезонансного линейного семейства (5.30) имеет место следующая альтернатива:1) либо нормализующий ряд H ∈ Diff[[C , 0]] сходится при всех значениях z ∈ C в симметричном полидиске {|x| < r} положительного радиусаr = r(z) > 0, причём r(z) ¾ C|z|−1 для |z| > z0 и некоторого C > 0;2) либо линеаризующий ряд H расходится при всех значениях z, кромемножества K â C, имеющего нулевую ёмкость.100Глава 5.
Голоморфные нормальные формыДоказательство основано на следующем свойстве многочленов, котороеможно назвать количественной теоремой единственности для многочленов.Если множество K бесконечно, а многочлен p ∈ C[z] обращается в нуль на K,то по определению p равен нулю тождественно. Можно было бы ожидать, чтоесли многочлен p мал на K, то он равномерно мал и на любом компактноммножестве в C.Теорема 5.30 (неравенство Бернштейна). Если K â C — множество положительной ёмкости, то для любого многочлена p ∈ C[z] степени r ¾ 0выполнено неравенство|p(z)| ¶ kpk exp(rG (z)),(5.31)где kpk =max∈ |p(z)| — равномерная норма p на K, а G (z) — неотрицательная функция Грина дополнения C\K с источником в бесконечности, см. (5.35).Мы отложим доказательство этой теоремы до § 5.8 и перейдём к выводутеоремы 5.29 из неравенства Бернштейна.Лемма 5.31. Коэффициенты формального ряда Тейлора, линеаризующегополе (5.30), являются полиномами от z.Более точно, каждый моном x α , |α| ¾ 2, входит в векторный ряд h с коэффициентом, который является полиномом от z степени не выше |α| − 1.Доказательство.
Уравнение, задающее h = h , имеет вид ∂h (Ax + z f (x)) = Ah (x).∂x(5.32)Объединяя члены степени m по x, мы получим для соответствующих m-х()однородных (векторных) компонент h(), рекуррентные соотношения , f∂h()∂xAx − Ah()= −zX+=, ¾2∂h(+1)∂xf () .Из этих соотношений индукцией по m легко выводится, что h()являетсямногочленом степени m − 1 по z (напомним, что f не зависит от z).Доказательство теоремы 5.29. Предположим, что формальный рядH (x) = x + h (x),линеаризующий поле F (x) = Ax + z f (x), сходится для значений параметра z,образующих множество K ∗ ⊂ C положительной ёмкости.Рассмотрим его подмножества Kρ â C, ρ > 0, c < +∞, определяемыеусловием−z ∈ Kρ ⇐⇒ |h()∀ m ∈ N.
(0)| ¶ cρSЗаметим, что K ∗ = ,ρ Kρ , поскольку ряд Тейлора сходится тогда и толькотогда, когда выполнена некоторая оценка типа Коши. Каждое из множеств Kρ ,очевидно, компактно, как пересечение полуалгебраических компактов.§ 5.7. Альтернатива для расходимости нормализующего ряда101Компакты Kρ вложены естественным образом: K0 ρ0 ⊆ Kρ , если ρ 0 ¾ ρи c ¶ c, а потому K ∗ является счётным объединением компактов Kρ . Поскольку K ∗ имеет положительную ёмкость, по предложению 5.35 (см.
ниже),один из этих компактов также имеет положительную ёмкость. Обозначимего через K = Kρ ; по его определению0−|h() | ¶ cρ∀ z ∈ K, ∀ m ∈ N.Поскольку ёмкость K положительна, к нему применима теорема 5.30. Из этойтеоремы и леммы 5.31 вытекает, что коэффициенты ряда h для любого z ∈ Cудовлетворяют неравенствам −ρ−|h()exp[(m − 1)G (z)] ¶ c∀ z ∈ C, ∀ m ∈ N, | ¶ cρexp G (z)а это значит, что ряд h сходится для любого z ∈ C в симметричном полидиске{|x| < ρ/exp G (z)}.
Вместе с асимптотикой G (z) = ln |z| + O(1) при z → ∞(см. (5.35)) это доказывает нижнюю оценку для радиуса сходимости H . Альтернатива, указанная в теореме 5.29, может быть полезна при построении «неконструктивных» примеров расходимости линеаризующих рядов.Рассмотрим опять нерезонансный случай, когда гомологическое уравнениеad g = f всегда формально разрешимо.Теорема 5.32 (см. [112]). Пусть формальное решение g ∈ D[[C , 0]] гомологического уравнения ad g = f расходится.Тогда ряд, линеаризующий векторное поле F (x) = Ax + z f (x), расходитсяпри всех значениях параметра z, за исключением некоторого множестванулевой ёмкости.Доказательство. Пусть, напротив, линеаризующий ряд H сходится намножестве положительной ёмкости. Тогда по теореме 5.29 он сходится привсех значениях z и, в частности, h голоморфно в некотором малом полидиске{|x| < ρ 0 , |z| < ρ 00 }.Дифференцируя (5.32) по z, мы получим, что производная∂h (x) g(x) = ∂z=0является сходящимся решением гомологического уравнения ∂g Ax − Ag = f ,∂xчто противоречит предположениям теоремы.Замечание 5.33.
Выполнения предположения о расходимости, возникающего в теореме 5.32, добиться нетрудно. Предположим, что A — диагональнаяматрица с таким спектром {λ }1 , что разности |λ − 〈λ, α〉| убывают быстрее,чем любая геометрическая прогрессия ρ |α| с ненулевым ρ. Предположимтакже, что коэффициенты ряда Тейлора для f ограничены снизу некоторойгеометрической прогрессией. Тогда ряд ad−1 f расходится.102Глава 5. Голоморфные нормальные формыОтметим ещё, что множество положительной меры обязательно имееттакже положительную ёмкость (предложение 5.35), поэтому расходимостьряда для линеаризующего векторного поля, гарантируемая теоремой 5.32,возникает при почти всех z по мере Лебега, как указано в [112].§ 5.8.
Ёмкость и неравенство БернштейнаПриводящееся здесь краткое изложение основано на [50] и энциклопедическомтруде [70].Напомним, что функция ln |z − a|−1 = − ln |z − a| — это электростатический потенциал на плоскости C ' R2 , создаваемый единичным зарядом в точке a ∈ C, и что этафункция гармоническая во всех точках плоскости, кроме a. Если µ — неотрицательнаямера (распределение зарядов) на компакте K â C, то его потенциал — это функцияZuµ (z) =ln |z − a|−1 dµ(a),а энергия этой меры задаётся формулойZZEµ (K) =ln |z − w|−1 dµ(z) dµ(w).×Эта энергия либо является бесконечной для всех мер (кроме нулевой), либо конечнадля некоторой меры. В последнем случае можно показать, что среди всех неотрицательных мер, нормируемых условием µ(K) = 1, (конечный) минимум энергииE ∗ (K) = inf µ()=1 Eµ (K) достигается на некотором единственном равновесном распределении µ . Соответствующий потенциал u (z) называется потенциалом проводника K.Определение 5.34.
(Гармоническая, электростатическая) ёмкость компакта K —это число c(K), равное нулю, если Eµ = +∞ для любого распределения зарядов на K,и exp(−E ∗ (K)) > 0 в противном случае:если ∀ µ Eµ (K) = +∞, 0,c(K) =(5.33)sup exp(−Eµ (K)) иначе. µ()=1µ¾0Предложение 5.35. Ёмкость компактов обладает следующими свойствами.1. Счётное объединение множеств нулевой ёмкости также имеет нулевую ёмкость.p2. c(K) ¾ mes(K)/(πe), где mes(K) — это мера Лебега компакта K. В частности,если K имеет положительную меру, то c(K) > 0.3.
Если K — жорданова кривая положительной длины, то c(K) > 0.Эти утверждения доказаны в [70] как теоремы III.8, III.10 и III.11 соответственно.Предложение 5.36. Для компактного множества K положительной ёмкостипотенциал проводника u является гармонической функцией вне K иu ¶ c−1 (K),u | = c−1 (K) п. в.,u (z) = − ln |z| + O(|z|−1 )Доказательство. См. [70, Theorem III.12].при z → ∞.(5.34)103Упражнения и задачиОтсюда следует, что для множеств положительной ёмкости существует функцияГринаG (z) = c−1 (K) − u (z) = ln |z| + c−1 (K) + o(1) при z → ∞,(5.35)неотрицательная на C\K, обращающаяся в нуль на K и асимптотически эквивалентнаяна бесконечности фундаментальному решению уравнения Лапласа.Доказательство теоремы 5.30 (неравенства Бернштейна). Поскольку утверждение теоремы инвариантно относительно умножения p на скаляр, можно предполагать, что старший коэффициент p равен единице.Пусть p(z) = z + .
. . Рассмотрим функциюg(z) = ln |p(z)| − ln kpk − rG (z),z ∈ C\K.Покажем, что она неположительна вне K. Действительно, g отрицательна в окрестности бесконечности, поскольку g(z) = − ln kpk − rc−1 (K) + o(1) при z → ∞ в силу(5.35). На K также выполнено очевидное неравенство ln |p(z)| ¶ ln kpk , а функцияГрина G имеет нулевой предел на K по (5.34). По построению, функция g гармоничнаво всех точках C\K, кроме изолированных нулей многочлена p, где она стремитсяк −∞. Следовательно, по принципу максимума функция g неположительна всюду:ln |p(z)| ¶ ln kpk + rG (z) при всех z ∈ C\K. Применение функции e к обеим частямэтого неравенства завершает доказательство.Пример 5.37.
Пусть K = [−1, 1]. Его дополнение конформно отображается наp1внешность единичного диска D = {|w| < 1} функцией z = (w + w −1 ), w = z + z2 − 1.2Функция Грина GD единичного диска равна ln |w|. Следовательно, мы получаем явноевыражение для G :pG = lnz + z2 − 1,из которого вытекает классическая форма неравенства Бернштейнаpdeg |p(z)| ¶ z + z2 − 1max |p(z)|.−1¶¶+1(5.36)Упражнения и задачиЗадача 5.1. Докажите, что если h — решение однородного гомологиче∂ского уравнения (5.26) с гиперболическим отображением f, то H = h(x) ∈∂x∈ D(C, 0) — это векторное поле, лишь постоянным множителем отличающееся от генератора отображения f : f = exp cH для некоторого c ∈ C.Задача 5.2. Проведите подробно доказательство теоремы Пуанкаре дляотображений (теоремы 5.17).Упражнение 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
