Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 18
Текст из файла (страница 18)
На самом деле вышеприведённые рассуждения показывают, что любые два формальных векторных поля на прямой, имеющие нульстепени k + 1 в начале координат и одинаковые (2k + 1)-струи, формальноэквивалентны.Вместо полиномиальной нормальной формы (4.20) иногда удобнее пользоваться рациональной формальной нормальной формой∂x +1· ,1 − ax ∂xk ∈ N, a ∈ C.(4.21)Это (рациональное) векторное поле аналитически эквивалентно полю (4.20)с тем же a. С другой стороны, как будет показано в п. 6.2.2, два векторныхполя в нормальной форме (4.21) с различными значениями a не могут бытьэквивалентны.Теорема 4.26. Каждое формальное отображение x 7→ x + x +1 + . .
. , k ∈ N,касательное к тождественному, формально эквивалентно:1) отображению потока полиномиального векторного поля (4.20) за время 1,2) отображению потока рационального векторного поля (4.21) за время 1,3) полиномиальному отображению x 7→ x + x +1 + ax 2+1для одинаковых значений комплексного параметра a ∈ C. Этот параметрвместе с порядком касания k + 1 образует систему инвариантов формальнойклассификации.Доказательство. Этот результат можно доказать точно так же, как и теорему 4.24. А именно, можно доказать аналог парадигмы Пуанкаре — Дюлакадля уравнения (4.12) и использовать выкладку из предложения 6.11 (см.
далее).Но повторения этого рассуждения можно избежать, если сослаться на теорему 3.17 о формальном включении в поток. Действительно, любое формальное отображение из Diff[[C, 0]], порядок касания которого с тождественнымравен k + 1, можно представить в виде отображения за время 1 формальноговекторного поля из D[[C, 0]]. Это поле, в свою очередь, можно привести78Глава 4. Формальные нормальные формык любой из двух формальных нормальных форм, или же к тому формальному(неполиномиальному!) векторному полю, которое порождает полиномиальную нормальную форму.§ 4.10. Формальные нормальные формы элементарныхособых точек на вещественной плоскостиВ этом параграфе мы, подводя итоги § 4.1–4.9, получим (орбитальные)формальные нормальные формы для всех вещественных векторных полейна плоскости с ненулевыми линейными частями. Напомним, что два формальных векторных поля F, F 0 ∈ D[[R2 , 0]] называются формально орбитальноэквивалентными, если существует такой обратимый вещественный формальный ряд ϕ ∈ R[[x, y]], ϕ(0, 0) 6= 0, что поле F формально эквивалентно полюϕ · F 0 и все коэффициенты сопрягающего их формального отображения вещественны (т.
е. это формальное отображение принадлежит группе Diff[[R2 , 0]]).Под особыми точками мы будем понимать особые точки струй формальныхвекторных полей или особые точки ростков аналитических векторных полей.Определение 4.27. Особая точка векторного поля на плоскости называется элементарной, если хотя бы одно из собственных значений λ1,2 матрицылинейной части векторного поля отлично от нуля.Неэлементарная особая точка, у которой матрица линейной части ненулевая, но имеет два нулевых собственных значения, называется каспидальнойили нильпотентной особой точкой.Вещественные элементарные особые точки бывают нескольких типов,и точки разных типов имеют существенно различные свойства.Определение 4.28.
Элементарная особая точка называется резонанснымузлом, если отношение её собственных значений — натуральное число иличисло, обратное к натуральному. Особая точка называется резонанснымседлом, если оба её собственных значения вещественны и их отношение —отрицательное рациональное число. Особая точка называется эллиптической,если λ1,2 = ±iω, ω > 0. Наконец, особая точка называется седлоузлом, еслировно одно из её собственных значений равно нулю.Предложение 4.29 (формальные нормальные формы особых точек наплоскости). Для любого вещественного формального векторного поля изD[[R2 , 0]], которое встречается в табл.
4.1, существует вещественная формальная орбитальная замена координат из группы Diff[[R1 , 0]] × Diff[[R2 , 0]],которая приводит поле к нормальной форме, указанной в правой колонкетаблицы.Доказательство. Большая часть этих результатов — частные случаи общих утверждений, доказанных ранее над полем C; нужно добавить толькоследующее очевидное замечание. Если линейную часть векторного поляможно привести к жордановой нормальной форме вещественным линейнымпреобразованием, то все результаты о формальной классификации остаютсяверными и после замены основного поля на R. Единственный нетривиальный§ 4.10.
Формальные нормальные формы элементарных особых точек79Таблица 4.1Формальные нормальные формы вещественных векторных полей. Все строки таблицы,кроме последней, относятся к формальным векторным полям на плоскости и содержаторбитальные формальные нормальные формыТипУсловияФормальнаянормальная формаНерезонансныйслучай[λ1 : λ2 ] ∈/ Q илиλ1 = λ2 6= 0ЛинейнаяРезонансный узел[λ1 : λ2 ] = [r : 1],r ∈ N, r ¾ 2ẋ = rx + ay , ẏ = y,Резонансное седло(орбитальнаяклассификация)[λ1 : λ2 ] = −[p : q],p, q ∈ N, поле формальноорбитально нелинеаризуемоa ∈ {0, ±1} — формальныйинвариантẋ = −px,ẏ = q y(1 ± u + au2 ),u = x y,r ∈ N, a ∈ R — формальныеорбитальные инвариантыЭллиптическиеточки (орбитальнаяклассификация)λ1,2 = ±iω, поле формальноорбитально нелинеаризуемоẋ = y ± x(u + au2 ),ẏ = −x ± y(u + au2 ),u = x2 + y2,r ∈ N, a ∈ R — формальныеорбитальные инвариантыСедлоузел(орбитальнаяклассификация)λ1 6= 0, λ2 = 0,формально изолированнаяособая точкаẋ = x, ẏ = ± y +1 + ay 2+1 ,r ∈ N, a ∈ R — формальныеорбитальные инвариантыКаспидальная(нильпотентная)неэлементарнаяособая точкаМатрица линейной частиненулевая, имеет нулевыесобственные значенияẋ = y, ẏ = a(x) + yb(x),a, b ∈ R[[x]] — формальныеряды, ord a ¾ 2, ord b ¾ 1Одномерноевырожденноевекторное полеλ = 0, особая точкаформально изолированаẋ = ±x +1 + ax 2+1 илиẋ = ±x +1,1 − ax r ∈ N, a ∈ R — формальныеинвариантыслучай, в котором вещественную матрицу нельзя нормализовать над R, —это случай эллиптической особой точки.
Тогда линейная часть векторногополя — это линейный поворотωx∂∂− ωy ,∂y∂xсобственные значения которого равны ±iω. С комплексной точки зрения этаособая точка является резонансным седлом, но для диагонализации такой80Глава 4. Формальные нормальные формыматрицы необходимо расширить основное поле. Другой подход к эллиптическому случаю описан в примере 4.14.Доказательство утверждения о нормальной форме седлоузла можно получить, объединив теорему Пуанкаре — Дюлака и теорему 4.24. Само условиеλ2 = 0 не является резонансом, но из него получается бесконечно многорезонансов вида λ = λ + mλ2 для любого m ∈ N. По теореме Пуанкаре —Дюлака, исходное поле формально эквивалентно полюx f ( y)∂∂+ yg( y) ,∂x∂yгде f (0) 6= 0 и g(0) = 0 (последнее равенство следует из того, что нашаособая точка — элементарная вырожденная особая точка).
Разделим это полена обратимый ряд f ( y). Для нового поля f ≡ 1, и переменные (формально)разделяются. Осталось сделать формальную замену переменной y, которая∂приведёт одномерное векторное поле g( y)к нормальной форме (4.20).∂yСлучай резонансного седла рассматривается аналогично: само тождество〈λ, m〉 = 0 не является резонансом, но его можно домножать на любое целоечисло и прибавлять к обеим частям равенств λ1 = λ1 или λ2 = λ2 , получаябесконечно много резонансов. Не теряя общности, предположим, что λ1 = −p,λ2 = q, p, q ∈ N.
Ясно, что никаких других резонансов нет, поэтому нормальнаяформа Пуанкаре — Дюлака имеет вид−px f (u)∂∂+ q y g(u) ,∂x∂yf (0) = g(0) = 1,где u = x y — резонансный моном. Переходя к орбитально эквивалентнойсистеме, можно добиться выполнения равенства f ≡ 1.Полученное поле допускает проецирование R2 → R1 , (x, y) 7→ u = x y ∈ R1 .Образ системы при проекции имеет видu̇ = uF(u),F(u) = g(u) − 1.(4.22)Эта система называется факторсистемой. Подходящей формальной заменойвида u 7→ u0 = u(1 + h(u)), h(0) = 0, факторсистему можно привести к виду(4.20), который соответствует g(u) = 1 + u−1 + au2−1 .
Остаётся заметить, чтокаждую формальную замену переменной u 7→ u[1 + h(u)], h(0) = 0, можно«накрыть» заменой (x, y) 7→ (x 0 , y 0 (x, y)), гдеx 0 = x,y 0 = y[1 + h(x y )]1/ ∈ R[[x, y]];выражение, записанное в квадратных скобках, надо разложить в ряд по степеням переменных. Такое преобразование приведёт векторное поле к требуемой формальной нормальной форме.Почти такую же конструкцию можно применить в эллиптическом случае:бесконечная формальная нормальная форма (4.9) допускает проецированиена ось u, где u=x 2 + y 2 , и факторсистема имеет вид u̇ = 2u f (u). Доказательствотого, что каждое формальное преобразование на прямой вида u 7→ u[1 + h(u)],h(0) = 0, тоже можно «накрыть» подходящим формальным преобразованиемвещественной плоскости, мы оставляем читателю в качестве упражнения.
81§ 4.10. Формальные нормальные формы элементарных особых точекЗамечание 4.30. При необходимости полиномиальные нормальные формы из табл. 4.1 можно заменить рациональными нормальными формами,пользуясь рациональными нормальными формами для одномерных факторсистем.Также заметим, что все нормальные формы элементарных особых точекиз этой таблицы интегрируемы: факторсистему можно в явном виде проинтегрировать в квадратурах (особенно просто это сделать для рациональныхнормальных форм (4.21)).
После этого переменные x и y всегда разделяются. Интегрируемость нормальных форм мы будем часто использоватьв дальнейшем в выкладках с нормальными формами.Каспидальная нормальная форма — это знаменитая система Льенара.Соответствующее ей векторное поле — одно из самых простых нелинейныхи неинтегрируемых векторных полей, для которого вопросы, касающиеся количества предельных циклов, весьма нетривиальны. Систему Льенара иногдазаписывают в видеẋ = y − f (x), ẏ = −g(x)или как дифференциальное уравнение второго порядка на прямой.Замечание 4.31. Динамическая (полная, а не орбитальная) формальная нормальная форма содержит больше параметров, чем указано в табл. 4.1.
Например, дляседлоузла формальной нормальной формой будет¨ẋ = x(λ1 + b1 y + . . . + b y ),λ1 , b1 , . . . , b , a ∈ C.(4.23)ẏ = y +1 + ay 2+1 ,Чтобы доказать эту формулу, приведём векторное поле к видуx f ( y)∂∂+ g( y)∂x∂yтак же, как и ранее, а потом подходящей заменой переменной y просто приведём gк стандартному видуg( y) = y +1 + ay 2+1 .Функцию f (x) можно ещё упростить заменой вида(x, y) 7→ (h( y)x, y),h(0) 6= 0,сохраняющей вторую координату.
Легко проверить, что после такого преобразованияряд f = f ( y) ∈ C[[ y]] заменится на рядf0 = f +g dhd·= f + ( y +1 + ay 2+1 ) ln h.y dydyТак как ряд Тейлора для g начинается с членов степени k + 1, разность между f и f 0будет k-плоской (логарифмическая производнаяdln h из предыдущей формулы —dyкорректно определённый формальный ряд, принадлежащий C[[ y]], так как h(0)не равно нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
