Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если группа G связна, то exp g = G, что и требовалось.Для ненильпотентной алгебры Ли утверждение может быть неверным:как следует из замечания 3.13, для алгебр Ли gl(n, R) ⊂ gl(n, C) и соответствующих групп Ли GL(n, R) ⊂ GL(n, C) экспоненциальное отображение сюръективно на большей группе, но не сюръективно на подгруппе.Замечание 3.16. Таким же образом можно доказать, что для любого автоморфизма H ∈ Aut F, достаточно близкого к единице E, логарифм log H, заданный рядом (3.12), является оператором дифференцирования: log H ∈ Der F.
Этоследует из того, что log и exp взаимно обратны на достаточно малых окрестностях E и 0 соответственно. Однако размер этих окрестностей зависит от F.§ 3.6. Включение в формальный потокОпираясь на теорему 3.14, можно доказать следующий общий результат,полученный Ф. Такенсом в 1974 г.; см. [66].Теорема 3.17. Пусть H ∈ Diff[[C , 0]] — формальное отображение с уни∂Hпотентной линейной частью A =(0): (A − E) = 0.∂xТогда существует формальное векторное поле F ∈ D[[C , 0]] с нильпотентной линейной частью N, такое что H — формальный поток за время 1для поля F.Доказательство. Как и обычно, мы отождествляем формальное отображение с автоморфизмом H алгебры F = C[[x1 , . .
. , x ]], и его струи конечного порядка j H становятся автоморфизмами конечномерных алгебрF = J (C , 0). Не теряя общности, можно считать, что матрица A верхнетреугольна, тогда автоморфизм H и все его струи j H в каноническомdeglex-упорядоченном базисе становятся верхнетреугольными матрицамис единицами на диагонали. Итак, струи j H — конечномерные верхнетреугольные (унипотентные) автоморфизмы алгебр F .Рассмотрим бесконечный ряд (3.12) и его конечномерные струи, полученные применением проекции j ко всем членам ряда.
Каждая конечномернаяструя этого ряда является рядом для логарифма log j H, а этот ряд сходится(на самом деле — даже стабилизируется за конечное число шагов). Более того,по теореме 3.14, любая конечномерная струя ряда (3.12) является дифференцированием j F алгебры F . Ясно, что струи разных порядков согласованыв младших членах; значит, ряд log H сходится в смысле определения 3.4 к оператору дифференцирования F алгебры F.
Этот оператор дифференцированиясоответствует формальному векторному полю F, что и требовалось.Упражнения и задачиЗадача 3.1. Пусть F ∈ D[[C , 0]] — формальное поле, F ∈ Der C[[x]] — соответствующий ему оператор дифференцирования; пусть {H } ⊂ Diff[[C , 0]] —60Глава 3. Формальные потоки и теорема о включении в потокформальный поток поля F, {H } ⊂ Aut C[[x]] — соответствующая однопараметрическая группа автоморфизмов, которая удовлетворяет равенству (3.7).Докажите на языке формальных векторных рядов, чтоd H = F ◦Hdtдля всех t.∂Упражнение 3.2. Рассмотрим оператор дифференцирования F =ал∂xгебры C[x] многочленов от одной переменной.
Докажите, что экспоненциальный ряд exp tF корректно определён для всех значений t ∈ C как автоморфизмC[x], но перестанет быть корректно определённым, если алгебру C[x] заменить на алгебру C[[x]] или O (D), где D = {|x| < 1} — единичный диск.Задача 3.3. Докажите, что интегральное представление (3.11) совпадаетсо стандартным определением матричной функции f (M) для любого (скалярного) многочлена f.Упражнение 3.4. Найдите все комплексные логарифмы матрицы1M = −10 −1(т. е. все решения уравнения exp A = M).Глава 4Формальные нормальные формыПодобно тому как голоморфные отображения действуют сопряжениемна голоморфных векторных полях (см.
(1.26)), можно ввести действие формальных отображений на формальных векторных полях. В этой главе мы исследуем формальные нормальные формы, к которым можно привести формальноевекторное поле сопряжением с подходящим формальным отображением.Определение 4.1. Два формальных векторных поля F, F 0 называютсяформально эквивалентными, если существует обратимое формальное отображение H, для которого равенство (1.26) верно как равенство формальныхрядов.Два векторных поля формально эквивалентны тогда и только тогда,когда соответствующие дифференцирования F, F0 алгебры C[[x]] сопрягаются подходящим автоморфизмом формальной алгебрыH ∈ Aut C[[x]]: H ◦ F0 = F ◦ H.Понятно, что если (голоморфные) ростки векторных полей голоморфноэквивалентны, то они формально эквивалентны.
Обратное утверждениев общем случае неверно, так как формальное сопряжение может быть расходящися рядом.§ 4.1. Теорема о формальной классификацииВ формальной классификации формальных векторных полей важнуюроль играют главные члены векторного поля. В частности, большое значение имеют свойства матрицы линейной части векторного поля — матрицы∂FA=(0), — в том случае, если она ненулевая.
Случай A = 0 существенно∂xсложнее, если размерность пространства больше единицы.Мы начнём с ключевого определения и введём понятие резонанса —некоторого линейного соотношения с целыми коэффициентами между комплексными числами.Определение 4.2. Упорядоченный набор комплексных чиселλ = (λ1 , . . . , λ ) ∈ Cназывается резонансным (точнее, аддитивно резонансным), если для некоторых неотрицательных чисел α = (α1 , . . . , α ) ∈ Z+ , |α| ¾ 2, выполняетсярезонансное соотношениеλ = 〈α, λ〉, |α| ¾ 2,(4.1)62Глава 4.
Формальные нормальные формыгде 〈α, λ〉 = α1 λ1 + . . . + α λ . Натуральное число |α| называется порядкомрезонанса.Квадратная матрица называется резонансной, если набор её собственныхзначений (взятых с кратностями) резонансный. Формальное векторное полеF = (F1 , . . . , F ) называется резонансным в нуле, если матрица его линейной ∂F(0) резонансная.части A =∂xВ некоторых областях в C множество резонансных наборов (λ1 , .
. . , λ )может быть плотным (см. § 5.1), однако его мера равна нулю.Теорема 4.3 (теорема Пуанкаре о линеаризации). Нерезонансное формальное векторное поле F(x) = Ax + . . . формально эквивалентно своей линейной части F 0 (x) = Ax.Доказательство этой теоремы приведено в § 4.2–4.3. На самом деле,теорема Пуанкаре — простейший частный случай более общего утвержденияо нерезонансных векторных полях, которое будет сформулировано в § 4.4.§ 4.2. Шаг индукции: гомологическое уравнениеТеорему 4.3 мы будем доказывать по индукции.
Предположим, что формальное векторное поле F уже частично нормализовано и не содержит членов,степень которых больше единицы и меньше m, m ¾ 2:F(x) = Ax + V (x) + V+1 (x) + . . . ,где V , V+1 , . . . — произвольные однородные векторные поля степеней m,m + 1, и т. д.Оказывается, в предположениях теоремы Пуанкаре слагаемое V можноубрать из ряда F, т. е. поле F формально эквивалентно формальному вектор0ному полю F 0 (x) = Ax + V+1+ . . . Более того, сопряжение F и F 0 можновыбрать полиномиальным и имеющим вид H(x) = x + P (x), где P —однородный векторный многочлен степени m. Заметим, что матрица Якоби ∂P такого формального отображения H равна E +.∂xНайдём сопряжение H(x) = x + P (x), обладающее такими свойствами.Оно должно удовлетворять уравнению (1.26) на уровне формальных степенных рядов.
Запишем только члены этого уравнения степени не выше m,а остальные заменим многоточием:∂P E + (Ax + V + . . .) = A(x + P (x)) + V0 (x + P (x)) + . . .∂xОднородные члены степени 1 в левой и правой части совпадают. Следующиененулевые члены возникают в степени m. Приводя подобные, мы получаем,что условие V0 = 0 влечёт следующее условие на однородный векторныймногочлен P :[A, P ] = −V , A(x) = Ax,(4.2)§ 4.3. Разрешимость гомологического уравнения63где A = Ax — линейное векторное поле (главная часть поля F), а однородныевекторные многочлены P и V рассматриваются как векторные поля в C .Левая часть равенства (4.2) — это коммутатор ∂P[A, P](x) =Ax − AP(x).∂xИ наоборот, если однородный векторный многочлен P удовлетворяютусловию (4.2), то полиномиальное отображение H(x) = x + P (x) сопрягает векторное поле F = A + V + .
. . с (формальным) векторным полемF 0 (x) = A + . . . , не имеющим членов степени m.Определение 4.4. Равенство (4.2), которое рассматривается как уравнение на однородный векторный многочлен P , называется гомологическимуравнением.§ 4.3. Разрешимость гомологического уравненияРазрешимость гомологического уравнения зависит от обратимости оператора ad взятия коммутатора с линейным векторным полем A.Пусть D — линейное пространство всех однородных векторных полейстепени m (нас будет интересовать только случай m ¾ 2). В этом линейномпространстве есть стандартный базис из мономов, который состоит из полейFα = x α∂,∂xk = 1, .
. . , n,|α| = m.(4.3)Упорядочим элементы этого базиса лексикографически: при i < j элемент x∂должен предшествовать x , а элементдолжен предшествовать элементу∂x∂. Чтобы определить такое упорядочение, сопоставим всем формальным∂xпеременным x1 , . . . , x попарно различные рационально независимые положи∂тельные веса w1 > . . .
> w . Если символупоставить в соответствие вес −w ,∂xто можно будет определить веса всех мономиальных векторных полей. Теперьупорядочим мономиальные векторные поля в порядке возрастания весов.В силу рациональной независимости весов, разные мономиальные векторные∂поля имеют различные веса. Исключением является пара полей x α · xи x α · x∂x∂, j 6= k, веса которых совпадают; как именно упорядочены эти∂xполя, нам будет неважно.Операторad : P 7→ [A, P],(ad P)(x) =∂P∂x· Ax − AP(x),сохраняет пространство D для любого m ∈ N. В следующей лемме мы будемрассматривать его ограничение на это пространство.Лемма 4.5. Если матрица A нерезонансна, то оператор ad обратим.Если в координатах x1 , .
. . , x матрица A является верхнетреугольной жордановой формой с собственными значениями {λ1 , . . . , λ }, то оператор ad —64Глава 4. Формальные нормальные формынижнетреугольный (в соответствующем мономиальном базисе, элементы которого упорядочены в порядке возрастания весов). Собственные значения оператора ad — числа 〈λ, α〉 − λ для 1 ¶ k ¶ n и всевозможных наборов α, |α| = m.Доказательство. Утверждение леммы легко проверить, если A — диагональная матрица Λ = diag{λ1 , . .
. , λ }. В этом случае каждое векторное полеFα ∈ D является собственным для оператора adΛ с собственным значением〈λ, α〉 − λ . Действительно, в силу тождества Эйлера 00 .. . Fα = x α 1 ,. .. ...0 ............ ∂F α αα α1=x ,...∂xx x1 ............ 00...0и в диагональном случае мы получаем ∂F αΛFα = λ Fα иΛx = 〈λ, α〉Fα .∂xТак как оператор adΛ диагонален и имеет ненулевые собственные значения,то он обратим.Теперь докажем лемму в общем случае, когда A — верхнетреугольнаяжорданова форма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
