Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Такое отображение можно продолжить до голоморфногообратимого отображения f : (z, w) 7→ (z − 1, f (w)) открытых множествeM1 = {|z − 1| < "} × (C, 0) ⊂ MиeM0 = {|z| < "} × (C, 0) ⊂ M.По построению, это отображение сохраняет слоение F0 в ограничении наоткрытые множества M .e определяется как топологическое пространФакторпространство M = M/feство, полученное из M отождествлением всех точек a с точками f(a).
Этопространство наследует структуру (абстрактного) голоморфного многообразия (его карты индуцированы картами на M). Более того, так как f сохраняетслоение, на фактормногообразии M есть корректно определённое слоение F.e после факторизации становятся одной трансверДве трансверсали τ0 , τ1 ⊂ Mсалью τ к листу L слоения F, полученному из нулевого листа {w = 0} ∈ F0 ,а отрезок [0, 1] на этом листе превращается в замкнутую петлю γ на L. Отображение голономии для слоения F вдоль петли γ, по построению, совпадаетс отображением f, которое становится отображением трансверсали в себя. У этой конструкции есть множество модификаций, но основная идея у нихобщая.
А именно, пусть многообразие M получено факторизацией много-46Глава 2. Голоморфные слоения и их особые точкиe по действию биголоморфного отображения f : M0 → M1 , где M0 ,образия Me Тогда всякое слоение на многообразии M,eM1 — открытые подмножества M.инвариантное относительно действия f, опускается до голоморфного слоенияeна факторпространстве M = M/f.Упражнения и задачиУпражнение 2.1. Пусть S ⊂ (C , 0) — росток неприводимой аналитической кривой, а γ: (C1 , 0) → (C , 0) — его инъективная аналитическая параметризация. Докажите, что любое другое голоморфное отображение γ0 : (C1 , 0) →→ (C , 0) со значениями в S отличается от γ на голоморфное отображениеh : (C1 , 0) → (C1 , 0): γ0 = γ ◦ h.Задачи 2.2–2.7 дают доказательство теоремы Фробениуса 2.9.Задача 2.2.
Докажите, что векторные поля, порождающие интегрируемоераспределение, всегда удовлетворяют условию (2.4).Докажите, что пфаффовы формы, порождающие интегрируемое слоение,удовлетворяют условию (2.5).Задача 2.3. Докажите, что коммутатор двух голоморфных векторныхполей F, F 0 ∈ D(M) на комплексном многообразии M тождественно равеннулю тогда и только тогда, когда их потоки exp(tF), exp(t 0 F 0 ) ∈ Diff(M)коммутируют для всех значений t, t 0 ∈ C.Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для неполныхвекторных полей (т. е. таких, что их потоки определены не для всех значенийt, t 0 ; например, в случае когда область определения U ⊆ C2 векторного поляне инвариантна относительно потока этого поля).Задача 2.4. Докажите, что любой набор всюду линейно независимыхкоммутирующих векторных полей порождает интегрируемое распределение,касательное к слоям некоторого голоморфного слоения.Задача 2.5.
Докажите, что векторные поля, удовлетворяющие условию(2.4), порождают интегрируемое распределение.Указание. Сведите задачу к предыдущей: постройте набор коммутирующих векторных полей, задающий то же распределение.Задача 2.6. Докажите, что для любой дифференциальной 1-формы ωи любых двух векторных полей F, G на многообразии Mdω(F, G) = F ω(G) − G ω(F) − ω([F, G])(2.11)(в правой части содержатся значения формы ω на полях F, G и [F, G] и ихпроизводные вдоль G и F).Задача 2.7. Докажите, что набор всюду линейно независимых 1-форм,удовлетворяющий условию (2.5), задаёт интегрируемое распределение.Упражнение 2.8. Докажите, что не обращающаяся в 0 пфаффова форма ωв C3 задаёт интегрируемое распределение тогда и только тогда, когда ω∧dω=0.Задача 2.9.
Докажите, что отображение голономии g вдоль петли на сепаратрисе интегрируемого слоения du = 0 с аналитическим потенциаломu ∈ O (x, y) всегда периодично: некоторая композиционная степень g равнаединице.47Упражнения и задачиУпражнение 2.10. Постройте два слоения F1 , F2 , для которых группыголономии вдоль некоторых листов L1 ∈ F1 , L2 ∈ F2 голоморфно сопряжены,но сами слоения F1 , F2 не являются голоморфно сопряжёнными в окрестностях листов L1 , L2 .Упражнение 2.11. Всегда ли возможно одновременно выпрямить два не обращающихся в 0 векторных поля? два коммутирующих не обращающихся в 0векторных поля? Дайте простое достаточное условие того, что одновременноевыпрямление двух полей возможно.Упражнение 2.12. Рассмотрим слоение {ω = 0} на C2 = {(z, t)}, заданноемероморфной пфаффовой 1-формойω=dz−zXλ dt=0t − a,λ ∈ C,Xλ = 0,0и его продолжение на C × P1 .Докажите, что проективная прямая L = {0} × P1 является сепаратрисойэтого слоения, проходящей через особые точки (0, a ), j = 0, .
. . , n. Посчитайтегруппу голономии для листа L\(особые точки).Упражнение 2.13. Та же задача — для слоения на C × P1 , заданноговекторной пфаффовой формойXA dtdz − Ωz = 0, Ω =,0t − aгде A ∈ Mat(m, C) — коммутирующие матричные вычеты мероморфной матричной 1-формы Ω.Задача 2.14. Рассмотрим уравнение Риккатиdz= a(t) z 2 + b(t) z + c(t),dta, b, c ∈ M (P) ' C(t),(2.12)с мероморфными коэффициентами a, b, c, имеющими лишь конечное множество полюсов Σ ⊆ P. Верно ли, что решения этого уравнения можнопродолжать вдоль любого пути в плоскости координаты t, не проходящегочерез точки Σ?Докажите, что уравнение (2.12) задаёт голоморфное слоение с особенностями F на компактифицированном фазовом пространстве P1 × P1 , трансверсальное любой «вертикальной» проективной прямой {t = a}, a ∈/ Σ.
Покажите,что каждый слой F можно продолжать вдоль любого пути на сфере, соответствующей координате t, не проходящем через множество особых точек. Докажите, что порождённое таким образом отображение между любыми трансверсалями {t = a} × P1 и {t = b} × P1 , a, b ∈/ U — корректно определённое отобαz + βражение Мёбиуса (дробно-линейное отображение z 7→, αδ − βγ 6= 0).γz + δВсегда ли у F есть сепаратриса?Упражнение 2.15. Сколько сепаратрис может иметь однородное векторное поле степени r на C2 ? Сколько сепаратрис имеет однородное векторноеполе общего положения?Глава 3Формальные потокии теорема о включении в потокСходимость ряда Тейлора для правой части дифференциального уравнения и для его решения — нетривиальное дополнительное условие. Если этоусловие выполнено, мы можем применять разнообразные геометрическиеметоды, описанные в главе 2.Однако многие выводы можно сделать, не налагая этого дополнительногоограничения, — на уровне формальных степенных рядов (Тейлора).
Полученные результаты, естественно, будут формулироваться на алгебраическомязыке.В этой главе мы введем понятия формальных векторных полей и формальных отображений и докажем, что поток любого формального поля корректноопределён как формальное отображение. Для отображений с унипотентнойлинейной частью это сопоставление «поле 7→ поток» можно обратить: какпоказал Ф.
Такенс в 1974 году, каждое такое формальное отображение можно единственным образом включить в формальный поток [66]. В главе 4мы получим классификацию формальных векторных полей с точностью доформальных замен переменных.§ 3.1. Формальные векторные поляи формальные отображенияДля удобства обозначений мы будем всюду рассматривать только рядыТейлора с центром в нуле и использовать стандартные мультииндексные обозначения: для α = (α1 , . .
. , α ) ∈ Z+ положим |α| = α1 + . . . + α и α! = α1 ! . . . α !.Определение 3.1. Формальным рядом (Тейлора) в C с центром в нуленазывается выражениеXf=αcα x α ,α ∈ Z+ , cα ∈ C.(3.1)Порядком f назовём наименьшую степень |α|, которая соответствует ненулевому коэффициенту cα .Множество всех формальных рядов обозначается C[[x]] = C[[x1 , . .
. , x ]].Это коммутативная бесконечномерная алгебра над C. В ней содержится подалгебра ростков голоморфных функций, изоморфная алгебре C{x1 , . . . , x }сходящихся рядов.§ 3.1. Формальные векторные поля и формальные отображения49Определение 3.2. Каноническим базисом пространства C[[x]] называетсямножество всех одночленов x α , α ∈ Z+ , упорядоченное следующим образом:(i) одночлены меньшей степени |α| предшествуют одночленам большейстепени;(ii) одночлены одинаковой степени упорядочены лексикографически.Это упорядочение мы будем называть deglex-порядком.Так как ряд f может расходиться, вычисление f в точке x0 ∈ C , отличнойот x0 = 0, лишено смысла.
Тем не менее, через f (0) мы будем обозначатьα1 ∂ fсвободный член ряда f ∈ C[[x]], а через(0) — коэффициент cα . В такихα! ∂x αобозначениях формула Тейлора становится определением ряда Тейлора:Xα1 ∂ fαf=α (0) x .α¾0α! ∂xИногда мы будем писать f (x), чтобы показать, что ряд f зависит от формальных переменных x = (x1 , . . . , x ).∂α fВсе формальные частные производные α формального ряда f корректно∂xопределены в классе C[[x]] как ряды из почленных производных.Подмножество C[[x]], состоящее из формальных рядов без свободного члена, является (как легко проверить) максимальным идеалом коммутативногокольца C[[x]]; мы будем обозначать его черезm = { f ∈ C[[x]]: f (0) = 0} =¦X©cα x α .|α|¾1Идеал m — единственный максимальный идеал кольца C[[x]] (это такженесложное упражнение).
Другими словами, кольцо C[[x]] является локальным кольцом.Для любого конечного k ∈ N пространство струй порядка k — это факторкольцоJ (C , 0) = C[[x1 , . . . , x ]]/m+1 .Пространство J (C , 0) — это конечномерное векторное пространство над C.Как факторкольцо, оно наследует структуру коммутативной C-алгебры.Определение 3.3. Укорочением формального ряда до конечного порядка kназывается каноническая проекция j : C[[x]] → J (C , 0), f 7→ f mod m+1 .Это название связано с отождествлением пространства струй J (C , 0)с пространством многочленов степени не выше k от переменных x1 , .
. . , x .Так как при l > k выполнено m+1 ⊂ m+1 , то оператор укорочения j естественным образом «опускается» до проекции J (C , 0) → J (C , 0), которуюмы тоже будем обозначать j .Другими словами, формальный ряд Тейлора f ∈ C[[x]] однозначно задаёт k-струю j f любого конечного порядка k, поэтому C[[x1 , . . . , x ]] в некотором смысле является пределом пространств струй J (C , 0) при k → ∞.50Глава 3. Формальные потоки и теорема о включении в потокИногда мы будем называть формальные ряды бесконечными струями и писатьC[[x1 , . . . , x ]] = J ∞ (C , 0).Канонический базис в C[[x]], состоящий из одночленов, проецируетсяв канонические deglex-упорядоченные базисы одночленов во всех пространствах струй J (C , 0). Сходимость в C[[x]] порождается сходимостью конечных начальных отрезков ряда.Определение 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
