Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Такие экзотические слоения не будутнам встречаться до главы 28 второго тома.Замечание 2.4 (важное замечание). Пространство площадок слоенияестественным образом параметризуется точками диска. Но множество индексов Y (α) в условии (2.2) может иметь сложную структуру (например, бытьплотным), так как глобальное поведение слоёв вне окрестности B0 можетбыть довольно сложным.

Впрочем, во всех нужных нам случаях множестваY (α) будут не более чем счётными.Пространство всех глобальных слоёв может иметь сложную структурудаже как топологическое пространство (например, оно может быть нехаусдорфовым), поэтому для нумерации листов мы используем «абстрактные»множества без всякой дополнительной структуры.Определение 2.5. Два голоморфных слоения F и F 0 комплексных многообразий U и U 0 называются голоморфно эквивалентными (топологическиэквивалентными), если существует биголоморфизм (соответственно гомеоморфизм) H : U → U 0, который отображает (биголоморфно или гомеоморфно)листы слоения F в листы слоения F 0 : H(Lα ) = L0α0 для некоторого индекса α0.Отметим, что это определение глобальное.В дальнейшем через U мы будем обозначать комплексное многообразиеили открытую область в C . Следующее утверждение — очевидная переформулировка теоремы о выпрямлении векторного поля в терминах слоений.Предложение 2.6.

Для любого голоморфного векторного поля F ∈ D(U),не имеющего особых точек в области U, разбиение U на максимальные интегральные кривые поля F является голоморфным слоением F комплекснойразмерности 1 и коразмерности n − 1.ƒГоворят, что слоение F порождено векторным полем F.

Переход от векторных полей к слоениям означает, что мы пренебрегаем параметризациейна решении, которая задана комплексным временем.34Глава 2. Голоморфные слоения и их особые точкиПредложение 2.7. Голоморфно эквивалентные векторные поля F ∈ D(U)и F 0 ∈ D(U 0 ) порождают голоморфно эквивалентные одномерные слоения.И наоборот, пусть слоения F, F 0, порождённые векторными полями безособых точек F и F 0, голоморфно эквивалентны.

Пусть эта эквивалентностьзадана биголоморфизмом H : U → U 0. Тогда для некоторой не обращающейсяв 0 голоморфной функции ρ ∈ O (U)ρ(x) · H∗ (x) · F(x) = F 0 (H(x)),ρ(x) 6= 0 в U;(2.3)ср. с (1.26) и определением 1.18.Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что если два векторных поля порождают одно и то же голоморфное одномерное слоение, то они отличаютсяна голоморфный множитель ρ, нигде не обращающийся в 0. Но для стандартного слоения это очевидно: чтобы векторное поле задавало стандартноеслоение, его первая компонента должна быть ненулевой, а остальные —тождественными нулями.

Локальная биголоморфная эквивалентность со стандартным слоением позволяет построить функцию ρ, определённую во всейобласти U.ƒ§ 2.2. Слоения и интегрируемые распределенияПусть голоморфное слоение F имеет размерность n и коразмерность m.Касательные плоскости к его слоям — это n-мерные комплексные пространства, которые, очевидно, аналитически зависят от точки в слое.Такой геометрический объект называется распределением. Формальноеопределение семейства подпространств, аналитически зависящего от параметров, можно давать в терминах голоморфных векторных полей илив терминах голоморфных дифференциальных форм.Определение 2.8.

(Голоморфным неособым) n-мерным распределениемв области U ⊆ C+ называется• набор из n голоморфных векторных полей F1 , . . . , F ∈ D(U), линейнонезависимых в каждой точке U, с точностью до такого отношения эквивалентности: наборы {F } и {F0 } определяют одно и то же распределение,еслиXF0 =c (x)Fдля некоторых голоморфных функций c (x), или• набор из m голоморфных 1-форм ω1 , . .

. , ω ∈ Λ1 (U), линейно независимых в каждой точке U, с точностью до такого отношения эквивалентности:наборы {ω } и {ω0 } определяют одно и то же распределение, еслиXω0 =c0 (x)ω§ 2.2. Слоения и интегрируемые распределения35для некоторых голоморфных функций c0 (x).

Линейная независимостьформ ω равносильна тому, что форма ω1 ∧ . . .∧ ω ∈ Λ (U) не обращаетсяв нуль на U.Говорят, что набор векторных полей и набор 1-форм определяют однои то же распределение, если подпространство, порождённое векторами F ,совпадает с пересечением ядер форм ω ; другими словами, ω · F = 0 для всехпар чисел i, j.Одномерное распределение обычно называют полем направлений.Понятно, что по любому голоморфному слоению можно построить распределение, касательное к нему, и оно будет иметь ту же размерность, чтои само слоение. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (кромеслучая n = 1).Голоморфное n-мерное распределение называется интегрируемым в области U, если оно является касательным к слоям некоторого голоморфногослоения без особенностей в U.Теорема 2.9 (критерий интегрируемости Фробениуса). Распределение, заданное набором голоморфных векторных полей, интегрируемо тогда и толькотогда, когда коммутатор любых двух из этих векторных полей принадлежиттому же распределению:X[F , F ] =c F , c ∈ O (U).(2.4)=1Распределение, заданное набором голоморфных 1-форм, интегрируемо тогда и только тогда, когда идеал, порождённый этими формами во внешнейалгебре Λ• (U) над O (U), замкнут относительно операции внешнего дифференцирования:Xdω =c ω ∧ η , η ∈ Λ1 (U), c ∈ O (U).(2.5)=1Мы не будем доказывать эту теорему.

Её доказательство можно получить,слегка изменив доказательство локальной теоремы существования для голоморфных векторных полей в C ∞ -гладком случае, которое приведено в [74].Доказательство теоремы Фробениуса содержится в задачах 2.2–2.7.Замечание 2.10. Условие теоремы Фробениуса очевидным образом выполнено для n = 1.

С другой стороны, с вещественной точки зрения голоморфноевекторное поле F соответствует двумерному распределению,порождённомуpдвумя векторными полями F1 = F и F2 = iF, i = −1, в R2 ' C . Как легкопроверить, условие интегрируемости из теоремы Фробениуса для такого двумерного распределения сводится к условиям Коши — Римана, связывающимвещественную и мнимую часть компонент голоморфного векторного поля F.Замечание 2.11. В (комплексно) двумерном случае, когда U ⊆ C2 (этотслучай в дальнейшем будет для нас основным объектом изучения), нетривиальными могут быть только (комплексно) одномерные распределения, а онивсегда интегрируемы. Одномерное распределение можно задать или одним36Глава 2.

Голоморфные слоения и их особые точкивекторным полем F ∈ D(U), или одной дифференциальной формой ω ∈ Λ1 (U).По многим причинам второй способ оказывается более удобным.§ 2.3. ГолономияПонятие голономии используется вместо понятия потока векторногополя в том случае, когда естественной параметризации решений нет или еюпренебрегают.Определение 2.12. Пусть F — слоение многообразия U, имеющее коразмерность m. (Параметризованной) трансверсалью к листу L в точкеa ∈ U называется голоморфное отображение τ: (C , 0) → (U, a), трансверсальное к L. Трансверсалью мы также часто будем называть образ отображения τ.Если F — стандартное слоение, а τ, τ0 — две произвольных трансверсали в точках a, a0 листа L0 (например, листа L0 = { y = 0}), то любой другойлист Lα , достаточно близкий к L0 , пересекает каждую из трансверсалей ровнов одной точке.

Тем самым однозначно определено голоморфное отображениесоответствия ∆τ,τ0 : (τ, a) → (τ0 , a0 ): точки с одинаковой y-компонентойпереводятся друг в друга. В координатах, задающих параметризацию трансверсалей τ и τ0, отображение соответствия является ростком голоморфногоотображения, принадлежащим Diff(C , 0).Очевидно, что для отображения соответствия выполнено равенство∆τ,τ00 = ∆τ0 ,τ00 ◦ ∆τ,τ0(2.6)для любых трёх трансверсалей τ, τ0 , τ00 к одному и тому же листу стандартногослоения.Переходя к биголоморфному образу этой конструкции, мы получаем,что для любого слоения и для любых двух трансверсалей τ, τ0, проведённыхк одному и тому же листу в достаточно близких точках, существует однозначноопределённое отображение соответствия ∆τ,τ0 между трансверсалями, и оноудовлетворяет тождеству (2.6) для любой достаточно близкой к ним третьейтрансверсали.Когда от этой локальной конструкции мы переходим к глобальной, отображение соответствия начинает зависеть не только от пары трансверсалейк одному и тому же листу, а ещё и от пути, соединяющего точки пересечениялиста и трансверсалей.Пусть L — лист голоморфного слоения F, пусть τ, τ0 — две трансверсали,пересекающие L в точках a, a0 ∈ L, и пусть γ: [0, 1] → L — ориентированныйпуть, соединяющий точки a = γ(0) и a0 = γ(1).

Поскольку отрезок [0, 1]компактен, его образ γ([0, 1]) тоже компактен. Поэтому его можно покрытьконечным числом открытых множеств U , в каждом из которых слоениелокально тривиально (т. е. биголоморфно эквивалентно стандартному слоению). Далее, между трансверсалями τ, τ0 возьмём достаточное количествотрансверсалей τ , j = 1, . . . , k, τ0 = τ, τ = τ0, в некоторых промежуточныхточках кривой γ так, чтобы любые две последовательные трансверсали τ ,τ+1 принадлежали одной и той же области U , см. рис. 2.1.

Для этого надо§ 2.3. Голономия37выбирать τ ⊂ U−1 ∩ U . Пусть ∆τ ,τ+1 — локальные отображения соответствия,определённые выше. Композиция∆γ = ∆τ−1 ,τ ◦ . . . ◦ ∆τ0 ,τ1 : (τ, a) → (τ0 , a0 )(2.7)— это голоморфное отображение (точнее, росток отображения), принадлежащее Diff(C , 0), которое называется отображением соответствия (голономии) вдоль пути γ.Рис. 2.1.

Построение отображения голономии для слоения F вдольданного пути γ, соединяющего две точки слоя. Трансверсали τвыбраны достаточно близкимиТождество (2.6) означает, что отображение соответствия ∆γ на самомделе не зависит от выбора промежуточных трансверсалей τ . Более того,отображение ∆γ зависит не от самого пути γ, а от его гомотопического класса(с фиксированными концами). И действительно, для любого другого путиγ0, достаточно близкого к γ и соединяющего те же точки, можно выбратьтрансверсали τ01 , .

. . , τ0−1 достаточно близкими к соответствующим трансверсалям τ для всех j = 1, . . . , k − 1 (первые и последние трансверсали простосовпадают). Используя соотношение (2.6), можно показать, что композиция∆γ0 = ∆τ0−1 ,τ0 ◦ . . . ◦ ∆0τ0 ,τ : (τ, a) → (τ0 , a0 )01совпадает с ∆γ (так как τ00 = τ0 и τ0 = τ ).Замечание 2.13. Отображение голономии соответствует конструкции,которая в классическом изложении называлась «продолжение решений дифференциальных уравнений вдоль пути»: конкретное решение (в нашемизложении — лист слоения) и путь на нём явно или неявно фиксировались,и все близкие решения «продолжались вдоль пути» на выбранном решении.38Глава 2.

Голоморфные слоения и их особые точкиВыбор других трансверсалей в концевых точках пути (или изменениепараметризации на этих трансверсалях) меняет ∆γ , добавляя к нему композиции с двумя биголоморфизмами — слева и справа. Значит, выборомподходящих карт всегда можно добиться того, чтобы отображение соответствия ∆γ стало тождественным. Ситуация существенно изменится, если мырассмотрим несколько негомотопных путей, соединяющих две точки, или,что то же самое, замкнутый путь.Пусть a ∈ L — точка на листе L голоморфного слоения, τ: (C , 0) →→ (U, a) — трансверсаль в точке a, γ ∈ π1 (L, a) — петля, рассматриваемаяс точностью до гомотопической эквивалентности.Определение 2.14.

Характеристики

Список файлов книги