Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 5
Текст из файла (страница 5)
далее замечание 2.10.Однако непосредственное доказательство, в той его части, которая касаетсязависимости от начальных условий, неожиданно оказывается проще, чемв вещественном случае. Это доказательство изложено в послеследующемпараграфе. Как и многие другие доказательства в этой книге, оно основанона применении принципа сжимающих отображений.§ 1.2. Принцип сжимающих отображенийОпределение 1.2. Отображение F метрического пространства M в себяназывается сжимающим, если существует такое положительное вещественноечисло λ < 1, что для произвольных точек u, v ∈ M выполняется неравенствоdist(F(u), F(v)) ¶ λ dist(u, v).Определение 1.3.
Точка w ∈ M называется неподвижной точкой отображения F, если F(w) = w.Оказывается, в полном метрическом пространстве сжимающее отображение всегда имеет неподвижную точку.19§ 1.3. Применение принципа сжимающих отображений к оператору ПикараНапомним, что последовательность {x } точек метрического пространства называется фундаментальной, или последовательностью Коши, еслирасстояние dist(x , x ) стремится к нулю, когда индексы i и j независимостремятся к бесконечности.Определение 1.4. Метрическое пространство M называется полным,если любая фундаментальная последовательность точек этого пространстваимеет предел.Теорема 1.5 (принцип сжимающих отображений).
Любое сжимающееотображение F : M → M полного метрического пространства M в себяимеет единственную неподвижную точку в M .Эта неподвижная точка является пределом последовательности {u },u+1 = F(u ), k = 0, 1, 2, . . . , образов любой начальной точки u0 ∈ M под действием итераций отображения F.Доказательство. Для любой начальной точки u0 ∈ M последовательность {u }, k = 0, 1, 2, . . . , фундаментальна: действительно,dist(u , u+1 ) ¶ λ dist(u0 , u1 ),откуда по неравенству треугольникаdist(u , u ) ¶ dist(u , u+1 ) + . .
. + dist(u−1 , u ) ¶ dist(u0 , u1 )λ /(1 − λ)для любых k, l, таких что k < l. Так как метрическое пространство M полно,последовательность {u } имеет предел w ∈ M . Пользуясь непрерывностьюотображения F, переходим к пределу в равенстве u+1 = F(u ) и получаемравенство w = F(w).Если w1 и w2 — две неподвижные точки отображения F, тоdist(w1 , w2 ) ¶ λ dist(F(w1 ), F(w2 )) = λ dist(w1 , w2 ),что возможно только в случае dist(w1 , w2 ) = 0, т.
е. при w1 = w2 .§ 1.3. Применение принципа сжимающихотображений к оператору ПикараИзложение доказательства теоремы 1.1 в основном следует [94, глава 4].Решение дифференциального уравнения мы будем искать как неподвижную точку сжимающего отображения в некотором метрическом пространстве.Рассмотрим векторное пространство A (Dρ ) функций, голоморфных в полидиске Dρ и непрерывных в его замыкании:A (Dρ ) = f : Dρ → C: f голоморфна в Dρ и непрерывна в Dρ .(1.3)Это пространство снабжено естественной sup-нормой:k f kρ = max | f (z)|, ∈ ρz = (z1 , . .
. , z ) ∈ C ,(1.4)20Глава 1. Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областии поэтому естественным образом вкладывается как подпространство в полноенормированное (т. е. банахово) пространство непрерывных комплекснозначных функций C(Dρ ). При подходе к границе области голоморфная функцияможет вести себя очень сложным образом, поэтому A (U) ( O (U). Однаковсе голоморфные функции непрерывны, и потому для любой меньшей области U 0, относительно компактной в U (т. е.
удовлетворяющей U 0 ⊂ U), имеемA (U 0 ) ⊃ O (U).Теорема 1.6. Пространство A (Dρ ) и его векторные аналогиMA (Dρ ) =A (Dρ ) раз— полные (банаховы) пространства.Доказательство. Каждая фундаментальная последовательность функцийиз A (Dρ ) по определению фундаментальна в банаховом пространстве C(Dρ )и имеет там равномерный предел.
По принципу компактности Вейерштрасса(см. [122]), предельная функция также голоморфна в Dρ , т. е. принадлежитA (Dρ ). Итак, пространство A (Dρ ) полно.Векторные аналоги пространства A (Dρ ) — это прямые суммы несколькихкопий пространства A (Dρ ), поэтому они тоже полны.Перейдём к доказательству теоремы 1.1.Рассмотримуравнение (1.1), определённоев области U ⊂ C+1 . ЧерезD" = |t − t0 | < ", |z − z0, | < ", j = 1, . . .
, n ⊂ C+1 обозначим достаточномаленький полидиск с центром в точке (t0 , z0 ) ∈ U, целиком лежащий в U.Определение 1.7. Оператором Пикара P, соответствующим дифференциальному уравнению (1.1) и начальному условию (t0 , z0 ) ∈ U, называетсяоператор f 7→ P f, заданный интегральной формулой(P f )(s, z) = z +ZF(t, f (t, z)) dt(1.5)0для всех вектор-функций f : C+1 → C , для которых выражение в правойчасти равенства имеет смысл.Ниже мы построим полное метрическое пространство, инвариантное поддействием P, на котором этот оператор сжимает. По принципу сжимающихотображений отсюда будет следовать существование неподвижной точкиэтого оператора. Несложно видеть, что функция f, такая что P f = f, являетсярешением уравнения (1.1).Выберем произвольный компакт K ⊂ U в области U.
Пусть L0 и L1 — константы, ограничивающие сверху значения модуля функции F и её константыЛипшица по z на компакте K: для любых точек (t, z), (t, z0 ) ∈ K|F(t, z)| ¶ L0 ,|F(t, z) − F(t, z0 )| ¶ L1 |z − z0 |.(1.6)§ 1.3. Применение принципа сжимающих отображений к оператору Пикараff (t0 ) = z21тангенс угла наклона = L0график ft0|t{z|t − t0 | < "}Рис. 1.1. График функции из пространства M лежит в закрашенной области (область изображена в пересечениис гиперплоскостью z = const)Пусть M — пространство функций из A (D" ), для которых выполненонеравенство| f (t, z) − z| ¶ L0 |t − t0 |.(1.7)Это пространство полно по норме k·k" , индуцированной с объемлющегопространства A (D" ) (упражнение 1.3).
График функции из пространства Mпоказан на рис. 1.1.Лемма 1.8. Для достаточно малого полидиска D" интегральная формула (1.5) задаёт корректно определённый оператор Пикара P: M → M ,который сжимает в норме k·k" . Показатель сжатия λ этого оператора непревосходит "L1 (константа L1 определена выше).Доказательство. Поскольку | f (t, z) − z| ¶ L0 ", для достаточно малого "точка (t, f (t, z)) принадлежит U и подынтегральное выражение в правойчасти (1.5) определено. Оценим интеграл из равенства (1.5): ZZ|P f (s, z) − z| = F(t, f (t, z)) dt ¶ L0 |dt| = L0 |s − t0 |.00Поэтому правая часть формулы (1.5) имеет смысл для функций из пространства M , и оператор P отображает это пространство в себя.Для любых двух вектор-функций f, f 0, определённых в полидиске D" ,аналогичная оценка даётZkP f − P f 0 k ¶ sup|−0 |<"L1 | f (t, z) − f 0 (t, z)| · |dt| ¶ "L1 k f − f 0 k.0Если "L1 < 1, оператор P сжимает и показатель сжатия не превосходит "L1 .
Доказательство теоремы 1.1. Возьмём " из леммы 1.8. Тогда операторПикара P: M → M сжимает с показателем сжатия λ не больше "L1 . По теореме 1.5 неподвижная точка этого оператора существует и единственна.22Глава 1. Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областиПо теореме 1.6 эта неподвижная точка является голоморфной вектор-функцией f : D" → C , удовлетворяющей интегральному равенствуf (s, z) = z +ZF(t, f (t, z)) dt,|s − t0 | < ",|z − z0 | < ".(1.8)0Для любого фиксированного z функция ϕ (t) = f (t, z), очевидно, удовлетворяет и начальным условиям (1.2) (для z0 = z), и дифференциальномууравнению (1.1). По построению, она голоморфно зависит от начальныхусловий z.Чтобы доказать, что решение голоморфно зависит от параметров, можнорассмотреть их как дополнительные переменные.
Предположим, что векторфункция F = F(t, z, y) голоморфно зависит от параметров y ∈C , и рассмотримзадачу Коши (напомним, что точкой мы обозначаем производную d/dt)ż = F(t, z, y),z(t0 ) = z0 ,(1.9)ẏ = 0,y(t0 ) = y0 .Решением задачи Коши будет функция f (t, z, y, z0 , y0 ), голоморфно зависящая от всех переменных.Замечание 1.9. Для дифференциального уравнения с правой частью F(t, z)и его решения z(t) можно произвести сдвиг по времени, рассмотрев функциюz0 (t) = z(t − y), y ∈ C1 . Эта функция удовлетворяет уравнению ż0 = F(t − y, z0 ),которое аналитически зависит от параметра y.
По теореме 1.1 из этого следует,что решение задачи Коши голоморфно зависит также и от t-координатыначальной точки (t0 , z0 ) ∈ U.§ 1.4. Линейные дифференциальные уравнения.Экспонента линейного оператораДоказательство теоремы существования конструктивно: решение дифференциального уравнения получается как равномерный предел его приближений Пикара — последовательных образов некоторой функции под действиемоператора Пикара.В простейшем случае, когда правая часть дифференциального уравнения — константа F = const ∈ C (т.
е. не зависит от t, z, y), приближенияПикара быстро стабилизируются: если f0 (t, v) = v, тоf1 (t, v) = f2 (t, v) = . . . = v + (t − t0 )F.Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система уравненийż = Az,z ∈ C , A ∈ Mat(n, C),(1.10)где A = ka k — постоянная (независящая от t и z) матрица n × n с комплексными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
