Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Доказательство иллюстрируетэффективность теории локальных нормальных форм в решении задач глобального характера.Пятая часть посвящена глобальной теории полиномиальных дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости. В нейизучаются как алгебраические, так и вполне трансцендентные задачи.Эта часть начинается с решения проблемы Пуанкаре о максимальнойстепени алгебраического решения полиномиального дифференциальногоуравнения (недавний яркий результат Серво, Линс-Нето и Карнисера). Втораяглава посвящена применению теории римановых поверхностей к глобальнойтеории полиномиальных дифференциальных уравнений. Мы описываем топологию разбиения комплексной плоскости на линии уровня типичных многочленов, включая теорему Пикара — Лефшеца и связность Гаусса — Манина.Это описание позволяет получить оценки снизу на число нулей абелевыхинтегралов; эти оценки оказываются тесно связанными с теорией предельныхциклов.
В двух последних главах мы описываем свойства типичных комплексных слоений проективной плоскости. Эти свойства резко отличаютсяот параллельных свойств в вещественной плоскости. Например, конечностьчисла вещественных предельных циклов для полиномиальных векторныхполей резко контрастирует с бесконечностью числа комплексных предельныхциклов, а структурная устойчивость вещественных слоений на плоскостиявляется антиподом абсолютной негрубости комплексных слоений.Некоторые фундаментальные факты из многомерного комплексного анализа и теории римановых поверхностей, постоянно используемые в книге,изложены в приложении к первому тому.Почти все главы заканчиваются списками задач. Кроме лёгких задач, иногда называемых упражнениями, список содержит трудные вопросы, лежащиеблизко к нерешённым проблемам.Книга не является исчерпывающим руководством по аналитическойтеории дифференциальных уравнений. Выбор тем основан на вкусе авторови ограничен размером книги. Мы не касаемся таких классических разделов,как уравнения Риккати и Пенлеве, теорема Мальмквиста, интегральные представления и преобразования.
Мы полностью выпускаем дифференциальнуютеорию Галуа и теорию малочленов, изобретённую Хованским. Тем не менее,на наш взгляд, книга покрывает замкнутый круг проблем, которые оказываютключевое влияние на развитие всей области.Изложение каждой темы начинается с основных определений и во многихслучаях доходит до переднего края. Традиционно доказательства многихрезультатов аналитической теории дифференциальных уравнений весьматехничны. Мы старались по возможности предварять формулы мотивировками и избегать лишних выкладок.Эта книга в основном адресована аспирантам и профессиональным математикам, ищущим быстрого и не слишком техничного введения в предмет.Однако эксперты найдут много фактов, ранее не излагавшихся в монографиях.С другой стороны, мы надеемся, что студенты смогут прочесть значительную14Предисловиечасть этой книги и погрузиться в прекрасную область математики, котораязанимает в ней одно из ключевых мест.* * *Наша работа над третьей частью книги была во многом вдохновленареволюционным прорывом, совершённым нашим другом и коллегой АндреемБолибрухом, который решил одну из самых интригующих задач теории аналитических дифференциальных уравнений — проблему Римана — Гильберта.Андрей читал многочисленные наброски третьей части, и его комментариибыли всегда очень полезны.11 ноября 2003 года, после долгой борьбы, Андрей Андреевич Болибрухуступил неизлечимой болезни.
Эта книга — посмертная дань восхищенияи любви, которую мы к нему питали.* * *Когда работа над этой книгой, затянувшаяся гораздо дольше, чем мырассчитывали, уже подходила к концу, появился другой трактат на близкую тему. Хенрик Жолондек опубликовал фундаментальную монографию,озаглавленную «Монодромия» [84].
Сюжеты обеих книг во многом пересекаются, но и симметрическая разность велика. Однако темы, встречаемыев обеих книгах, изложены с разных точек зрения. Это даёт читателю редкуювозможность выбрать изложение по своему вкусу.* * *Благодарности. Многие друзья и коллеги разными способами помогалиулучшить рукопись этой книги. Л. Гаврилов, А. Глуцюк, Ф. Кано, В. Кацнельсон,М. Костов, К. Кристофер, Ч. Ли, Дж. Ллибре, Д. Серво, Ф. Лоре, И.
Йомдин объясняли нам тонкие детали математических конструкций и давали полезныесоветы по изложению.Мы благодарны всем, кто прочёл первоначальные версии отдельных глави указал на многочисленные ошибки и опечатки. Среди них — Т. Голенищева-Кутузова, А. Клименко, Ю. Кудряшов, Д. Рыжов и М. Прохорова.Мы благодарны Сергею Гельфанду, чья энергия много способствовалапоявлению английской версии этой книги, а также Люан Кол и Лори Неро.И наконец, мы должны поблагодарить Дмитрия Новикова, который оказывал нам помощь на всех стадиях приготовления книги. Без многочисленныхобсуждений с ним эта книга выглядела бы совсем по-другому.Издание этой книги поддержано грантом 12-01-07018-д.
Во время работы над книгой Ю. С. Ильяшенко был поддержан грантами РФФИ — CNRS07-01-00017-а, 10-01-93115-НЦНИЛа, РФФИ 10-01-00739-а NSF 0400495, 0700973.Сергей Яковенко является профессором кафедры Гершона Кекста. Егоработа была поддержана грантом Израильского научного фонда 18-00/1 иФондом «Минерва».Перевод книги выполнен участниками семинара Ю. С. Ильяшенко: П. Вытновой, Н. Гончарук, И. Горбовицким, М. Деркач, Ю.
Кудряшовым, Д. Филимоновым, И. Щуровым. Авторы приносят им свою глубокую благодарность.ЧАСТЬ IНормальные формыи разрешение особенностей• Аналитические дифференциальные уравненияв комплексной области• Голоморфные слоения и их особые точки• Формальные потоки и теорема о включении в поток• Формальные нормальные формы• Голоморфные нормальные формы• Конечно порождённые группы ростков конформныхотображений• Голоморфные инвариантные многообразия• Разрешение особенностей на плоскостиГлава 1Аналитические дифференциальные уравненияв комплексной областиДля произвольной открытой области U ⊆ C символом O (U) мы будемобозначать комплексное векторное пространство функций, голоморфных в U(см.
приложения А и Б). Для пространства векторнозначных голоморфныхфункций мы будем использовать обозначениеO (U) = O (U) × . . . × O (U) = O (U) ⊗C C .{z}| раз§ 1.1. Дифференциальные уравненияи их решения. Задача КошиПусть U ⊆ C × C — открытая область, F = (F1 , . . . , F ): U → C — голоморфная вектор-функция, определённая в этой области. Аналитическоедифференциальное уравнение, заданное вектор-функцией F на области U, —это векторное уравнение (система n скалярных уравнений)dz= F(t, z),dt(t, z) ∈ U ⊆ C × C ,F ∈ O (U).(1.1)В дальнейшем производную по комплексной переменной t мы часто будемdzобозначать точкой наверху: ż(t) = (t).dtРешением этого уравнения называется голоморфное отображениеϕ = (ϕ1 , . . .
, ϕ ): V → C ,определённое в некотором открытом подмножестве V ⊆ C, график которого{(t, ϕ(t)): t ∈ V } содержится в U, а комплексный «вектор скорости» dϕdϕ dϕ1=, . . . , ∈ Cdtdtdtпри каждом значении t совпадает с вектором F(t, ϕ(t)) ∈ C .График функции ϕ называется интегральной кривой. С вещественнойточки зрения он является двумерной гладкой поверхностью в R2+2 . Отметим,что мы рассматриваем только голоморфные решения дифференциальногоуравнения, но при этом мы не фиксируем область в C, на которой решениедолжно быть определено.18Глава 1. Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областиУравнение (1.1) называется автономным, если F не зависит от t. В этомслучае образ ϕ(V ) ⊆ C называется фазовой кривой.
Любое дифференциальное уравнение (1.1) можно сделать автономным, добавив дополнительнуюпеременную ξ(t, z) ∈ C и уравнение dξ/dt = 1.Задача Коши, содержащая уравнение с начальными условиями, заключается в том, чтобы найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1.1), которая проходит через заданную точку (t0 , z0 ) = (t0 , z0,1 , . . . , z0, ) ∈ U.Другими словами, требуется найти решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее условиюϕ : V → C ,ϕ(t0 ) = z0 ∈ C .(1.2)Мы начнём с фундаментальной теоремы теории дифференциальных уравнений — локальной теоремы существования и единственности.Теорема 1.1. Для любого аналитического дифференциального уравнения (1.1) и любойдостаточно малый точки (t0 , z0 ) ∈ U существует такойполидиск D" = |t − t0 | < ", |z − z0, | < ", j = 1, .
. . , n ⊆ U, что решение задачиКоши (1.2) существует и единственно в этом полидиске.Это решение голоморфно зависит от начальных условий z0 ∈ C и от любых других дополнительных параметров, при условии что вектор-функция Fтакже голоморфно зависит от этих параметров.С вещественной точки зрения, теорема 1.1 утверждает существованиевектор-функции двух независимых вещественных переменных, касательнаяплоскость к графику которой (к двумерной поверхности в C+1 ' R2+2 ) в каждой точке порождена двумя вещественными векторами Re F и Im F. Чтобывывести теорему 1.1 из стандартных теорем существования, единственностии дифференцируемости решений гладких обыкновенных дифференциальныхуравнений в вещественной области, приходится применять достаточно глубокие результаты об интегрируемости распределений, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
