Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отображение голономии ∆γ : (τ, a) → (τ, a) — этоголоморфное отображение соответствия, построенное по замкнутому путиγ ∈ π1 (L, a). Группой голономии слоения F вдоль листа L ∈ F называетсяобраз фундаментальной группы π1 (L, a) в группе ростков голоморфныхотображений Diff(τ, a).Группа голономии определяется как подгруппа группы Diff(C , 0), определённая с точностью до сопряжения всех отображений голономии одновременно. Она не зависит ни от выбора трансверсали τ, ни от начальной точкиa ∈ L. Ясно, что это инвариант слоения, и по нему восстанавливается почтився информация о поведении листов, близких к L.Предложение 2.15. Пусть гомеоморфизм (биголоморфизм) H непрерывно(соответственно голоморфно) сопрягает голоморфные слоения F и F 0.
Пустьпод действием H лист L ∈ F переходит в лист L0 ∈ F 0. Тогда для любых точекa ∈ L, a0 ∈ L0 и трансверсалей τ, τ0 соответствующие группы голономии G ⊂⊂ Diff(τ, a) и G 0 ⊂ Diff(τ0 , a0 ) топологически (соответственно голоморфно)сопряжены. Другими словами, существует непрерывный (голоморфный) росток отображения h : (τ, a) 7→ (τ0 , a0 ), который сопрягает каждый элементg ∈ G с некоторым элементом g 0 ∈ G 0 и сохраняет групповую операцию.Доказательство. Если τ — трансверсаль к листу L в точке a и τ0 = H(τ)(трансверсаль τ0 берётся с параметризацией, индуцированной отображением H), то утверждение очевидно: ограничение h = H|τ сопрягает G с G 0, чтои требовалось.
При другом выборе a0 и τ0 группа G 0 заменяется на голоморфносопряжённую ей.Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. упражнение 2.10).Определение 2.16. Пусть F — голоморфное слоение комплексного многообразия U, а B ⊆ U — произвольное подмножество U. Насыщением множества B листами F называется объединение всех листов, пересекающих B:[Sat(B, F ) =L.∈F∩ 6= ∅Вообще говоря, даже для простых множеств их насыщения могут бытьдовольно сложными. Однако некоторые простейшие свойства всегда выполняются.§ 2.4. Слоения с особенностями39Следующее утверждение можно рассматривать как обобщение теоремыо непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения отначальных условий.Лемма 2.17.
Насыщение открытого множества открыто. В частности,насыщение окрестности любой точки листа содержит открытую окрестность этого листа.Из этого наблюдения можно получить следствие, которое мы будемиспользовать в дальнейшем.Пусть G ⊂ Diff(τ, a) — конечно порождённая подгруппа. Росток аналитической функции u ∈ O (τ, a) называется G-инвариантным (инвариантнымпод действием G), если u ◦ g = u для любого ростка отображения g ∈ G.Лемма 2.18. Любой росток голоморфной функции u ∈ O (τ, a), инвариантный относительно действия группы голономии G ⊆ Diff(τ, a), единственнымобразом продолжается до голоморфной функции, определённой в некоторой открытой окрестности V листа L и постоянной вдоль всех листовслоения F в V.Доказательство.
Будем рассматривать росток u как функцию из O (τ, a),постоянную вдоль локальных листов слоения F. Пусть a1 — точка на L,γ: [0, 1] → L — путь, соединяющий a с a1 . Тогда отображение голономии∆γ задаёт продолжение ростка u до ростка u1 ∈ O (U, a1 ), u1 = u ◦ ∆−1γ , такжепостоянного вдоль локальных листов.Докажем, что росток u1 не зависит от выбора пути γ. Пусть u01 ∈ O (U, a1 ) —росток, получающийся при продолжении вдоль другого пути γ0 : u01 = u ◦ ∆−1.γ0Тогда 0−1 !!−10−1u1 = u ◦ ∆−1= u ◦ ∆−1◦ ∆γ ◦ ∆−1γ = (u ◦ ∆γγ ) ◦ ∆γ = u ◦ ∆γ = u1 .γ0γ0Равенство, отмеченное «!!», выполнено в силу инвариантности u под действием группы голономии.Замечание 2.19. Для большинства групп голономии таких непостоянных инвариантных функций не существует.
Исключением являются группыголономии интегрируемых слоений, см. главу 11.§ 2.4. Слоения с особенностямиГруппа голономии может быть нетривиальной только для тех листовслоения, фундаментальная группа которых нетривиальна. Примеры слоенийс такими листами трудно искать в классе голоморфных слоений, но легко —в классе слоений с особенностями, или особых слоений. С этого момента, еслине сказано обратное, мы будем рассматривать только одномерные слоения.По предложению 2.6 голоморфное векторное поле F ∈ D(U) определяетголоморфное слоение без особенностей в дополнении к множеству своихособых точек Σ = Σ = {x ∈ U : F(x) = 0}.
Множество особых точек векторногополя может быть произвольным аналитическим подмножеством области U.Однако во многих случаях это слоение можно продолжить с U\Σ на большееоткрытое множество, содержащее часть Σ.40Глава 2. Голоморфные слоения и их особые точкиЕсли U ⊂ U 0 — вложенные области, то любое слоение F 0 области U 0 можноограничить на U: листами ограничения F = F 0 | являются линейно связныекомпоненты пересечений L0α ∩ U для всех листов L0α ∈ F 0.Теорема 2.20. Пусть U — связное открытое множество в C , 0 6≡ F ∈∈ D(U) — голоморфное векторное поле, Σ ⊂ U — множество особых точекэтого векторного поля. Пусть F — слоение, порождённое F.Тогда существует аналитическое подмножество Σ0 ⊆ Σ, комплекснаякоразмерность которого в U не меньше 2, и слоение F 0 области U\Σ0, ограничение которого на U\Σ совпадает с F.Доказательство. Утверждение теоремы нетривиально только в том случае, когда Σ — аналитическая гиперповерхность (комплексное аналитическоемножество коразмерности 1).Точки негладкости аналитического множества Σ образуют аналитическоемножество Σ1 ⊂ Σ, коразмерность которого в U не меньше 2.
Рассмотримпроизвольную точку гладкости a ∈ Σ множества Σ. В окрестности этой точкиΣ можно задать одним уравнением { f = 0}, где f — голоморфная функцияи df (a) 6= 0. Пусть ν ¾ 1 — наибольшая степень f ν , на которую делятся всекомпоненты F1 , . . .
, F векторного поля F. По построению, векторное полеf −ν F аналитически продолжается в окрестность точки a на множестве Σ.Пусть Σ2 — множество особых точек продолженного поля вблизи a. Так какросток множества Σ в точке a гладкий и, следовательно, неприводимый, коразмерность такого подмножества в объемлющем пространстве не меньше 2.Определим множество Σ0 как объединение множества Σ1 и множествΣ2 для всех точек a.
Тогда его коразмерность в U не меньше 2. В каждойточке дополнения Σ\Σ0 мы определили неособое поле f −ν F, которое и задаётискомое голоморфное слоение F 0, продолжающее слоение F в окрестностьэтой точки.Замечание 2.21. Если область U двумерна, то вместо голоморфного векторного поля F можно рассмотреть распределение, заданное подходящейголоморфной 1-формой ω ∈ Λ1 (U). Особая точка голоморфной 1-формы —это общий нуль её коэффициентов. Поэтому множество особых точек Σэтой голоморфной 1-формы имеет коразмерность 2, т. е. состоит только изизолированных точек.Теорема 2.20 означает, что, когда мы рассматриваем голоморфное слоениес особенностями, порождённое голоморфным векторным полем, мы можемсчитать, что коразмерность множества особых точек слоения не меньше 2.В частности, особые точки голоморфных слоений комплексной (и в общемслучае — любой голоморфной поверхности) — изолированные точки.Как было доказано в [113], обратное утверждение также верно.Теорема 2.22 (см.
[113]). Пусть Σ ⊂ U ⊆ C — аналитическое подмножество коразмерности, не меньшей 2, а F — голоморфное одномерное слоениебез особенностей области U\Σ, которое не продолжается ни в одну точкумножества Σ.§ 2.4. Слоения с особенностями41Тогда в некоторой окрестности каждой точки a ∈ Σ слоение F порождено голоморфным векторным полем F, множество особых точек которогосовпадает с Σ в пересечении с этой окрестностью a.Доказательство. Выбором локальных координат вблизи точки a всегдаможно добиться того, чтобы поле направлений, касательное к слоям F,не везде было параллельно координатной плоскости x1 = const. Тогда это поленаправлений натянуто на мероморфное векторное поле G = (1, G2 , .
. . , G ),где G ∈ M (U\Σ) — мероморфные функции в U\Σ. По теореме Э. Леви [28,глава III, § 2], функцию, мероморфную вне аналитического подмножествакоразмерности 1, можно мероморфно продолжить на это подмножество.Значит, функции G продолжаются до функций, мероморфных в U. Уменьшаяпри необходимости область U, каждую функцию G можно представить в видедроби G = P /Q , где P , Q ∈ O (U) голоморфны в U, и эта дробь несократима.Пусть Σ = {P = Q = 0}, j = 2, . . . , n: Sпо неприводимости, коразмерностьΣ не меньше 2, значит, коразмерность ¾2 Σ также не меньше 2. Домножив поле G на произведение знаменателей Q2 .
. . Q , получаем голоморфноевекторное поле, касающееся того же слоения. Избавимся от нетривиальныхобщих множителей компонент этого векторного поля, как в теореме 2.20;мы получим новое голоморфное векторное поле F, которое тоже касается F,и коразмерность множества его особых точек Σ0 = Sing F не меньше 2.Осталось показать, что множество особых точек Σ0 совпадает с Σ в окрестности точки a. Одно из включений очевидно: если Σ не содержится в Σ0,это означает, что слоение F аналитически продолжено, как голоморфноеслоение без особенностей, в некоторое подмножество множества Σ, чтопротиворечит условию теоремы. Пусть Σ не содержит Σ0, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
